Программа элективного курса «Избранные вопросы планиметрии»

Программа

элективного курса

«ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ

ПЛАНИМЕТРИИ»

Разработала: 

учитель математики 

высшей  категории 

МБОУ Гимназии №1

г. Североморска

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Не вызывает сомнения тот факт, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает не только изучение свойств планиметрических фигур, формирует пространственные представления учащихся, развивает логическое и абстрактное  мышление, но и готовит учащихся к изучению смежных дисциплин (физики, черчения). К сожалению, в школьном курсе геометрии не всегда возможно достаточно широко и глубоко осветить многие изучаемые  вопросы. Прежде всего это связано с недостаточным количеством часов, отведенных учебным планом на изучение этого предмета. От недостатка времени страдает как планиметрия, так, в дальнейшем,  и стереометрия.

Еще одной важной причиной, заставляющей в корне изменить отношение к уровню и глубине преподавания геометрии, является присутствие достаточно большого количества задач по планиметрии и стереометрии в текстах ЕГЭ по математике. Если несколько лет назад геометрия была школьным предметом, экзамен по которому был «по выбору», то теперь для успешной сдачи государственного экзамена по математике необходимо уметь решать разнообразные геометрические  задачи различного уровня сложности: как в части В, так и в части С.  Итоги экзаменов в форме ЕГЭ показали, что большинство учащихся либо совсем не приступают к решению геометрических задач, либо справляются с ними крайне плохо.

Выходом из создавшейся ситуации может служить введение элективного курса по геометрии, в рамках которого учащиеся не только корректируют, но и  значительно углубляют и расширяют свои познания в этом предмете, приобретают дополнительный опыт и практический навык в решении геометрических задач.

Программа данного элективного курса нацелена на решение этих проблем.

Целями данного курса являются:

Создание условий для дополнительной подготовки учащихся по избранным вопросам планиметрии. Расширение и углубление знаний учащихся по ключевым вопросам планиметрии. Повышение уровня подготовки учащихся к сдаче ОГЭ и  ЕГЭ по математике. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

Требования к уровню усвоения курса:

Учащиеся должны знать ключевые формулы, теоремы, свойства геометрических фигур. Учащиеся умеют строить геометрические чертежи, осуществлять анализ условия и поиск решения различных задач. Учащиеся умеют применять теоретические знания к решению как опорных задач, так и к решению задач нестандартного характера. Учащиеся знают обобщенные  и специальные приемы и методы решения геометрических задач.

Данный курс  является своеобразным элективным курсом « по вертикали»: он предназначен как для учащихся  8 – 9 классов, которые изучают планиметрию в настоящее время и могут углубить, дополнить, расширить свои знания по основополагающим темам геометрии, так и для старшеклассников – учащихся 10- 11 классов, готовящихся к сдаче ЕГЭ. В рамках этого ЭК старшеклассники также  имеют прекрасную возможность повторить ключевые темы планиметрии, что позволит им более успешно изучать  многие стереометрические темы.

       Курс рассчитан на 11 часов, но его содержание может быть расширено и дополнено.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

Тематическое планирование

№ п\п	Название темы занятия	Количество часов
1.	Решение прямоугольных треугольников	2 ч
2.	Решение треугольников	2 ч
3.	Четырехугольники	2 ч
4.	Решение задач по теме «Площади»	2 ч
5.	Решение задач по теме «Вписанные и описанные  окружности».	3 ч

Методические рекомендации по организации и проведению занятий.

Тема 1, 2.

Решение прямоугольных треугольников.

Решение косоугольных треугольников.

В основе большинства задач  по геометрии лежит умение учащихся «решать треугольник», поэтому необходимо знать важные соотношения для треугольников, уметь применять их при решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника. Повторение и систематизацию этих соотношений и свойств можно осуществить с помощью заполнения следующей таблицы:

Прямоугольный треугольник	Треугольник
А      в  с     С  а  В	В   с  а    А  С   в
1) = 90° (свойство острых углов прямоугольного треугольника)	1)  = 180° ( сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
2)  с2 = а2 + в2 ( теорема Пифагора)	2)  а2 = в2 + с2 – 2вс∙cos( теорема косинусов) cos=
3)  sin= ,  sin= ,  cos= , cos =, tg=, tg=. (соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника)	3)  = 2R ( теорема синусов)
4)  R = , центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.	4)  R =
5)  r =	5)  r = , Р - периметр

Дидактический материал для проведения занятий по темам 1 и 2.

1). Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2см. а катет

  ВС равен 6см. Найдите длину медианы ВК.  ( Ответ: 7 см).

2). В треугольнике АВС стороны АВ = ВС, АК – высота треугольника, 

  ВК = 24 см, КС = 1 см. Вычислите : а). высоту АК; б). сторону АС. 

  ( Ответ: а). 7 см; б). 5 см).

3). Определите катеты прямоугольного треугольника, у которого

  перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу,

  больше одного из отрезков гипотенузы на 3 и меньше другого на 4 см. 

  ( Ответ: 15см; 20 см).

4). ВД – высота равнобедренного треугольника АВС, АВ = ВС, т. О – точка

  пересечения высот ВД и АК, АОД = 60°. Доказать, что ∆ АВС

  равносторонний.

5). Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла

  делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из той же

  вершины.

6). В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 10 см и 15 см,

  вписан квадрат, имеющий с ним  общий угол. Найти периметр квадрата.

  ( Ответ: 24 см).

7). В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий

  угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 

  15 м. ( Ответ: 36). 

8). На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС ( АВ = ВС)

  как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого 

  треугольника в точке Д. Найдите расстояние от вершины А до центра

  построенной окружности, если АД = , а угол АВС = 120°. 

  ( Ответ: 7 см).

9). В треугольнике АВС медианы СД и ВЕ пересекаются в точке К. Найдите

  площадь четырехугольника АДКЕ, если ВС = 20, АС = 12, АСВ = 135°.

  ( Ответ: 20 ).

10). В параллелограмме АВСД АВ = 6, АД = 8, АС = 2. Найдите ВД.

( Ответ: 2).

11). Стороны треугольника равны 6,7 и 8 см. найдите медиану, проведенную

  к большей стороне. ( Ответ: ).

12). Стороны треугольника равны 12, 16 и 20 см. Найдите его высоту,

  проведенную из вершины большего угла. ( Ответ: 9,6).

13). В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5. Площадь треугольника равна 5.

  Найти высоту, опущенную из вершины В, если cos АВС < 0. 

  ( Ответ: ).

14). В треугольнике АВС ВС = 3,4, АВС = 130°. Площадь треугольника

  равна 3,6. Найти АС. ( Ответ: АС 5,6).

15). Докажите, что в любом треугольнике  углы А, В и С связаны

  соответственно соотношением: cos2A = cos2C + sin2B – 2sinAsinBcosC.

Тема 3. Четырехугольники.

Любые задачи по геометрии основой решения имеют определенные свойства геометрических фигур. Наряду с темой «Треугольники» не менее значимое место в планиметрии занимает тема «Четырехугольники». На занятиях по решению задач по этой теме прежде всего необходимо организовать повторение основных свойств четырехугольников. Это, также как и в предыдущей теме,  удобно выполнить в форме таблиц.

Дидактический материал для проведения занятий по теме 3.

1). Средняя линия трапеции АВСД равна 15. АД – большее основание

  трапеции, А = 90°, Д = 60°, ВАС = 30°. Найти длину стороны СД.

  ( Ответ: 20 см).

2). Сторона параллелограмма АВСД равна 2, а его диагонали равны 20 и

  24 см. Найти сторону ВС. ( Ответ: 20 см).

3). Основания трапеции равны 4 и 10, а ее боковые стороны - 3 и 15.

  Найти косинус наименьшего угла этой трапеции. ( Ответ: 0,8).

4). Определите периметр равнобедренной трапеции, у которой длина

  меньшего основания равна 7, а диагонали перпендикулярны боковым

  сторонам и равны 6. ( Ответ: 22).

5). В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону

  ромба пополам. Найдите периметр и высоту ромба, если меньшая

  диагональ его равна 7 см ( Ответ: 28 см; 3,5 см).

6). В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а

  диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найти углы трапеции. 

  ( Ответ: 60°, 60°,120°, 120°).

7). В параллелограмме КМЕР угол М равен 120°, КМ = 8, КР = 10. Найти 

  расстояние от вершин М и Р до биссектрисы угла МКР. ( Ответ: 4; 5).

8). Высота ромба делит его сторону пополам. Найти углы ромба.

  ( Ответ: 60°, 60°,120°, 120°).

9). Внутри квадрата выбрана точка М так, что треугольник ВМС 

  равносторонний. Найти угол МАД. ( Ответ: 15°).

10). В параллелограмме АВСД биссектриса угла А пересекает сторону ВС в

  точке М и продолжение стороны СД за точку С  - в точке Е. Найдите

  периметр параллелограмма, если ВМ = 2см, ЕС = 3 см. ( Ответ: 14).

11). Через вершину С прямоугольника АВСД проведена прямая,

  параллельная диагонали ВД и пересекающая прямую АВ в точке М. Через

  точку М проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая

  прямую ВС в точке К. Найти периметр четырехугольника АСМК, если

  диагональ ВД равна 8 см. ( Ответ: 32 см).

12). Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке

  М, лежащей на стороне ВС. Луч ДМ пересекает прямую АВ в точке К.

  Найти периметр параллелограмма АВСД, если АК = 10 см ( Ответ: 30 см).

13). В выпуклом четырехугольнике АВСД проведены диагонали. Известно,

  что площади треугольников АВД и АСД равны, а площади треугольников

  АСД и ВСД не равны. Докажите, что данный четырехугольник является

  трапецией.

14). Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона

  равна 9, а диагональ 11. Найти меньшее основание трапеции. ( Ответ: 5).

15). Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны

  3 и 4. Найти диагональ трапеции. ( Ответ: 5).

Тема 4. Площади.

С понятием площади и формулами для вычисления площадей  фигур учащиеся знакомятся в курсе геометрии  8 – 9 классов. Назначение занятий по данной теме – расширить и углубить представления учащихся об измерении площадей фигур, используя ряд дополнительных формул, редко встречающихся в базовом курсе геометрии.

Вычисление площадей треугольников и четырехугольников является составной частью решения задач на многогранники в курсе стереометрии. Поэтому основное внимание уделяется  формированию  и закреплению практических навыков вычисления площадей треугольников  и четырехугольников в ходе решения задач. Обилие и разнообразие формул данного раздела удобно обобщить в виде таблиц.

Дидактический материал для проведения занятий по теме 4.

1). В ромбе АВСД диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что

  АМ : МС = 4 : 1. Найти площадь треугольника АМД. ( Ответ:  12).

2). В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит

  большее основание на два отрезка, больший из которых равен 20 см. найти площадь

  трапеции, если ее высота равна 12 см. ( Ответ: 240).

3). В треугольнике АВС В = 130°, АВ = а, ВС = в, а в параллелограмме МРКН МР = а,

  МН = в, М = 50°. Найти отношение площади треугольника и площади

  параллелограмма. ( Ответ: 1 : 2).

4). В трапеции АВСД ВС и АД – основания, ВС : АД = 3 : 4. Площадь трапеции равна 70

  см2. Найти площадь треугольника АВС. ( Ответ : 30). 

5). На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕД = 5 см,

  ВЕ = 12 см, ВД = 13 см. Найти площадь параллелограмма.  ( Ответ: 108 ).

6). В равнобедренной трапеции АВСД А = 30°, высота ВК = 1 см, ВС = 2см. Найти

  площадь треугольника КМД, если М – середина отрезка ВД.  ( Ответ: ).

7). В выпуклом четырехугольнике АВСД проведены диагонали. Известно, что площади

  треугольников АВД, АСД, ВСД равны. Докажите, что данный четырехугольник

  является параллелограммом.

8). Медиана  ВК треугольника АВС  равна 2, ВС = 2, ВКС = 45°. Найти площадь

  треугольника АВК. ( Ответ: 6).

9). В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найти площадь треугольника АВС, если

  АС = 3, ВС = 10, МАС = 45°. ( Ответ: 21).

10). Основание АВ трапеции АВСД вдвое длиннее основания СД и вдвое длиннее боковой

  стороны АД. Длина диагонали АС равна 12, длина боковой стороны ВС равна 5. Найти

  площадь трапеции. ( Ответ: 4,5).

11). В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, длина которой равна 4, причем КС =

  2, ВСА = 45°Найти площадь треугольника АВК.  (Ответ: 4).

12). Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает сторону ВС в точке К.

  Найдите площадь параллелограмма, если ВК = КС = 5, АК = 8.  ( Ответ: 48).

13). Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ. Известно, что АН = 4, ОН = 12,

  А = 30°, АМН = АОМ. Найти площадь треугольника АНМ.  ( Ответ: 16).

Тема 5. Вписанные и описанные окружности.

Дидактический материал для проведения занятий по теме 5.

