МОУ «Лицей № 43»
(естественно-технический)
Капиллярность
В ПОЧВЕ
Герасимов Александр
Саранск
Построение математической модели капиллярного поднятия водыРассмотрим подробнее движение жидкости по капилляру. Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом 
. Т. к. жидкость несжимаемая, она не меняет скорости тока вдоль трубы. Но она меняется в зависимости от 
, т. е. 
. Выделим в трубе бесконечно короткую цилиндрическую часть с радиусом 
и длиной 
. На ее боковую поверхность действует касательная сила вязкости 
.
На основание цилиндра действует сила разности давлений
. Если движение стационарно, то сумма этих сил должна быть равна нулю, значит можно записать 
. Т. к. 
и вместе с ней 
не зависят от 
, то и 
должна быть постоянна и равняться 
, где 
– давление на входе трубы, 
– давление на выходе трубы, 
– длина трубы. Учитывая все вышеприведенное получаем 
. После интегрирования 
. 
, из условия, что при 
скорость движения жидкости равна нулю. В итоге получили 
. Из этого уравнения видно, что скорость максимальна на оси трубы. Там она достигает значения 
.
Общий объем жидкости, протекающей за одну секунду, получают интегрированием по всем элементам объема. Получаемое при этом уравнение известно как уравнение Пуазейля [1]:
(1)
В соответствии с уравнением Пуазейля, при движении жидкости в сквозных капиллярах под действием капиллярных сил скорость подъема жидкости прямо пропорциональна радиусу r капилляра, разности капиллярного Pk и гидростатического Pг давлений и обратно пропорциональна высоте подъема жидкости l и динамической вязкости з.
Капиллярное и гидростатическое давления определяются формулами:
(2)
где у - поверхностное натяжение, И - краевой угол смачивания, l - длина пропитанного участка капилляра, с - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, б - угол наклона капилляра по отношению к горизонтальной плоскости.
С учетом выражений (2) формула (1) примет вид:
, (3)
где rе - эффективный радиус капилляра (введение этого понятия обусловлено тем, что радиус капилляров ткани, бумаги, почвы не является неизменным по длине).
Гидростатическое давление растет по мере увеличения высоты поднятия, в то время как капиллярное давление остается неизменным. Поэтому в некоторый момент времени t, достигнув некоторого значения длины lmax, впитывание прекратится вследствие равенства Рк = Рг. Поэтому
, (4)
где lmax – предельная длина впитывания жидкости в капилляр.
С учетом формулы (4) запишем уравнение (3) в виде:
. (5)
Заменим объемную скорость на линейную:
. (6)
Из уравнений (5) и (6) следует:
. (7)
Разделяя переменные, получим:
. (8)
Обозначив
(9)
и учтя, что для вертикальных капилляров sin б =1, получаем:
. (10)
После интегрирования (9) в пределах от t =0 до t и от l=0 до l получаем:
. (11)
Уравнение (11), известное как уравнение Вошберна [3], неудобно для обработки первичных экспериментальных данных в силу его сложности. Для упрощения уравнения можно применить разложение логарифмической функции в степенной ряд [2]:
(12)
и положить ln(1+t)= t, пренебрегая при этом высшими членами разложения и условием |t|
1.
