Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями» для учащихся 10-11-х профильных классов (стр. 2 )

Значит, arccos → , причем  arccos < . Наименьшее у = 0 при х = ± 1, наибольшего нет.

Функция в области определения неотрицательна, т. е.  arccos ≥ 0. Дополнительные точки  ; .

<Рисунок 1>

В домашнее задание можно включить следующие упражнения:  построить графики функций: y = arccos ,  y = 2 arcctg x,  y = arccos ⎮x⎮. Предложить задания на нахождение области определения из приложения.

Г р а ф и к и  о б р а т н ы х  ф у н к ц и й

  <Рисунок 2>

Уроки №5-6 (2 ч).

Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.

Цель: Расширить математические познания (это важно для поступающих на специальности с повышенными требованиями к математической подготовке) путем введения основных соотношений для обратных тригонометрических функций.

Материал для урока.

Некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями:  sin (arcsin x) = x, ⎪x⎪ ≤ 1;  cos (arсcos x) = x, ⎪x⎪ ≤ 1;  tg (arctg x)= x, x ∈ R; 

ctg (arcctg x) = x, x ∈ R.

Упражнения.

а) tg (1,5 π + arctg 5) = - ctg (arctg 5 ) = .

ctg (arctg x ) =  ;  tg (arcctg x ) =  .

б) cos (π + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = α , sin α = 0,6; 

- cos α =

cos (arcsin  x ) = ; sin (arccos x) = .

Замечание: Берем перед корнем знак “+” потому, что α = arcsin x удовлетворяет .

в) sin (1,5 π  + arcsin ).Ответ: ; 

г) ctg (π + arctg 3).Ответ: ;

д) tg (π – arcctg 4).Ответ: .

е) cos (0,5 π + arccos ) . Ответ: .

Вычислить:

a) sin (2 arctg 5) .

Пусть arctg 5 = α , тогда sin 2 α = или sin (2 arctg 5) = ;

б) cos (π + 2 arcsin 0,8).Ответ: 0,28.

в) arctg + arctg .

Пусть  α = arctg , β = arctg , 

тогда tg (α + β) = .

г) sin (arcsin + arcsin ).

д) Доказать, что для всех  x ∈ [-1; 1] верно arcsin x + arccos x = .

  Доказательство:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x ) = sin ( – arccos x)

  x = cos (arccos x )

  x = x

Для самостоятельного решения: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)),  tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Для домашнего решения.

1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0). Ответ:

2) arcsin + arcsin . Ответ:

3) ctg (π – arccos 0,6). Ответ: - 0,75

4) cos (2 arcctg 5). Ответ:

5) sin (1,5 π – arcsin 0,8). Ответ:  - 0,6

6) arctg 0,5 – arctg 3.        Ответ:                        

Уроки № 7-8 (2ч).

Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.

Цель:        на данном уроке показать использование соотношений в преобразовании более сложных выражений.

Материал для урока.

После проверки домашнего задания можно предложить следующие упражнения:

       

  УСТНО:  а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);  б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5); в) sin (arctg -3),

cos (arcсtg());  г) tg (arccos ), ctg (arccos()).

  ПИСЬМЕННО:

1) cos ( arcsin + arcsin + arcsin ).

Пусть:  arcsin = α , arcsin = β, arcsin = γ , причём α, β, γ ∈ I ч, тогда 

сos  (α + β + γ)  =  cos  ((α + β) + γ)  =  cos α  cos β  cos γ  –  sin α sin β cos γ – sinα cos β sin γ + cos α sin β sin γ = .

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (π - arcsin 0,6 ) = - tg (arcsin 0,6 ) =

4)

 

  Самостоятельная работа поможет выявить уровень усвоения  материала

B – I	B – II
1) tg (arctg 2 – arctg  )  2) cos(π - arctg2)  3) arcsin + arccos	1) cos ( arcsin + arcsin )  2) sin (1,5π - arctg 3)  3) arcctg3 – arctg 2

Для домашнего задания можно предложить: