Пояснительная записка

Элективный курс «Практикум по решению стереометрических задач» направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов учащихся 11 класса, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности.

Геометрия – раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощью которого рассматриваются формы и взаимное расположение предметов, развивающих пространственные представления, образное мышление учащихся, изобразительно - графические умения, приемы конструктивной деятельности, формируют геометрическое мышление. Несмотря на цели и задачи, сформулированные в учебных программах по математике и геометрии 5-9 классов, согласно которым у учеников на протяжении пяти лет должны быть сформированы пространственное мышление и воображение, умение выделять плоскостные объекты в составе пространственных объектов, на практике дело обстоит иначе. Анализ современных учебников геометрии показывает, что школьный курс стереометрии страдает в своей практической части недостаточной преемственностью курса планиметрии, слабой взаимосвязью с другими учебными предметами и не является в полной мере составной частью базы знаний, необходимых учащимся для продолжения образования в высших учебных заведениях. Недостаточное количество часов на изучение геометрии в 10-11 классах повлекло за собой уменьшение практической направленности курса и тем самым в результате – неумение решения стереометрических задач.

Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит, расширить и систематизировать знания учащихся  по решению стереометрических задач.  Программа курса предусматривает изучение координатного и векторного методов  решения задач различного уровня сложности.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цели курса:

    Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения стереометрических задач. Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.

Задачи курса:

    Систематизировать теоретические знания учащихся по стереометрии; Познакомить учащихся с координатным и векторным методами решения стереометрических задач. Формировать умения применять полученные знания при решении задач повышенного уровня сложности. Развивать пространственные представления и воображение учащихся; Формировать графическую культуру учащихся при построении моделей многогранников.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Доминантной же формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся над проектами. Содержание материала, уровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне благоприятного психологического климата помогут ученику сформировать учебные умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что связано с дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением

  Для обеспечения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметром» используются:

Программа по курсу «Практикум по решению геометрических задач». Календарно-тематическое планирование курса. Учебные пособия:
    . Стереометрические задачи и методы их решения./ .-М.: МЦНМО, 2006-150с. , . Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. – Легион, 2013.

Дополнительными источниками задач для занятий курса являются материалы КИМов из  открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

Технические средства обучения
    Портативная ПЭВМ (RAYbookSi152)
    Многофункциональный принтер XeroxSupport:0830-1700hrs
    Мультимедийный проектор (EPSON)
    Акустическая система AD-05
Учебно-практическое и учебно-лабораторное оборудование
    Аудиторная доска с магнитной поверхностью
    Комплект чертежных инструментов (классных): линейка, транспортир, угольник (300, 600,900), циркуль.

Успешность освоения курса оценивается на итоговом зачете. Итоговый зачет предусматривает выполнение  учебного проекта, включающего самостоятельное исследование геометрической задачи,  с помощью методов изучаемых на занятиях курса и его защиту на итоговой конференции.  Учебный проект должен содержать теоретическое обоснование решения  задачи и сопровождаться мультимедийной презентацией.  В Приложении 1 представлены  примерные задачи. Основанием для получения отметки «зачтено» по итогам изучения элективного курса является правильное решение геометрической  задачи с использованием методов, предусмотренных программой курса.

Для получения эффективных результатов обучения необходимо использовать на занятиях компьютер и интерактивную доску, которые помогут как в визуализации результатов работы с данными, так и при решении задач.

Тематическое планирование построено так, что ученики на элективном курсе углубляют знания, полученные на уроках геометрии, и получают умения решать задачи повышенной сложности. Элективный курс рассчитан на учащихся 11 класса, изучающих математику, как на профильном уровне, так и при универсальном обучении. 

«Практикум по решению геометрических задач » рассчитан на 17ч. 

Количество уроков по разделам за год

Раздел

Количество учебных  часов

Контрольные работы

Векторы и координаты

2

Уравнение плоскости

2

Угол между  прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями

6

Нахождение расстояния между точкой и плоскостью, между прямыми,  плоскостями в пространстве

5

Итоговый зачет по курсу

2

Всего

17

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны

знать:

свойства и формулы планиметрических фигур;

требования к построению изображений пространственных тел;

свойства  многогранников;

свойства взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

уметь:

решать стереометрические задачи, опираясь на изученные свойства стереометрических фигур;

владеть основными принципами математического моделирования, уметь выполнять эскизы к решаемым задачам;

решать стереометрические задачи на вычисление расстояний и углов в многогранниках координатно-векторным методом, изученными в курсе.

Содержание тем курса

    Векторы и координаты – 2ч.

          Декартовы координаты в пространстве.  Координаты точек и векторов. Длина вектора. Скалярное произведение векторов. Формулы:

- расстояния между точками, заданными своими координатами;

-координаты середины отрезка;

-косинус угла между двумя векторами;

-координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении.