Такая замена является довольно грубой и не позволит сохранить хоть сколько-нибудь точных значений коэффициентов, но она позволит получить зависимость скорости подъема жидкости от высоты подъема в более простом для анализа экспериментальных данных виде [4]:
(13)
Еще более удобной будет запись
(14)
Полученное уравнение показывает, что отношение l/t линейно зависит от величины 1/l, то есть чем выше высота поднятия воды, тем медленнее это поднятие происходит. Это хорошо согласуется с результатами моих экспериментов (часть 1 исследовательской работы). Однако, рассчитав на их основании показатели l/t и 1/l (табл. 1, 2, 3) и параметры теоретических прямых ( на рис. 1а) показаны экспериментальные точки и теоретическая прямая для опытов с водой при температуре 90°C, на рис. 1б) – при температуре 45°C, на рис. 1в) – при температуре 5°C), я пришел к выводу, что отклонения от модели (14) слишком уж велики. Задался вопросом – значит ли это, что модель не удачная, или неверно выбрана область применения? Чтобы ответить на этот вопрос, взял данные табл. 3 и оставил для расчета лишь те из них, которые соответствуют интервалам времени 60, 120, 240, 360 и 420 с, вновь рассчитал коэффициенты теоретической прямой методом наименьших квадратов, и вот что из этого получилось – рис. 2. Точки легли на прямую почти идеально. Провел также дополнительный опыт, в котором капиллярное поднятие воды наблюдал в течение 3 часов (результаты измерения и расчета по этому опыту представлены в табл. 4). И в этом случае экспериментальные точки прекрасно легли на прямую (рис. 3). На основании всех этих наблюдений делаю вывод: модель (14) хорошо описывает поднятие воды по вертикальным капиллярам, однако обладает недостаточной точностью на первом этапе поднятия, когда скорость максимальная и быстро меняющаяся. Какую же модель применить для описания движения воды по капиллярам в этом случае? Возвращаюсь вновь к уравнению (3). Как его можно упростить, чтобы при этом максимально точно описать процесс движения воды по капиллярам в самом его начале? Надо разобраться, в чем отличие начальной стадии поднятия воды от последующих. Конечно же, в том, что высота, а значит и масса поднявшейся в капилляр воды еще не велика и можно пренебречь силой тяжести! В этом случае уравнение (3) с учетом равенства (6) примет вид
. (15)
После интегрирования уравнения (1.2.73) в пределах от t =0 до t и от l =0 до l получаем
. (16)
Следовательно, 
. Проверим, насколько это подтверждается данными эксперимента. Для обработки беру результаты опытов с водой при 90°C за первые 60 с (8 экспериментальных точек), вычисляю значения √t (табл. 5) и обрабатываю результаты методом наименьших квадратов. Экспериментальные точки и теоретическая прямая показаны на рис. 4. Результаты расчета выглядят следующим образом:
y = a + b·x = (3.55 ± 0.82) + (2.64 ± 0.15)·x
Оценка значимости параметров при коэффициенте Стьюдента t0.95, 6 = 2.4469
Дa = ±2.014 ≤ |a| – свободный член уравнения значим
Дb = ±0.3754 ≤ |b| – наклон прямой значим
Стандартное отклонение y от расчетных Sy = 0.785
Коффициент корреляции сa, b = –0.94.
Теперь беру результаты того же опыта за первые 180 с и снова произвожу их обработку методом наименьших квадратов. Результаты расчета выглядят в этом случае так:
y = a + b·x = (1.8 ± 1.9) + (3.01 ± 0.22)·x
Оценка значимости параметров при коэффициенте Стьюдента t0.95, 15 = 2.1314
Дa = ±3.992 > |a| – свободный член уравнения не значим
Дb = ±0.4599 ≤ |b| – наклон прямой значим
Стандартное отклонение y от расчетных Sy = 2.92
Коффициент корреляции сa, b = –0.93
Считаю факт резкого увеличения всех отклонений и утраты значимости свободного члена достаточным доказательством того, что формула (16), полученная для горизонтальных капилляров, то есть с пренебрежением силой тяжести, хорошо описывает капиллярное поднятия воды только на начальной стадии процесса.
t, с | l, мм (90°C) | 1/l м -1 | l/t мм/c |
5 | 9 | 111 | 1.80 |
10 | 12 | 83 | 1.20 |
15 | 14 | 71 | 0.93 |
20 | 16 | 63 | 0.80 |
30 | 18 | 56 | 0.60 |
40 | 20 | 50 | 0.50 |
50 | 22 | 45 | 0.44 |
60 | 24 | 42 | 0.40 |
70 | 26 | 38 | 0.37 |
80 | 28 | 36 | 0.35 |
90 | 30 | 33 | 0.33 |
100 | 32 | 31 | 0.32 |
110 | 34 | 29 | 0.31 |
120 | 36 | 28 | 0.30 |
140 | 38 | 26 | 0.27 |
160 | 40 | 25 | 0.25 |
180 | 42 | 24 | 0.23 |
200 | 43 | 23 | 0.21 |
220 | 44 | 22 | 0.20 |
240 | 45 | 22 | 0.19 |
Таблица 1
t, с | l, мм (45°C) | 1/l м -1 | l/t мм/c |
5 | 6 | 160 | 1.2 |
10 | 11 | 91 | 1.1 |
15 | 14 | 71 | 0.93 |
20 | 17 | 59 | 0.85 |
30 | 22 | 45 | 0.73 |
40 | 24 | 42 | 0.60 |
50 | 26 | 38 | 0.52 |
60 | 28 | 36 | 0.47 |
70 | 30 | 33 | 0.43 |
80 | 32 | 31 | 0.40 |
90 | 34 | 29 | 0.38 |
100 | 35 | 28 | 0.35 |
110 | 36 | 28 | 0.33 |
120 | 37 | 27 | 0.31 |
140 | 39 | 26 | 0.28 |
160 | 41 | 24 | 0.26 |
180 | 43 | 22 | 0.24 |
200 | 45 | 20 | 0.22 |
220 | 47 | 18 | 0.21 |
240 | 48 | 17 | 0.20 |
260 | 49 | 16 | 0.19 |
280 | 50 | 16 | 0.18 |
Таблица 2
t, с | l, мм (5°C) | 1/l м -1 | l/t мм/c |
5 | 6 | 160 | 1.2 |
10 | 10 | 100 | 1.0 |
15 | 13 | 77 | 0.86 |
20 | 16 | 63 | 0.80 |
30 | 20 | 50 | 0.67 |
40 | 22 | 45 | 0.55 |
50 | 24 | 42 | 0.48 |
60 | 26 | 38 | 0.43 |
70 | 28 | 36 | 0.40 |
80 | 30 | 33 | 0.38 |
90 | 32 | 31 | 0.36 |
100 | 33 | 30 | 0.33 |
110 | 34 | 29 | 0.31 |
120 | 35 | 28 | 0.29 |
140 | 37 | 27 | 0.26 |
160 | 39 | 26 | 0.24 |
180 | 41 | 24 | 0.22 |
200 | 43 | 23 | 0.21 |
220 | 45 | 22 | 0.20 |
240 | 46 | 22 | 0.19 |
260 | 47 | 21 | 0.18 |
280 | 48 | 21 | 0.17 |
300 | 49 | 20 | 0.16 |
320 | 50 | 20 | 0.16 |
340 | 51 | 20 | 0.15 |
360 | 52 | 19 | 0.15 |
380 | 53 | 19 | 0.14 |
400 | 54 | 19 | 0.14 |
420 | 55 | 18 | 0.13 |
Таблица 3
а) 
б) 
в) 
Рис. 1. Зависимость скорости движения воды по капиллярам от высоты ее поднятия: экспериментальные данные и теоретическая прямая.
Рис. 2.
t, мин | l, см | 1/l м -1 | l/t мм/c |
5 | 2.5 | 40 | 0.5 |
10 | 3.0 | 33 | 0.3 |
20 | 3.7 | 26 | 0.19 |
30 | 4.4 | 23 | 0.15 |
60 | 4.7 | 21 | 0.08 |
120 | 5.0 | 20 | 0.04 |
Таблица 4
Рис. 3.
Итак, проанализировав процесс капиллярного поднятия воды с учетом всех сил и сопоставив полученные математические модели с результатами своих экспериментов, делаю следующие выводы:
На начальных стадиях капиллярного поднятия воды процесс хорошо описывается формулой (16), согласно которой
. Если капиллярное впитывание рассматривается в течение длительного времени (минуты и часы), то для описания процесса лучше подходит модель (14), согласно которой величина l/t линейным образом зависит от величины 1/l. t, с | l, мм | √t |
5 | 9 | 2.2 |
10 | 12 | 3.2 |
15 | 14 | 3.9 |
20 | 16 | 4.5 |
30 | 18 | 5.5 |
40 | 20 | 6.3 |
50 | 22 | 7.1 |
60 | 24 | 7.7 |
Таблица 5
Рис. 4
Исследование капиллярного поднятия воды в почве
Теоретическая часть
Особенности капиллярного поднятия воды в почве
Из уравнения Д. Жюрена следует, что чем тоньше капилляр, тем выше должна подняться вода. Однако, когда дело касается реальных почв, это справедливо только в определенных пределах. В частности, формула Д. Жюрена не применима для очень тонких капилляров диаметром менее 10-6 см, так как для капиллярной воды здесь просто нет места - все пространство в таких тонких капиллярах занято пленочной и адсорбированной водой. Адсорбированная, или гигроскопическая, влага образует вокруг почвенных частиц тончайшую пленку ориентированных дипольных молекул и удерживается с большой прочностью. Количество гигроскопической влаги в почве находится в прямой зависимости как от механического состава почвы, так и от состояния температуры и влажности воздуха. Чем богаче почва илистой фракцией и перегнойными веществами, тем больше содержится гигроскопической влаги, а также чем влажней воздух, тем больше влаги адсорбируется почвой. Гигроскопическая влага удерживается на поверхности почвенных частиц с большой силой, и отделить ее от них можно лишь путем продолжительного нагревания почвы при температуре 105°. Находясь всецело под влиянием сил молекулярного притяжения со стороны отдельных почвенных частичек, гигроскопическая влага не