Лекция по теме «Расстояние от точки до плоскости»
Ранее было рассмотрено, что через точку А, не лежащую на плоскости б, можно провести только одну прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Дана плоскость б и точка А, не лежащая на ней. Проведем из точки А прямую, перпендикулярную к плоскости б. Обозначим буквой Н точку пересечения проведенной прямой с плоскостью б. Определение: Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости б, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра. Возьмем произвольную точку М, принадлежащую плоскости б и отличную от Н. Соединим точки А и М. Определение: Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости б. Точка М называется основанием наклонной. Соединим точки М и Н. Определение: Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость б. Имеется точка А и два отрезка, проведенных из этой точки к плоскости б: отрезок АН и отрезок АМ. Как вы думаете, какой из этих отрезков меньше? Рассмотрим отрезки АН и АМ. Для этого рассмотрим треугольник АНМ. Это прямоугольный треугольник, так как угол АНМ равен 90 градусам (так как АН перпендикулярна плоскости б). Тогда сторону АН можно назвать катетом, а сторону АМ гипотенузой. Но гипотенуза всегда больше катета. Поэтому АН < АМ. Значит, перпендикуляр, проведенный из точки, не лежащей на плоскости, к этой же плоскости, всегда меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости. Таким образом из всех расстояний от точки А до разных точек плоскости б наименьшим является расстояние до точки Н. Определение: Расстоянием от точки А до плоскости б называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости б. Рассмотрим решение типовой задачи по теме. Задача. Из точки А, не принадлежащей плоскости б, проведены перпендикуляр АО и две равные наклонные АМ и АН. Известно, что АО = 3 единицам, АМ = АН = 5 единицам. Найти расстояние между основаниями наклонных. Решение: Из прямоугольного треугольника АОМ найдем ОМ по теореме Пифагора. ОМІ = 25 – 9 = 16 или ОМ=4 единицы. Тогда МН=2*ОМ = 8 ед. Ответ: МН=8 ед. Рассмотрим три замечания к теме, которые необходимы для решения задач. Замечание 1 Пусть даны две параллельные плоскости б и в. Тогда все точки плоскости б будут равноудалены от плоскости в. Действительно. На плоскости б взяты произвольные точки А и М. Из этих точек на плоскость в опустим перпендикуляры АН и МО соответственно. Следовательно, перпендикуляр АН параллелен перпендикуляру МО. Эти перпендикуляры будут равными, по второму свойству параллельности плоскостей, которое звучит так: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой. На рис расстоянием между параллельными плоскостями б и в является отрезок, например, МО. Замечание 2 Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АО на плоскость б. Определение. Длина перпендикуляра АО называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью б. Задача. Найдите расстояние между прямой МН и плоскостью параллельного ей прямоугольника АВСД, если известно, что МН=6см; угол МНО=45 градусам (см. рис 015). Дано: МН || АВСД; МН=6см; Найти: МО Решение:
Ответ: 6см Замечание 3 Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Тогда плоскость б, проходящая через прямую а, параллельна прямой b (по теореме: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой и притом только одна.). Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. На рис расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b является отрезок МО. | Картинка:
Показывается презентация4.pps, как это делать.
Текст: Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости б, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра. Картинка:
Картинка:
На жирным шрифтом выделяются названные отрезки. Картинка:
На рис 009 жирным шрифтом выделяется длина перпендикуляра АН Текст: Расстоянием от точки А до плоскости б называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости б.
Картинка:
Текст: Решение:
ОМІ = 25 – 9 = 16 ОМ=4, МН=2*ОМ = 8 ед Картинка:
Текст: Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой. Картинка:
Картинка:
Текст: Длина перпендикуляра АО называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью б. Картинка:
Картинка:
Текст: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Картинка:
|
МНО=45°; МО 
АВСД
МНО прямоугольный. Используя определения тригонометрической функции тангенс (Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету), имеем МО=tg45°*6=1*6=6см
б; АО = 3 ед.; АМ=АН=5 ед.
АОМ: ОМІ=АМ2–АО2
МНО=45°; МО 
АВСД