Координаты вершин многогранников, расположенных в прямоугольной системе координат:

-единичный куб;

-правильная треугольная призма;

-правильная шестиугольная призма;

-правильная треугольная пирамида;

-правильная шестиугольная пирамида;

-правильная четырехугольная пирамида.

  2 . Уравнение плоскости -2ч.

Матрица. Определитель 2-го и 3-го порядка.  Вычисление определителей с помощью правила  треугольника и правило Саррюса. 

Направляющий вектор прямой. Вектор нормали. Уравнение плоскости:

-общее уравнение плоскости;

-уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали;

-уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

  3. Угол между  прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями – 6ч.

Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Угол между плоскостями. Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями.

Решение задач по теме.

  4. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью, между прямыми,  плоскостями в пространстве - 5ч.

Расстояние от точки до плоскости в координатах. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между двумя прямыми. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния между двумя прямыми.

Расстояние от точки до прямой. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до прямой.

Решение задач по теме.

5. Итоговый зачет по курсу -  2ч.

  Решение стереометрических задач: вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми,  вычисление угла между скрещивающимися прямыми, вычисление угла между плоскостями.  Защита решения задач из группы «С» материалов ЕГЭ. (Приложение )

Календарно-тематическое планирование

элективного курса  «Практикум по решению стереометрических задач», 11 А класс

№

Наименование разделов и тем

Календарные

сроки

Содержание

Формы, методы, виды деятельности

Оборудование,

контрольно-измерительные

материалы

Плани

румые

Факти

ческие

Тема1.  Векторы и координаты – 2ч.

1

Декартовы  координаты  в пространстве. Нахождение координат точек и длин векторов в пространстве

17.01

Декартовы координаты в пространстве.  Координаты точек и векторов. Длина вектора.

Формулы:

- расстояния между точками, заданными своими координатами;

-координаты середины отрезка;

-косинус угла между двумя векторами;

-координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении.

Лекция. Эвристическая беседа.

Ф, И

2

Координаты вершин многогранников, расположенных в прямоугольной системе координат.

24.01

Координаты вершин многогранников, расположенных в прямоугольной системе координат:

-единичный куб;

-правильная треугольная призма;

-правильная шестиугольная призма;

-правильная треугольная пирамида;

-правильная шестиугольная пирамида;

-правильная четырехугольная пирамида.

Эвристическая беседа.

Практикум

Ф, И П.

Реберные модели многогранников

Тема 2. Уравнение плоскости -2ч.

3

Матрица. Определитель 2-го и 3-го порядка.  Вычисление определителей.

31.01

Матрица. Определитель 2-го и 3-го порядка.  Вычисление определителей с помощью правила  треугольника и правила Саррюса. 

Лекция.

Ф, И, П.

Раздаточный материал

4

Уравнение плоскости.

07.02

Вектор нормали. Уравнение плоскости:

-общее уравнение плоскости;

-уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали; - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

Практикум,

Эвристическая беседа.

Ф, И, П.

Тема 3. Угол между  прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями – 6ч.

5

Угол между прямыми в пространстве.

14.02

Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Лекция с элементами эвристической беседы. Ф, И, П.

Реберные модели многогранников

6

Угол между скрещивающимися прямыми.

21.02

Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Практикум.

Ф, И, П.

7

Угол между прямой и плоскостью.

28.02

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф, И

Реберные модели многогранников

8

Угол между прямой и плоскостью.

07.03

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Практикум.

Ф, И, П.

9

Угол между плоскостями

14.03

Угол между плоскостями. Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями.

Лекция с элементами эвристической беседы.  Ф, И

10

Угол между плоскостями

21.03

Угол между плоскостями. Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями. Решение задач.

Практикум.

Ф, И, П.

Тема 4. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью, между прямыми,  плоскостями в пространстве - 5ч.

11

Вычисление расстояния от точки до плоскости в координатах  в многогранниках

04.04

Расстояние от точки до плоскости в координатах. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Лекция с элементами эвристической беседы

Ф, И

12

Вычисление расстояния от точки до плоскости в координатах.

10.04

Расстояние от точки до плоскости в координатах. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Практикум.

Ф, И, П.

Презентация «Угол между плоскостями»

13

Вычисление расстояния между двумя прямыми в координатах

11.04

Расстояние между двумя прямыми. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния между двумя прямыми.

Лекция с элементами эвристической беседы  Ф, И

14

Вычисление расстояния между двумя прямыми в координатах

18.04

Расстояние между двумя прямыми. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния между двумя прямыми.

Практикум.

Ф, И, П.

15

Вычисление расстояния от точки до прямой  в координатах

25.04

Расстояние от точки до прямой. Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до прямой. Решение задач по теме.

Лекция с элементами эвристической беседы  Ф, И

Раздаточный материал

Зачет по курсу -  2ч.

16

Зачет по курсу

02.05

Работа в группах. Защита решения задач, исследовательских работ.

