История возникновения и становления аналитических методов.
Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в 19 веке в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком пришлом. В Древней Греции, пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (√2, √5,…), пришли к выводу, что не всякую величину можно выразить дробями. Вследствие этого математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н. э.), а позднее «геометрической алгебре».
В работе Евклида «Начала» сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям, а деление – к операции «приложения» геометрических фигур.
В последствии в 16-17 вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.
Однако, геометрическое исчисление сыграло значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.
Еще в работе «Механические проблемы», созданной в школе Аристотеля, введен термин «сложение движений», т. е. скоростей, и сформулировано правило параллелограмма. Его использовал Архимед в работе «О спиралях», а позже – Птолемей. Астрономы средневекового Востока, развивая теорию Птолемея, постоянно использовали «сложение движений».
В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина (1548-1620) «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90°, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу. Далее, Стевин в «Основах статики» и Валлис (1616-1703) в «Механике» сформулировали правила параллелограмма и параллелепипеда для сложения направленных отрезков, которыми они изображали силы, скорости, ускорения.
В конце 16- начале 17 в. многие ученые - физики, в том числе Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, пользовались направленными отрезками для наглядного представления сил. Формулируя свои законы движения планет, Кеплер по существу рассматривает направленный отрезок, началом которого является Солнце, а конец совпадает с движущейся точкой.
Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятия векторной величины, а идеи алгебраических действий с направленными отрезками лишь зарождались.
Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: геометрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных величин, встречаемых в естествознании), и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры).
Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены норвежцем Каспаром Весселем в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников», опубликованном в «Трудах Датской Академии наук» в 1799 г. Вессель создал свой труд, исходя из чисто практических задач – облегчить труд геодезиста-землемера.
Вессель впервые представил комплексные числа как направленные отрезки. Он ввел операции умножения и деления направленных отрезков на основе операций с комплексными числами.
Так, результатом умножения отрезков z1 и z2, где z1=r1(cosα+isinα), z2=r2(cosβ+isinβ), является отрезок z1⋅z2=r1⋅r2(cos(α+β)+isin(α+β)). При этом отрезок z1 поворачивался на угол β, а его длина r1 умножалось на число r2.
Векторную алгебру на плоскости (или двумерное векторное пространство) Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Для иллюстрации приведем его определение суммы нескольких векторов, следующее за определением суммы двух направленных отрезков: «Чтобы сложить более двух отрезков, нужно следовать тому же правилу: располагаем их так, чтобы конец первого совпадал с началом второго, а конец второго совпадал с первой точкой третьего и т. д., затем соединяем отрезком ту точку, где первый отрезок начинается с той точкой, где последний отрезок заканчивается, и называем этот последний отрезок суммой всех данных отрезков». Причем он подчеркивает, что в расширенное понятие сложения включен как частный случай и старый смысл этого действия, т. е. «Если складываемые отрезки одинаково направлены, то это определение суммы вполне согласуется с обычным сложением».
Вессель также строит исчисление направленных отрезков в пространстве (трехмерное векторное пространство) и, развивая оригинальную «алгебру вращения сферы», применяет ее к решению сферических треугольников и многоугольников. «Опыт» Весселя свидетельствует о том, что именно удовлетворение потребностей прикладной геометрии привело к развитию векторного исчисления.
Об этом говорят и философские воззрения великих ученых о роли математики в исследовании явлений природы. Система координат Р. Декарта основана на его концепции единой математики, объединяющей геометрию и алгебру. Развивая мысли Декарта о матемизации естествознания, Лейбниц писал: «Алгебра выражает величину необходим ещё иной, чисто геометрический анализ, непосредственно выражающий положение». Лейбниц говорил о построении геометрического исчисления, изучающего направленные отрезки, их длины, углы между ними. Эти мысли стали исходной точкой для многих геометрических работ.
Видное место в истории векторного исчисления занимает книга Карно «Геометрия положения» (1803). В ней автор вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками. До него положительные и отрицательные отрезки рассматривались лишь в пределах одной прямой, он же ввел отрезки, имеющие любое направление, и фактически проложил путь к векторному исчислению. Некоторые введенные Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты наверху (
, 
), сохранились и поныне.
В 1835 г. Дж. Белаватис в «Теории эквиполентности» ввел свободные векторы, назвав эквиполентными направленные отрезки с равной длиной и совпадающими направлениями.
В сочинении по аналитической и проективной геометрии «Барицентрическое исчисление» (1827) немецкий математик А. Мебиус в известной мере продолжил труд Карно и систематизировал его идеи. Автор впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек: В – А.
