Задание №9 Прямоугольный треугольник (стр. 4 )

РАССТОЯНИЯ В ОКРУЖНОСТИ

8. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Решение  Треугольник ОАВ – равнобедренный, так как ОА=ОВ – радиусы окружности. Тогда перпендикуляр ОН, опущенный на хорду из центра окружности,  делит АВ пополам. Значит, треугольник ОАН – прямоугольный и ОН=27, АН=72:2=36. По теореме Пифагора Тогда диаметр окружности равен 90.

9. На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 99. Найдите длину большей дуги.

Решение Обозначим длину большей дуги  АВ через x и составим пропорцию

 

10.  На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение  По построению АС является радиусом окружности. Обозначим через К второй конец диаметра, проходящего через точки А и С, и через Н – точку касания. По теореме о квадрате касательной

11.  Отрезок касается окружности радиуса 75 с центром в точке . Окружность пересекает отрезок в точке . Найдите .

Решение  Так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, то треугольник ОАВ  является прямоугольным. Тогда по теореме Пифагора 

12.  Радиус окружности с центром в точке равен 85, длина хорды равна 80. Найдите расстояние от хорды до параллельной ей касательной .

Решение  Треугольник ОАВ – равнобедренный, так как ОА=ОВ – радиусы окружности. Тогда перпендикуляр ОН, опущенный на хорду из центра окружности,  делит АВ пополам. Значит, треугольник ОАН – прямоугольный и ОА=85, АН=80:2=40. По теореме Пифагора Искомое расстояние равно сумме радиуса и расстояния от центра до хорды АВ, то есть 85+75=160.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

13.  Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD равен . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение 

14.  В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение  По теореме Пифагора   Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника является середина гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы, то есть 2,5.

15.  Окружность с центром в точке описана около равнобедренного треугольника , в котором и . Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.

Решение 

16.  Сторона треугольника проходит через центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

Решение  Так как вписанный угол АВС опирается на диаметр, то он равен  90°. Тогда

17.  Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

Решение  Сторона квадрата  равна диаметру описанной около него окружности, то есть Тогда площадь квадрата равна

ЗАДАНИЕ №12

УГЛЫ

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение  Опустим перпендикуляр ВН на ОА. Тогда

2.  На клетчатой бумаге с размером клетки изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение  1 способ. Соединим А и В. Вычислим длины сторон ∆ОАВ: