ОБРАЗЕЦ варианта К. р.1 по Практикуму на ЭВМ по материалу модуля 1 для бакалавров 1-го курса ФПМиК (группы ПИ-11, ПИ-12, ПИ-13, ФИ-12 преподавателя ).
Порядок проведения, указания и методы решения задач
К. р.1 проводится обязательно в присутствии преподавателя в компьютерном зале (и переписывается /дописывается на тех же условиях – и не позднее 31 октября). Результаты расчётов с краткими, но понятными пояснениями списываются с дисплея в рабочую тетрадь (за ведение которой будет ставиться отдельная оценка). К. р.1 рассчитана на два академических часа (45 минут + 45 минут). В конце её рабочая тетрадь сдаётся на проверку преподавателю. Допускается также сдача каждой из трёх задач преподавателю прямо «с экрана», но результат должен быть зафиксирован в тетради. Разрешается пользоваться любыми печатными и интернетовскими изданиями и своей рабочей тетрадью. Запрещается переговариваться, звонить по мобильнику и скачивать решения с экрана другого студента.
К. р.1 состоит из трёх задач по следующим трём темам:
Зад.1 «Возникновение ошибок в компьютере при изображении чисел и действиях с ними. Исправление их в простых случаях».
Зад.2 «Работа с матрицами в EXCEL»
Зад.3 «Построение графиков. Простые вычисления по формуле Симпсона».
Типовая задача 1. Вычислить 2^64 . Доказать, что последние 5 цифр этого 20-значного натурального числа НЕВЕРНЫ. Вычислить 2^64–18446744000000000000. Верны ли последние 5 цифр этого 11-значного числа? Помогают ли они найти последние 5 цифр предыдущего числа? Извлеките корень из 11-значного числа. Верно ли, что четвёртая и пятая цифры после запятой равны? Если ДА, то чему они равны?
Типовая задача 2. Дан куб со стороной 8 см, разбитый на мелкие кубики со стороной 1 см. Во всех мелких кубиках записано число 1. Внутри этого куба выделен куб со стороной 4 см; его центр совпадает с центром первого куба. Во всех мелких кубиках выделенного куба число 1 поменяли на число 0. Восемь слоёв исходного куба с записанными в них числами 1 или 0 рассматриваются как восемь матриц 8 на 8. Найти произведение всех этих матриц, записанных в том же порядке, в котором следуют слои.
Типовая задача 3. Построить график функции в полярных координатах:
r = 25 cos2ц sin2ц / (cos5ц + sin5ц +1,5)
График состоит из четырёх неравных лепестков. Провести биссектрису первого квадранта и найти её точки пересечения с лепестком, лежащим в первом квадранте. Этих точек будет две. Обозначим их О и М. Середину отрезка ОМ обозначим К. Отрезок ОМ разбивает лепесток на две равновеликие части. Верхнюю часть лепестка разделим на две неравные части, проведя через К прямую, перпендикулярную ОМ. Используя формулу Симпсона, найти приближённо площадь левой верхней части лепестка.
РАЗБОР РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
1. Последняя степень двойки,, которую EXCEL вычисляет точно – это 2^49 (проверьте это!). А именно, число 2^49 = 562949953421312. Вычисление 2^50 даёт 1125899906842620, что НЕВЕРНО: на последнем месте должен стоять не 0, а 4 (почему?) Вычисление же 2^64 даёт ответ 18446744073709600000, что как бы делает намёк: наверное, последние 5 цифр неверны. Однако среди пяти последних ВЕРНЫХ цифр могли встретиться и нули! Поэтому надо срочно уточнить, каковы же верные последние пять цифр. Сейчас мы докажем, что они равны 51616, то есть нулей среди них нет. И тогда станет ясно, что не только последние пять цифр EXCEL вычислил неверно, но и шестую – тоже! Она равна не 6, а 5 ( «шесть» появилось из-за округления числа, не помещающегося в разрядную сетку компьютера).
Очевидно, что при умножении 2^49 на 2^15 должно получиться как раз 2^64 (если бы только у компьютера было отведено больше разрядов под хранение целых чисел). Но 2^15 = 32768. Умножим это число на число 3421312, на которое оканчивается 2^49. Получается число 112109551616. Обратите внимание, что последние цифры этого числа ПРАВИЛЬНО выражают последние цифры числа 2^64, так как если у каждого из сомножителей отрезать несколько последних цифр и перемножить отрезанные цифры, то получится несколько верных последних цифр произведения. Но сколько же именно верных цифр? В первом сомножителе ВСЕ цифры верные, во втором – взято 7 верных цифр. Можно надеяться, что последние 7 цифр произведения верны. Однако на самом деле получились верными даже 8 последних цифр (они выделены жирным курсивом). В этом легко убедиться, взглянув на 8 последних цифр числа 2^64 , посчитанного компьютером: …09600000. Итак, 2^64 = 18446744073709551616.
Далее задача решается легко. Ясно, что вычитание из числа 2^64 числа 18446744000000000000 приводит к убиранию старших разрядов из числа 2^64 , и остаётся число 073709551616. Так как нули впереди числа не пишутся, то это число не 12-значное, как было задумано, а 11-значное. Но будет ли компьютер правильно вычитать числа, если уже уменьшаемое он не способен разместить в своей разрядной сетке? Эксперимент показывает, что все цифры 11-значного числа после вычисления на компьютере верны. Это означает, что количество разрядов «сумматора», в котором происходят все арифметические действия компьютера (сложение, вычитание, умножение, деление) увеличено вдвое по сравнению с разрядами для записи окончательного ответа (подумайте, почему именно вдвое, а не втрое?). А так как при вычитании старшие разряды «взаимно уничтожились», то на освободившихся местах удалось без ошибок разместить все цифры числа 73709551616. Итак, последние 5 цифр разности верны (так как вообще все её цифры верны), и они, несомненно, помогают узнать последние 5 цифр числа 2^64 … потому что они им равны! Ну и, наконец, 4-я цифра после запятой у корня из 73709551616 равна 5-й цифре (и обе они равны 5). А самое главное, обе этих цифры ВЕРНЫЕ. <Рекомендуется также прочесть файл «Вычисление ошибок компьютера» на преподавательском сайте >
2. Восемь матриц-сомножителей, которые нам предстоит перемножить, состоит только из ДВУХ разных сомножителей, которые мы обозначим М и Н. Все элементы М равны 1, а в середине матрицы Н, кроме единиц, имеется также область 4х4, заполненная нулями. Значит, надо найти произведение матриц ММННННММ. Сначала найдем К=ММ и П=НН, и далее найдём произведение КППК в таком порядке: ((КП)П)К. Напоминаем, что для произведения матриц справедлив сочетательный закон умножения, так что скобки можно расставлять так. как нам удобно. Окончательно в ответе получается матрица
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | КППК |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | |
851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 | 851968 |
Таким образом, неожиданно оказалось, что ММННННММ равно матрице М, умноженной на число 851968. <Рекомендуется прочесть файл «Действия с матрицами» на том же сайте>.
3. Прочтите ещё раз файл «Построение графиков» на том же сайте, чтобы вспомнить 5 основных способов построения графиков (и что такое «полярная система координат»). Данный график представлен в полярной системе. Покажем, что в знаменателе никогда не получается деление на 0. Ниже приведён результат построения вспомогательного графика
y = cos5x + sin5x, изучение которого показывает, что это выражение, хотя и может быть отрицательным, но оно никогда не опускается ниже уровня у = -1. Поэтому знаменатель в исходной формуле никогда не обращается в нуль. Далее обычным образом строим график в полярной системе (на отрезке 0 <= ц <= 2р с шагом р/200 ) и получаем такую картину:
Получилась четырёхлепестковая роза с неодинаковыми лепестками, симметричная относительно биссектрисы у=х. Обсудим вопрос о том, как можно было бы найти (хотя бы приближённо) площадь одного из лепестков – например, лежащего в первом квадранте. Сначала изобразим этот лепесток отдельно, в более крупном виде и с добавленной биссектрисой у=х (см. след. рис.).
Для целей, которые станут понятны ниже, на этом рисунке ещё добавлены две прямые, перпендикулярные биссектрисе. Одна из них, красная, проходит через середину отрезка ОМ (точки О и М на рисунке не обозначены), а вторая (зелёная) отсекает от отрезка ОМ одну четверть.
Последнее, что надо сделать в задаче 3 – это вычислить приближённо площадь, ограниченную (в первом квадранте) лепестком кривой, биссектрисой и красной прямой. Это делается с помощью ФОРМУЛЫ СИМПСОНА, о которой сейчас и будет кратко рассказано.
Краткое пояснение о формуле Симпсона
Для определения величины площади, ограниченной замкнутой кривой, как известно, используется определённый интеграл, для вычисления которого достаточно вычислить интеграл неопределённый, и затем применить формулу Ньютона-Лейбница. К сожалению, далеко не от всякой функции можно взять неопределённый интеграл в виде удобной и обозримой формулы, а если это, теоретически говоря, и можно сделать, то практически это слишком сложно. Симпсон предложил разбить график кривой, ограничивающий искомую площадь, на несколько кусков, форма которых близка к дуге параболы. Конкретно, пусть идёт речь о приближённом вычислении площади под кривой y = f(x) на отрезке [a, b] (на котором её график похож на график параболы). Если взять три значения икса на концах отрезка и в его середине (то есть x=a, x=b и x=(a+b)/2) и потребовать, чтобы при этих значениях «х» ордината f(x) совпадала с ординатой параболы, то парабола y = Ax2 + Bx + C определяется однозначно. А так как от любой параболы с таким уравнением неопределённый интеграл легко вычисляется в уме (да и определённый – тоже), то после ряда промежуточных вычислений у Симпсона получилась исключительно простая и легко вычисляющаяся формула:
Площадь приближённо равна (b-a)|/6 * [ f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)]
Обратите внимание, что если все значения f(x) одинаковы, то по этой формуле получается просто площадь прямоугольника, равная произведению основания на высоту.
Приступим к нахождению площади лепестка кривой, лежащего в первом квадранте. Достаточно найти площадь
верхней половины лепестка и удвоить её. Красная прямая отсекает от верхней половины нижнюю часть (криволинейный треугольник), причём кривая, ограничивающая этот кусок сверху, достаточно хорошо приближается уравнением параболы, если в качестве оси иксов взять биссектрису первого квадранта (а в качестве оси игреков взять красную прямую). Именно эту параболу мы и возьмём за основу для выполнения Задания 3 контрольной работы (площадь же всего лепестка мы до конца находить не будем).
Длину куска биссектрисы, лежащего внутри лепестка, то есть длину отрезка ОМ, легко вычислить по уравнению кривой в полярной системе, если взять в нём ц = р/4. После упрощений получается
ОМ = 25*КОРЕНЬ(2)/(1+6*КОРЕНЬ(2)) (приближённо 3,72739).
Значит, в новой системе координат для выбранного нами куска лепестка (верхняя левая часть) есть уже почти все данные, чтобы применить указанную выше формулу Симпсона. В самом деле, a=0, и, конечно, f(a)=0. Далее, ясно, что b=3,72739/2 ; но f(b) пока неизвестно, хотя ясно, что геометрически f(b) равно длине красного отрезка, лежащего внутри верхней половины лепестка. И, наконец, (a+b)/2 = 3,72739/4, но f((a+b)/2) неизвестно (и равно длине зелёного отрезка, лежащего в верхней половине лепестка). Эти две неизвестных величины во втором модуле мы научимся находить с весьма большой точностью с помощью так называемого ОПТИМИЗАТОРА, встроенного в EXCEL. А пока что мы прикинем величины этих двух отрезков «на глазок», учитывая масштабы, указанные на осях последнего рисунка. Первое неизвестное примерно равно 3/5 , а второе примерно 13/30. Что и позволяет посчитать площадь по формуле Симпсона.
Оценки за контрольную будут выставляться по следующему принципу: 1)если решены почти до конца все три задачи, то 9 баллов; 2)если решены две из трёх, то 6 баллов; 3)если только одна, то 3-4 балла (смотря какая из задач решена). Ещё по одному баллу может быть добавлено за толковое изложение решения в тетради. Всем, у кого получится по этой методике меньше четырёх баллов, ПЕРЕПИСЫВАТЬ эту контрольную.
Примечание. Все три задачи будут проще, чем задачи, рассмотренные в качестве примера.