Швейцарский математик Жан Арган (1768-1822) написал в 1806 г. «Опыт о способе изображения мнимых количеств в геометрических построениях». Арган ставит и корректно решает задачу построения исчисления направленных отрезков, которые он называет «направленными линиями». Примерно в то же время появился и ряд других работ (М. Бюэ, Дж. Уоррена и др.), в которых делаются попытки обобщения алгебраических понятий таким образом, чтобы «числами» и «величинами» охватить отрицательные и комплексные числа, и направленные отрезки.
В математике эта теория окончательно утвердилась после «курса алгебраического анализа» (1821) О. Коши и «Теории биквадратичных вычетов» (1832) Гаусса.
Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями гиперкомплексных числел, с помощью которых можно было бы изучать повороты направленных отрезков в пространстве.
Представители английской школы символической алгебры Дж. Пикок (1791-1858), Д. Грегори (1813-1844), А. Де Морган (1806-1874), Дж. Гревс (1806-1870) получили ряд интересных результатов, изучая триплеты, т. е. выражения вида
t=a+bi+cj,
где i2=-1,
j2=-1, a, b, c – действительные числа.
Однако им не удавалось так задать операции с триплетами, чтобы наряду с умножением была бы выполнима операция деления, кроме деления на нуль. У. Гамильтон в течение нескольких лет изучал операции с триплетами. Проделав громадные вычисления, он убедился, что на множестве триплетов систему с делением построить невозможно, и перешел к исследованию кватернионов, т. е. выражений вида
w=a+bi+cj+dk,
где i2=j2=k2=-1,
ij=-ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j, a, b,c, d – действительные числа.
В своем труде «Лекции о кватернионах» Гамильтон дал строгое изложение алгебры комплексных чисел и создал учение, которое явилось одним из алгебраических источников развития современного векторного исчисления. В работе автор впервые вводит термины «вектор» (от лат. vector – «несущий или ведущий, влекущий, переносящий»), «скаляр», скалярное и векторное произведения, а так же определяет операции с векторами в трехмерном пространстве. Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносе подвижной точки из начального положения в конечное».
Теорию кватернионов развил и усовершенствовал математик и физик П. Тэт (1831-1901), посвятивший теории кватернионов и ее приложениям к физике 70 своих работ. В 1867 г. в «Элементарном трактате по теории кватернионов» Тэт впервые дал векторное изложение аналитической геометрии. В главе «Геометрия прямой и плоскости» Тэт предложил те задачи, которые и сейчас входят в учебники: найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки; найти длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость; найти условие того, что четыре данные точки лежат в одной плоскости, и т. д.
Грассман в труде «Учение о протяженности» (1844 г.) впервые излагает учение об n - мерном евклидовом пространстве, которое как частный случай включает теорию векторов на плоскости и в трехмерном пространстве. Векторы, названные автором палочками, он обозначал жирными буквами латинского алфавита. Скалярное произведение векторов, названное им внутренним произведением, он обозначал a | b; векторное произведение, внешним произведением, он обозначал [a, b].
Во второй половине 19 в. идеи векторного исчисления получили свое развитие, в основном, в области физики. Так, Сен-Венан (1797-1886), опираясь на труды Валлиса и Стевина, в работе «О геометрических суммах и разностях и их применении для упрощения изложения механики» (1845 г.) разработал теорию сложения и вычитания направленных отрезков. Джемс Кларк Максвелл (1831-1879), один из создателей теории электромагнитного поля, применил в своем «Учении об электричестве и магнетизме» векторное исчисление. «Ценность идеи вектора несказанна», - писал Максвелл Тэту. Из разбухшего аппарата теории кватернионов он выбрал то, что необходимо для векторного исчисления, и тем самым создал удобный инструмент, который широко использует современная физика.
Однако современный вид придали векторному исчислению в конце 19 в. американский физик, один из основателей химической термодинамики и статической механики - Дж. Гиббс (1839-1903), Грассман, и английский физик О. Хевисайд (1850-1925), применивший векторы в своей «Электромагнитной теории».
В последней четверти 19 в. происходит слияние, синтез трех путей (геометрического, алгебраического и физического) исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики.
В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много свойств с алгебраическими действиями. Наряду с ней Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий переменные векторы - векторные функции, и определил производные скалярной функции по векторному аргументу (градиент) и некоторые виды производных вектор-функций векторного аргумента – дивергенцию и роторы.
История векторного анализа подчеркивает неразрывную связь отдельных областей математики – алгебры, геометрии, математического анализа, теории функций комплексного переменного. Созданные в 16 в. для решения алгебраических уравнений комплексные числа в 19 в. стали образцом для открытия теории гиперкомплексных чисел, которая вскоре привела ученых к теории кватернионов и к векторному исчислению. Векторный анализ, построенный как математический аппарат для изучения электричества и магнетизма, стал научной базой для развития физических теорий, что в последствии привело к созданию тех благ цивилизации, которыми сейчас пользуется человечество.