17.

Зачет по курсу

16.05

Защита решения задач, исследовательских работ.

Раздаточный материал

Ф - ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС

И - ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА

П - РАБОТА В ПАРАХ

Г – РАБОТА В ГРУППЕ

Список литературы.

Для учащихся

, . Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. – Легион, 2013 , , . Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.:Просвещение, 2000 . ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. и . – М.: МЦНМО, 2011. Математика. ЕГЭ – 2014. Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией . Издательство “Легион”. Ростов – на – Дону, 2013. . Математика. Решение сложных задач ЕГЭ. М: Айрис – пресс. 2007. . Стереометрические задачи и методы их решения./ .-М.: МЦНМО, 2006-150с. , Элементарная геометрия. т.1, т.2. М.: МЦНМО, 2005.

Для учителя

, . Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. – Легион, 2013. , . Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. – Легион, 2013 «Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия». СПб.: «Петроглиф», 2011 , , . Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.:Просвещение, 2000 . ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. и . – М.: МЦНМО, 2011 , Сборник задач по стереометрии с методами решения. М.: Просвещение,1998.   Стереометрия. Как решить проще. Математика:элективный курс. ИЛЕКСА,  Москва, 2013 г. , Алгоритмический подход к решению геометрических задач. М. Просвещение,1996-192с. Математика. ЕГЭ – 2014.  Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией . Издательство “Легион”. Ростов – на – Дону, 2014. . Стереометрические задачи и методы их решения./ .-М.: МЦНМО, 2006-150с. , Элементарная геометрия. т.1, т.2. М.: МЦНМО, 2005.

Приложение

Задачи для учебного проекта

В правильной треугольной призме АВСА1B1С1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и ВС1.

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и А1С. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD. В правильной шестиугольной пирамиде SA...F, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания — 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAP. В кубе А...D1 найдите угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1 Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является рав­нобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1причем BP : РВ1 = 1:3. Найдите тангенс угла между плоскостя­миA1B1C1и АС Р. В правильной шестиугольной призме A...F1 все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1. В правильной шестиугольной призме А…F1 ,все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA1. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является рав­нобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 10, АС =16.Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р — середина ребра ВВ1.Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями АВ1С1 иA1B1C. Сторона основания правильной четырехугольной призмы A… D1  равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD, точка M — середина отрезка B1E. Найдите угол между прямыми CF и B1E. Сторона основания правильной четырехугольной призмы A… D1  равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD, точка M — середина отрезка B1E. Найдите угол между прямой FM и плоскостью BDD1 . Основание четырехугольной пирамиды PABCD — квадрат ADCD со стороной, равной 6, боковое ребро PD перпендикулярно к плоскости основания и также равно 6. Найдите угол между плоскостями BDP и BCP. Докажите, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины. В прямоугольном параллелепипеде A… D1  ребра AB и AA1 равны 1, а ребро AD равно 2. Точка E — середина ребра B1 C1 . Найдите угол между прямой BE и плоскостью AB1 C. Основание прямой призмы A…C1  — равнобедренный треугольник ABC, основание AC и высота BD которого равны 4. Боковое ребро призмы равно 2. Через середину K отрезка B1C проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости. .  В кубе АВСDА1В1С1D1  М и N – середины ребер А1D1 и ВВ1. Найдите угол между прямой МN и диагональю ВD1. В правильной треугольной пирамиде SABC  сторона основания равна 8 и SC =17  . Найдите tgугла, образованного плоскостью основания и прямой АО, где О – точка пересечения медиан грани ABC. В кубе АВСDА1В1С1D1  М и N – середины ребер А1D1 и ВВ1. Найдите угол между прямой МN и диагональю ВD1.
В кубе  АВСDА1В1С1D1 найдите угол между плоскостью А1ВD и плоскостью, проходящей через середины его ребер АВ, ВВ1 , В1С1, С1D1, D1D, DА. В правильной треугольной пирамиде SABC  сторона основания равна 8 и SC =17  . Найдите tgугла, образованного плоскостью основания и прямой АО, где О – точка пересечения медиан грани ABC. В кубе  АВСDА1В1С1D1 найдите угол между плоскостью А1ВD и плоскостью, проходящей через середины его ребер АВ, ВВ1 , В1С1, С1D1, D1D, DА. В правильной шестиугольной  пирамиде SABCEF,  все ребра которой  равны 1,  найдите расстояние от точки Е  до плоскости SDА. В правильной шестиугольной  призме ABCDEF A 1B 1C 1D1 E 1F 1 ,  все ребра которой  равны 1,  найдите расстояние от точки В  до прямой  А1F 1. В правильной четырехугольной  пирамиде SABCD,  все ребра которой  равны 1,  найдите расстояние между прямыми ВD и АS. В правильной шестиугольной  пирамиде SABCEF,  все ребра которой  равны 1,  найдите расстояние от точки Е  до плоскости SDА.