Наибольшее и наименьшее значения функции

А-10.  4.  Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Задание: найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на промежутке

№ шага	План нахождения y наименьшего и y наибольше на	Применение плана.
1.	Находим производную функции	=
2.	Находим критические точки функции	=0, 4x(-1)=0, x=0 и ,x=-1,  x=0 и x=1-критические точки ф-ии.
3.	Выбираем критические точки, лежащие внутри [a;b]	0 и 1 € [0; 2].
4.	Находим значения функции  в критических точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка.	y(1)=1-2-3=4,  y(0)=-3, y(2)=16-8-3=5
5.	Из найденных значений функции выбираем наименьшее  и наибольшее.	y наим.=y(1)=-4, y наиб.=y(2)=5

Примеры: Применяя указанный  выше  план, найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке [a;b], если: 1) [-1;3];  3)=34)[0;2]; 5)

6) 7)x, [0;]; 8)en x, [1;e]; 9), [-3;3]

5.  Геометрические задачи на нахождения оптимальных значений величин.

Задание: Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объем воронки будет наибольшим?

№шага	План решения	Применение плана
Строим рабочий чертеж.
Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой требуется найти	П
Вводим переменную величину x и выражаем через нее значения всех величин исходной формулы.	Пусть x-величина центрального угла оставшегося сектора, тогда  АВС=Rx и ABC=2Пr, значит 2Пr2x и r= Высота воронки H=
Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем ее как функцию аргумента x	V= =
Задаем (по смыслу задачи) область определения функции.	0<x<2П, Д(v)=(0;2П)
Функцию аргумента x исследуем на экстремум на найденном числовом промежутке.	V наиб. =V ()
Записываем ответы	Величина угла равна 2П-

А-10  6.  Общая схема исследования функции и

  построение ее графика.

Задание. Исследуйте и постройте график функции:

  а) =3=

№ шага	План исследования Функции	Применение плана
а) =3	=
1.	Находим область определения функции	Д(=R	, x≠1,x≠-1 Д(=(--1)(-1;1)(1;
2.	Исследуем функцию на четность, нечетность.	=3 ф-я. Ни четная, ни нечетная	==функция чет.
3.	Находим нули функции и промежутки ее знакопостоянства	3-4+1=0, (x-1(3+2x+1)=0, x-1=0, x=1-нуль функции
4.	Находим  производную функции и ее критические точки	=(31)=12-1212(x-1),, 12*(x-1)=0, и x-1=0, x=0 и x=1-критич. точки ф-ии.	=()==- =0; x=0 крит. точка ф-ии.
5.	Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции	(0.5)0,(2), x=0-не явл. точкой экстремума, x=1-точка минимума, y min=y(1)=0	(-2)(-0.5) (0.5),(2) x=0 –точка максимума, y max=y(0)
6.	Находим предел функции  при	Lim(3 x
7.	Строим  графика функции

Примеры.  Исследуйте и постройте графики функции:

а)y= 2)2 3)y=6x- y=+, 5)y=3x-6)y=-3+4; 7)y=; 9)y=

А-11  7. Площадь криволинейной трапеции.

Определение.  Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком  не прерывной и не меняющейся на отрезке [a;b] знака функции ,  прямыми  x=a, x=b и отрезком[a;b],. Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле

Задание.  Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:a) y= y=2, x=9, б)y= y=2-x, y=0

№ шага	План вычисления площади криволинейной  трапеции	Применение плана
а) y= y=2, x=9	б)y(x)=, y=2-x, y=0
1.	Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией.
2.	Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры	S= dx-	S=dx
3.	Находим пределы интегрирования	; =2, x=4, a==4, b=	, x=-2 и x=1 a= b=
4.	Вычисляем искомую площадь по формуле (1)	S= dx-= S=	S=dx+=│+(2x-) │+(4-)-(2-= S=

Примеры.  Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1)y=, y=0, x=2; 2)y=y=1;

3) y=-+1, y=0; 4)y=1+, y=2; 5)y=, y=0, x=0, x=2; 6)y=, y=; 7)y=2x-; y=; 8)y= y=1;  9)y=, y=6-x.