подчинена силе тяжести, а поэтому и неспособна к свободному передвижению в почве. Передвижение ее в почве возможно лишь в случае перехода ее в парообразное состояние под воздействием температуры. Будучи как бы припаянной и прочно удерживаемой на поверхности почвенных частичек, гигроскопическая влага для растений является практически недоступной. Поверх водного слоя, образуемого гигроскопической влагой, в почве способны нарастать и новые тончайшие водные слои, также удерживаемые силами молекулярного притяжения почвенных частичек. Нарастание новых водных слоев имеет предел и длится до тех пор, пока сказывается действие адсорбционных сил твердых почвенных частичек. Эта почвенная влага, расположенная несколькими одномолекулярными слоями сверх гигроскопической влаги и удерживаемая силами молекулярного притяжения почвенных частичек, носит название рыхло связанной, или пленочной, воды [5].
Помимо адсорбированной влаги на подъем воды по капиллярам в почве большое влияние оказывает находящийся в его порах адсорбированный и защемленный воздух: чем больше его в порах почвы, тем меньше величина капиллярного поднятия. При наличии больших объемов защемленного воздуха капиллярное поднятие может быть прервано совершенно.
Далее. юрена получено с использованием допущения, что капилляр цилиндрический. Что произойдет, если капилляр будет иметь более сложную форму, например тонкие отверстия в нем будут чередоваться с утолщениями, иначе говоря, диаметр капилляра будет переменным? Вода в таком капилляре при его иссушении будет оставаться только в самых узких его местах и располагаться отдельными участками - «цепочками» - по всей длине нашего сложного капилляра. Эти разорванные столбики капиллярной воды в трубке, перемежающиеся воздушными пузырьками в овальных утолщениях получили название «жаменовских цепочек» по имени французского исследователя Жамена (Jamin). Выдавить воду из такой удивительной трубочки очень тяжело. Можно попробовать придать дополнительное газовое давление в нее с одного конца. Однако при этом все мениски, обращенные вогнутостью навстречу воздушному давлению, начнут более заметно прогибаться, и менисковые водоудерживающие силы будут еще более возрастать Вода оказывается «защемленной» в таких «жаменовских цепочках». Можно попробовать добавить сверху в такой капилляр еще воды, но она не будет в него впитываться, и водное давление выдержат менисковые силы «жаменовских цепочек». Получается, что такого рода «жаменовские цепочки» могут служить водо - и газонепроницаемым (слабопроницаемым) экраном. Где же в природе можно встретить такие цепочки? Роль овальных утолщений в стеклянной трубке способны играть крупные поры в песчаной почве, а тонких капилляров – поры глинистой почвы с тонкими капиллярами. Если поочередно уложить слои сухой песчаной и суглинистой почв, то в результате мы получим практически непроницаемую водоупорную систему. Такого рода простую конструкцию можно использовать для создания дна водоема, канала, для сохранения влаги в песчаной почве. Природа нередко сама создает их, например, в пойменных почвах, в эоловых песках, в которых иногда задерживается немалое количество влаги. Эффект «жаменовских цепочек» используют при создании различного рода почвенных конструкций, непроницаемых для веществ и воды экранов в почвах, водонакоплении в песчаных почвах засушливых регионов и пр. В частности, есть мнение, что знаменитые сады Семирамиды выживали и росли в пустыне благодаря капиллярным явлениям, а именно «жаменовским цепочкам». Вполне вероятно, дело обстояло следующим образом. Перед посадкой садов рабы долго на своих плечах носили глинистую почву из долины Тигра. Эту работу прерывали нередкие в этих местах песчаные бури. Песок осаждался на глинистый грунт, а затем рабы снова продолжали свой труд. Так образовывалась почва с песчаными прослойками. Эта естественно образовавшаяся «почвенная конструкция» за счет эффекта «жаменовских» цепочек не давала воде фильтроваться за пределы корнеобитаемого слоях [6].
