Диагностическая работа

Диагностическая работа №3 (март 2015)

Вариант 6

Часть 1

№ задания	Ответ	Другие варианты ответов
1	0,13
2	2
3	3
4	0; 5	5;0
5	132
6	32
7	9,5
8	4
9	36
10	29,5
11	96
12	41
13	1
14	4
15	753
16	120
17	12
18	13	31
19	0,95
20	16

Часть 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

21

Решите систему уравнений

Решение.

Сложив два уравнения системы, получаем , откуда: или .

При получаем .

При получаем .

Решения системы уравнений: и .

Ответ: ; .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Преобразования выполнены верно, получен верный ответ
1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

22

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 44 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 4 км/ч, за 81 секунду. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Ответ: 900 м.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
3	Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2	Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
3	Максимальный балл

23

Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Значение выражения неотрицательно при и , а при и значение этого выражения отрицательно.

Построим график функции при и и график функции при и .

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при и .

Ответ: ; 1.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
3	График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
4	Максимальный балл

24

Высота ромба делит сторону на отрезки и . Найдите высоту ромба.

Решение.

Поскольку — ромб, .

Треугольник прямоугольный, поэтому:

.

Ответ: 5.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
1	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но допущена одна вычислительная ошибка
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

25

В треугольнике с тупым углом проведены высоты и . Докажите, что треугольники и подобны.

Доказательство.

Поскольку угол тупой, основания высот будут и лежат на продолжениях сторон и соответственно. Диагонали четырёхугольника пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку , около четырехугольника можно описать окружность. Тогда углы и равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу . Аналогично, . Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
1	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

26

Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Решение.

Пусть диагонали и трапеции с основаниями , пересекаются в точке , а прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку , пересекает боковые стороны и в точках и соответственно (см. рис.).

Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом , поэтому треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . Значит, . Аналогично, . Следовательно, .

Пусть и — высоты подобных треугольников и , проведённые из общей вершины . Тогда . Следовательно,

.

Ответ: 44:81.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	Ход решения задачи верный, получен верный ответ
3	Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
4	Максимальный балл