1). Точка О является центром окружности, вписанной в прямоугольный

  треугольник АВС с прямым углом С. Луч АО пересекает катет ВС в точке

  К. найдите гипотенузу АВ, если АС = 6 и В в 4 раза больше, чем

  КАС.  ( Ответ: 12).

2). В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана

  окружность с радиусом 2. Высота РН делится точкой пересечения с

  окружностью в отношении 1 : 2, считая от вершины Р. Найти периметр

  треугольника РМК. ( Ответ: 36).

3). Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция

  второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности,

  описанной около этого треугольника. ( Ответ: 25).

4). Найти радиус окружности, вписанный в правильный  шестиугольник,

  площадь которого равна 72. ( ответ: 6).

5). Найти отношение площади круга, вписанного в правильный

  шестиугольник, к площади круга, описанного около этого шестиугольника.

  ( Ответ: 0,75).

6). Около треугольника АВС описана окружность с центром О и радиусом,

  равным 8. Найти площадь треугольника ВОС, если А = 105°. 

  ( Ответ : 16).

7). В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина высоты 8.

  Найти диаметр описанной около трапеции окружности. ( Ответ: 21,25).

8). Около равнобедренного треугольника АВС ( АВ = ВС) с углом В, равным

  30°, описана окружность радиусом 7. Ее диаметр АД пересекает

  сторону ВС в точке Е. Найти диаметр окружности, описанной около

  треугольника АСЕ. ( Ответ: 14).

9). В равнобедренный треугольник с острым углом в 60° боковая сторона

  равна , а меньшее основание 2. Найти радиус окружности,

  описанной около этой трапеции. ( Ответ: 7).

10). В равносторонний треугольник АВС вписана окружность и проведен

  отрезок М К, МАС, К ВС, который касается ее и параллелен стороне

  АВ. Определите периметр трапеции АМКВ, если длина отрезка МК равна

  6.  ( Ответ: 48).

11). Около окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия

  которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найти

  площадь трапеции. ( Ответ: 20).

12). Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6, большее 12, а

  угол при основании - 60°. Найти радиус описанной около трапеции

  окружности. ( Ответ: 6).

13). Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в

  него окружности 6 м. Найти диаметр описанной окружности. ( Ответ: 30).

14). Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м,

  а радиус описанной окружности равен 5 м. Найти больший катет

  треугольника. ( Ответ: 8).

15). Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при

  основании 75° описана окружность с центром О. найти ее радиус, если

  площадь треугольника ВОС равна 16. ( Ответ: 8).

16). Найти радиус окружности вписанной в остроугольный треугольник

  АВС, если Высота ВН равна 12 и известно, что sinA = , sinC = . 

  ( Ответ: 4).

17). Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция

  второго катета на гипотенузу равна 16. Найти диаметр окружности, 

  описанной около этого треугольника. ( Ответ: 25).

18). В равнобедренный треугольник АВС  вписана окружность. Параллельно

  его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая

  боковые стороны в точках Д и Е. Найти радиус окружности, если ДЕ = 8,

  АС = 18. ( Ответ: 6).

19). Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника

  АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найти сторону

  АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10. ( Ответ: 15).

20). Дан ромб АВСД. Окружность, описанная около треугольника АВД,

  пересекает большую диагональ ромба в точке Е. Найти СЕ, если

  АВ = 8, ВД = 16. ( Ответ: 12).

21). Найти площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности

  с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

  ( Ответ: 80).

22). Около треугольника АСЕ описана окружность с центром О, СН – его

  высота. Найти градусную меру угла ОСН, если А = 60°, Е = 70°.

  ( Ответ: 90).

23). Высоты АН и ВК остроугольного треугольника АВС пересекаются в

  точке М, АМВ = 105°. Найти градусную меру угла АВО, где точка  О –

  центр окружности, описанной около треугольника АВС. ( Ответ : 15).

24). В окружность с центром О вписан треугольник МРК, в котором

  М = 65°, Р = 70°. Найти площадь треугольника РОМ, если сторона

  РМ = 2.  ( Ответ: 1).

25). В треугольнике АВС угол В равен 30°. Около треугольника описана

  окружность радиусом 12. Хорда ВК проходит через середину М стороны

  АС, причем МК = 2. Найти ВМ. ( Ответ: 327).

26). Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр

  вписанной в треугольник окружности проведен луч ВО, пересекающий

  катет АС в точке М. Известно, что АМ = 8, А = МВС. Найти

  гипотенузу.  ( Ответ: 24).