Задача Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задача Определение скорости и ускорения точки  по заданным уравнениям ее движения.

Задача

Определение скорости и ускорения точки

по заданным уравнениям ее движения.

Точка движется в плоскости ХОУ. Закон движения точки задан уравнениями х(t) и y(t), где х и у выражены в метрах, время в секундах.

Найти уравнение траектории точки;  для момента времени t1 = 1c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точки траектории. Изобразить траекторию, скорость и ускорения в указанный момент времени.

Значение х(t) = 2t+2

Зависимость y(t) = t2-2

Указания. Задача  относится к кинематике точки и решается методом дифференцирования.

Пример

Движение точки задано в плоскости ХОУ уравнениями:

x = 4sin t  y = 3cos t, где координаты х и у – в метрах, время t – в секундах.

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = р/6c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точки траектории. Изобразить траекторию, скорость и ускорения в указанный момент времени.

Решение:

1. Уравнения движения точки задано  в параметрическом виде. Для определения уравнения траектории в координатной форме следует исключить из уравнений движения время. Для этого  из уравнений выразим sin и cos.

Сложим два последних уравнения:  - получили уравнение эллипса с центром в начале координат. Большая полуось равна 4, малая – 3. Для более точного построения  траектории,  определим дополнительные точки.

t	0	р/6	р/4	р/3	р/2
x	0	2	2,84	3,46	4
y	3	2,6	2,13	1.5	0

Положение точки при t1 = р/6c, х = 2, у = 2,6.

Определим скорость  точки  через ее проекции:

Скорость Vx  откладываем (в масштабе) из полученной точки вдоль оси Ох вправо, а скорость Vy  вдоль оси Оу вниз (т. к. Vy отрицательна). Вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории.

Определяем ускорение  точки через ее проекции:

Ускорение откладываем (в масштабе) из полученной точки вдоль оси Ох влево, вдоль оси Оу вниз (т. к. обе проекции  ускорения  отрицательны). Тангенциальное и нормальное ускорение найдем по формулам:

Проецируем вектор ускорение на касательную и нормальную оси. Касательная ось направлена по скорости, нормальная ось перпендикулярна скорости. Если все посчитано правильно, то полученные ускорения на рисунке совпадут с расчетными значениями, с учетом масштаба.

Радиус кривизны определим по формуле:

.  Откладываем его вдоль нормали  из исследуемой точки, в масштабе, в котором была построена траектория. Полученная точка является центром кривизны.