Водные свойства почвы.
Различные почвы обладают разными водными свойствами: одни из них хорошо впитывают и хорошо удерживают воду, другие быстро впитывают, но неспособны длительно удерживать, третьи — и плохо впитывают, и скоро теряют.
Таким образом, «судьба» и значение одного и того же количества воды, попавшей в разные почвы, в каждом конкретном случае будут различными. Совокупность признаков, характеризующих отношение почвы к воде, составляет понятие водные свойства почвы [7] . Одним из таких свойств является капиллярность, или ее еще называют водоподъемной способностью почвы. Это свойство почв имеет большое значение для обеспечения растений водой из нижних слоев почвы.
На капиллярность почвы влияют многие факторы, наиболее важными из которых являются ее гранулометрический и химико-минералогический состав, а также химический состав воды.
Гранулометрический состав грунта в первую очередь определяет характер и размер пор, поэтому не удивительно, что его влияние на высоту и скорость капиллярного поднятия воды чрезвычайно велико. С возрастанием дисперсности грунтов размер пор в них уменьшается, и в соответствии с этим увеличивается высота капиллярного поднятия и, наоборот, уменьшается скорость подъема воды. Чем больше начальная скорость капиллярного движения воды, тем быстрее затухает это движение и, наоборот, чем медленнее происходит поднятие капиллярной воды, тем большей высоты оно достигает. В зависимости от особенностей минералогического состава и степени окатанности частиц почвы высота капиллярного поднятия будет неодинакова даже при одинаковой степени дисперсности.
Высота капиллярного поднятия воды в грунтах зависит также от первоначального состояния их увлажнения. Установлено, в частности, что сухие пески обладают меньшей водоподъемностью по сравнению с влажными. По данным (1954), высота капиллярного поднятия во влажном грунте в 3—4 раза больше, чем в сухом. Это различие может быть объяснено неодинаковой смачиваемостью влажных и сухих минеральных грунтовых частиц [8].
Большое влияние на высоту и скорость капиллярного поднятия оказывают структурно-текстурные особенности грунтов. В монолитных грунтах капиллярное передвижение воды совершается беспрепятственно во всей толще грунта снизу вверх. В грунтах, обладающих макроструктурой, капиллярное передвижение воды затруднено наличием некапиллярных пор между отдельными структурными элементами. Что касается химического состава воды, то было установлено, что присутствие в воде различных солей может увеличивать или, наоборот, уменьшать высоту капиллярного поднятия. Полынова (1930) показали, что в процессе капиллярного поднятия одни соли поднимаются на большую высоту, другие — на меньшую. В нижней части капилляров преобладают сульфаты, а в верхней (с высоты около 40 см) — хлориды [5].
Планируя эксперименты с почвой, я ставлю задачу самостоятельно пронаблюдать, как будет меняться скорость и высота капиллярного поднятия воды в грунте в зависимости от его состава, структуры и уплотнения, а также чем отличается капиллярное поднятие воды в почве от наблюдаемого мною ранее поднятия воды по капиллярам ткани и бумаги.
Практическая часть
Для проведения экспериментов была сооружена вот такая установка (рис.1). Суть опыта – труба, заполненная грунтом, помещалась в ванночку с водой высотой около 0.5 см, отмечалось время погружения трубы и наблюдалась скорость поднятия воды в почве по изменению ее цвета. Уровень воды в ванночке поддерживался неизменным.
Рис. 1. Экспериментальная установка
Опыт был проделан трижды. В первый раз для опыта был взят довольно влажный грунт, не подвергавшийся никакой обработке. Этот опыт оказался самым коротким, поскольку уже через час после его начала наблюдать поднятие воды оказалось практически невозможно – на темном грунте уровень «промокания» был виден очень плохо. При высыпании грунта из трубы по окончании опыта удалось установить, что влага за двое суток поднялась не более чем на 6 см, хотя первоначальная скорость поднятия воды была очень высокой. Результаты измерений по опыту №1 представлены в табл. 1.
Таблица 1
Время (t ), мин | Высота поднятия воды (l), см |
5 | 3.0 |
10 | 3.5 |
20 | 3.7 |
30 | 3.8 |
60 | 3.9 |
После проведения первого опыта грунт был тщательно просушен и измельчен, а затем снова помещен в трубу для второго опыта. Здесь наблюдения продолжались довольно долго, результаты измерений представлены в табл. 2.
Таблица 2
Время (t ), мин | Высота поднятия воды (l), см |
5 | 1.0 |
10 | 1.4 |
20 | 2.0 |
30 | 2.4 |
60 | 3.3 |
120 | 4.8 |
180 | 5.8 |
240 | 6.6 |
300 | 7.2 |
360 | 7.7 |
540 | 9.0 |
1080 | 12.0 |
Результаты этого опыта были обработаны методом наименьших квадратов на предмет того, наблюдается ли линейная зависимость отношения l/t от величины 1/l. Экспериментальные точки очень хорошо легли на прямую (рис. 2), что подтвердило пригодность этой математической модели и для описания капиллярных явлений в почве.
Сравнивая результаты первого и второго опыта, можно констатировать, что с повышением дисперсности почвы, то есть уменьшением размеров капилляров (опыт №2), увеличилась в полном соответствии с законом Жюрена высота капиллярного поднятия, а скорость подъема воды снизилась в разы.
Рис. 2. Зависимость отношения l/t от величины 1/l для опыта №2
Для проведения третьего опыта грунт был вновь просушен и помещен в трубу с тщательным утрамбовыванием каждого слоя. Поднятие воды в этом случае началось так медленно, что даже пришлось началом измерений принять момент t= 0.5 часа (30 мин) и в качестве единицы измерения времени взять часы, а не минуты, как в предыдущих опытах. Результаты измерений за первые пять суток представлены в табл. 3.
Таблица 3
Время (t ), час | Высота поднятия воды (l), см |
0.5 | 1.5 |
1 | 2.5 |
2 | 4.5 |
3 | 6.2 |
4 | 7.2 |
5 | 7.9 |
6 | 8.5 |
9 | 9.0 |
18 | 10.5 |
24 | 12.0 |
48 | 14.0 |
72 | 16.0 |
96 | 18.0 |
120 | 20.0 |
Попытка описать результаты последнего опыта с помощью одной из ранее используемых математических моделей не увенчалась успехом – погрешности оказались слишком велики. Поскольку до сих пор эти модели удачно работали, я пришел к выводу, что в случае с утрамбованным грунтом произошло усиление влияния на процесс некоторых сил, которые не были учтены в примененных математических моделях. В предыдущих опытах эти силы были малы, и их влиянием на процесс поднятия воды можно было пренебречь. Для меня стало очевидным, что это силы трения между водой и частичками грунта. Подтверждение этому я нашел и в литературных источниках [4].
Поднятие воды продолжалось в третьем опыте 12 суток. В табл. 4 отражены результаты измерений с суточным интервалом.
Таблица 4
Время (t ), сут | Высота поднятия воды (l), см |
1 | 12.0 |
2 | 14.0 |
3 | 16.0 |
4 | 18.0 |
5 | 20.0 |
6 | 22.0 |
7 | 23.5 |
8 | 25.0 |
9 | 26.0 |
10 | 27.0 |
11 | 27.5 |
12 | 28.0 |
Считая высоту поднятия воды по истечение 12 суток максимальной, рассчитал на основе формулы Жюрена средний диаметр капилляров почвы. Он оказался равным примерно 0,1 мм.
Анализ результатов наблюдений, измерений и расчетов позволил сделать следующие выводы:
В почвах, содержащих большое количество крупных частиц, между которыми имеются широкие некапиллярные промежутки, вода поднимается быстрее, но на небольшую высоту. Почва с разрушенной структурой, содержащая большое количество пыли, может поднимать воду выше, но медленнее. При уплотнении почвы высота капиллярного поднятия воды еще более повышается, а скорость поднятия – снижается. На капиллярный подъем воды с уменьшением диаметра пор в почве все большее влияние начинают оказывать силы трения.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
http://optoelectrosys. ru/teor/vyazkoe-dvizhenie-zhidkosti-formula-puazejlya-chislo-rejnoldsa-ego-fizicheskij-smysl. html http://www. xumuk. ru/colloidchem/36.html http://mathprofi. ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady. html http://www. science-education. ru/en/100-5273 http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%BC_%D0%BF%D0%BE%D1%87%D0%B2 Курс физики почв. М.: Изд-во МГУ, 2005. - 432 с. http://big-archive. ru/geography/pedology/23.php http:///gruntovedenie/fizicheskie_svoystva/dvizhenie_vody1/