Задачи на числовые зависимости
Тема урока: Задачи на числовые зависимости.
Цели:
Образовательная:
Закрепить знания законов алгебры логики и умение учащихся решать
логические задачи различных типов.
Организовать деятельность учащихся по самостоятельному применению
знаний в разнообразных ситуациях.
Развивающая:
Учить обобщать и систематизировать полученные знания.
Создать условия для развития у школьников умения работать во времени.
Воспитательная:
Воспитывать бережное отношение к школьному имуществу.
Осуществлять эстетическое воспитание.
Способствовать обогащению внутреннего мира школьников.
Этапы урока:
• постановка цели урока и мотивация учебной деятельности;
• проверка знаний теоретической части;
• решение задач;
• подведение итогов урока;
• домашнее задание.
Ход урока:
I этап. Организационный: приветствие; проверка отсутствующих.
Проверка готовности к уроку.
II этап. Актуализация деятельности учащихся. «Что значит владение математикой?
Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.»
Д. Пойа.
1. Проверка домашнего задания
2. Фронтальный опрос
3. Устное решение задач
Задача 1. Может ли такое быть? Одного человека спросили: - Сколько вам лет? - Порядочно, – ответил он. - Я старше некоторых своих родственников почти в шестьсот раз. Может ли такое быть? Может, например если человеку 50 лет, а его внуку или внучке 1 месяц.
Задача 2. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. Кто хочет поразмыслить по поводу этой задачи? Ведь это всем известная задача. 32
Задача 3. Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей? Кто хочет поразмыслить по поводу этой задачи?
III этап. Объяснение новой темы.
Начиная с начальной школы, вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами на числовые зависимости, которые часто встречаются на олимпиадах, конкурсах. Эти задачи относятся к текстовым задачам, длярешение таких задач требуется наша сообразительность и способность к логическому мышлению. Решение текстовых задач делится на несколько этапов:
1) выбор неизвестных;
2)составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях — систем неравенств;
3)нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;
4) отбор решений, подходящих по смыслу задачи.
Задача1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти искомое двузначное число.
Решение: Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц искомого числа. Тогда само число равно 10x+y. Из условия следует, что x+y=12 и 10x+y+36=10y+x. Получаем систему двух уравнений, которую можно решить методом подстановки: выразить из первого уравнения x и подставить во второе полученное выражение. В результате, x=4 и y=8.
Ответ: 48
Задача 2. Числители трёх дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно 
. Найти эти дроби.
Решение
:Пусть 
числители дробей (согласно условию задачи), 
знаменатели дробей. Тогда искомые дроби имеют вид 
Из условия задачи имеем
или
откуда 
или 
дробь, тогда 
дробь и 
дробь.
Ответ: 
IVэтап. Первичное осмысление нового материала. Работа в парах.
Задача 3. Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Решение: Пусть x — число десятков искомого числа; тогда x+2 — число единиц. Получаем уравнение (10x+(x+2)(x+(x+2))=144, откуда x=2 и x=−3211
Ответ: 24
ФИЗМИНУТКА. УПРАЖНЕНИЕ ДЛЯ ГЛАЗ.
Vэтап. Закрепление нового материала. Работа в группах (по рядам).
I ряд. Задача 4. Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; по ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение, на 2808 меньшее истинного. Чему равно истинное произведение?
Решение: 1. Пусть цифра единиц истинного множителя есть x (x — целое число, меньшее 10); тогда цифра десятков есть 3x, а сам множитель равен 3⋅10x+x=31x. Ошибочно записанный множитель был 10x+3x=13x. Истинное произведение равно 78⋅31x, ошибочно полученное произведение есть 78⋅13x. По условию 78⋅31x−78⋅13x=2808, откуда x = 2. Значит, истинный множитель равен 62, а истинное произведение равно 4836
Ответ: 4836
IIряд. Задача 5. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то по - лучится заданное число. Найти это число.
Решение. Обозначим первую цифру искомого числа х, а вторую цифру – у. Тогда искомое двузначное число равно 10х+у. Из первого условия задачи следует уравнение 10х+у=ху+16, а из второго – уравнение 10х+у= (х-у)2 +ху. Получим систему уравнений:
Получим: (х-у)І =16, т. е. 
=4 и 
=-4. Если х=4+у, то получим квадратное уравнение уІ -7у-24=0, решениями которого будут 
= 2 7 ±
. Так как у – целое число, то в этом случае задача не имеет решений. Пусть х=у-4. Получим квадратное уравнение у І -15у+56=0. Решая это уравнение, находим 
=7 и 
=8,тогда 
=3 и 
=4.
Ответ: 37; 48
III ряд. Задача 6. Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше меньшего из
этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего
из чисел. Найти эти числа.
Решение:Пусть для определённости 
, тогда первое условие задачи даёт 
, а второе условие даёт 
или 
.
Следовательно, имеем систему уравнений 
Решая систему, находим 
, 
.
Так как 
, то найденная пара (6; 54) удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 6 и 54.
Критерии оценивания задания:
«5» ставится, если учащиеся выполнили правильно более 90% задания.
«4» - составлена математическая модель, уравнение. Уравнение решено не до конца.
«3» - при решении допущена вычислительная ошибка.
«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.
VI этап. Подведение итогов.
С какими задачами мы сегодня познакомились?
Каков алгоритм решения этих задач?
Где встречаются эти задачи?
Какие качества помогают решать такие задачи?
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами на числовые зависимости, решение которых предполагает составление и решение уравнений или систем уравнений, научились решать эти задачи при помощи составления математической модели, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы.
Задание на дом.
Задача 1. Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 280. Ответ: 35.
Задача 2. Сумма двух трехзначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найти эти числа, если сумма цифр каждого равна 14, а сумма квадратов цифр равна 84. Ответ: 428 и 824
Задача 3. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число, на 3 меньшее удвоенного первоначального числа. Найти число. Ответ: 25.
