Задания

28. Метод Пикара решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x):

, здесь y(n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная.

Метод Пикара.

Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Хо, если функция f(x, Y) непрерывна в окрестности точки (X0,Y0).

Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x, Y), но и ее частная производная f'у(x, Y) также непрерывна в окрестности точки (Х0,У0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х0.

Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом - оно конструктивно. Причем последовательность функций Yn(x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Yn(x) строится по рекуррентной формуле:

при n= 0,1,2,...,

а за нулевое приближение берется константа Y0: Y0 (х)єY0.

Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение

эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Хо)=Yо и уравнению Y'(х)=f(x, Y(х)) и наоборот.

В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:
аналитические, позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,
графические, дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т. е. интегральной кривой,
численные, в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),
хотя такое деление и несколько условно.

Теорема Декарта. Число положительных корней алгебраического уравнения (1.3) с учетом их кратностей равно числу перемен знаков в системе коэффициентов

, , …, (1.14) (где коэффициенты, равные нулю, не учитываются), или меньше этого числа на четное число.

29.. Метод ломаных Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле:yi+1 = yi + h·f(xi, yi):

y' = f(x, y), y(a) = y0 , x ∈ [a, b],

xi = a + ih, h = (b-a)/N, i = 0,1 , 2, ..., N,

y(xi)≈ yi,

yi+1 = yi + h·f(xi, yi).

Для погрешности метода Эйлера на одном шаге справедлива оценка

а для оценки погрешности решения на всём отрезке [a, b] справедливо

Для практической оценки погрешности можно рекомендовать правило Рунге:производятся вычисления с шагом h — вычисляютcя значения y(h)i, затем производятся вычисления с половинным шагом h/2 — вычисляютcя значения y(h/2)i.

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 принимают величину

Если соединить точки (xi, yi) прямолинейными отрезками, получим ломаную Эйлера — ломаную линию, каждое звено которой с началом в точке (xi, yi) имеет угловой коэффициент, равный f(xi, yi).

30. Метод Рунге-Кутта решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мемтоды Румнге — Кумтты (распространено неправильное название Мемтоды Румнге — Кумтта или же Мемтоды Румнге — Куттам) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и .

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями[3]. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.
Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности: