Найдите косинус угла между плоскостями

C2 № 000. В кубе найдите косинус угла между плоскостями и . Решение. Пусть точка O — центр куба, а M — середина . , а MO — средняя линия треугольника , поэтому . Треугольник — равносторонний, , следовательно, искомый угол равен углу . Примем длины ребер куба за 1. Найдем стороны треугольника . Из треугольника , находим из треугольника находим . , поскольку O — середина диагонали . Теперь применим к треугольнику теорему косинусов: . Ответ: .

C2 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а диагональ боковой грани равна Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы. Решение. Обозначим середину ребра (см. рис.). Так как треугольник равносторонний, а треугольник — равнобедренный, отрезки и перпендикулярны Следовательно, — линейный угол двугранного угла с гранями и Из треугольника найдем Из треугольника найдем Из треугольника найдем: Искомый угол равен Ответ:

C2 В прямоугольном параллелепипеде известны ребра: , , . Найдите угол между плоскостями ABC и . Решение. Плоскости ABC и имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр AH кBD. По теореме о трех перпендикулярах . Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и , — это угол . Из прямоугольного треугольника BAD находим: . Из прямоугольного треугольника находим: . Значит, искомый угол равен . Ответ: .

C2 № 000. В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер , , . Найдите объем пирамиды если M — точка на ребре , причем . Решение. Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов:. Основание пирамиды лежит в плоскости , поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки на эту плоскость. Опустим перпендикуляр на прямую . Поскольку и , в силу того, что , отрезок является высотой пирамиды: . Треугольник AME подобен треугольнику , значит, . Ответ: 50.

C2 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC. Решение. Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле . Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый. где O — центр основания, значит, — средняя линия треугольника ASO поэтому . Тогда и Из прямоугольного треугольника находим: Из прямоугольного треугольника находим: Значит, искомый угол равен Ответ:

C2 В правильной треугольной SABC пирамиде с основанием ABC известны ребра . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS иBC. Решение. Пусть N — середина ребра BC, а M — середина AS. Прямая AS проецируется на плоскость основания в прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямойAM, следовательно, угол — искомый. Поскольку , где O — центр основания, — средняя линяя треугольника SAO. Тогда Кроме того, Из прямоугольного треугольника находим: . Ответ: .

C2 В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD. Решение. Пусть и MK — средняя линия треугольника CDH. Тогда , значит, и, следовательно, . Кроме того, . Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем: ; ; ; . Ответ: .

C2 В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD. Решение. Пусть, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника ADO. Тогда , , значит, и, следовательно, — искомый. Кроме того, , откуда . Далее имеем: ; . Ответ: .

C2 В правльной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD. Решение. Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку и плоскость SACперпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку Aперпендикулярно BD. Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный, Так как треугольник ASO — равнобедренный, Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD: . По теореме косинусов: . Отсюда . Ответ: . Примечание. Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник MOD — прямоугольный:

C2 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD. Решение. Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углуSBE. Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: . Следовательно, . Ответ: .

C2 № 000. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP. Решение. Пусть отрезок PH — высота пирамиды PABCD, отрезок MN — средняя линия треугольника APH (см. рисунок). Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD, значит, и , откуда . Но, , следовательно, . Таким образом, прямая BN — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол мужду прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, т. е. острому углу MBN прямоугольного треугольника MBN. Примем длину ребра данной пирамиды за 1, тогда , , и, следовательно, , . Ответ: .

C2 Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН — высота данной пирамиды, точка М — середина ее бокового ребра АР. Решение. Пусть отрезок MN — средняя линия треугольника АРН, параллельная его стороне РН (см. рисунок). Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка Н — центр квадрата ABCD. Так как и , то, а, значит, . Прямые MN и РН параллельны, следовательно, угол между прямыми РН и BMравен углу между прямыми MN и ВМ, т. е. острому углу BMN прямоугольного треугольника ВМN. Примем длину ребра данной пирамиды за 1, тогда , , и, следовательно, , . Ответ: .

C2 В кубе все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой . Решение. Проведем отрезок и опустим перпендикуляр СН на . Искомое расстояние равно высоте СН прямоугольного треугольника с прямым углом С: . Ответ: .

C2 Дан куб . Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости . Решение. М — середина , N — середина . Проведем перпендикуляр NH из точки N к плоскости , . Значит, . Поэтому точка Н лежит на отрезке , перпендикулярном . Искомый отрезок NH является высотой прямоугольного треугольника с прямым углом N. Поэтому . Ответ: .

C2 C2 № 000. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно , высота — . Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер CS и ВС соответственно. Решение. Пусть О — центр основания, а N — середина ребра SD, Р — середина ребра AD. Тогда , поэтому точки Р, N, M, Т лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции. По теореме о средней линии треугольника , так что трапеция равнобокая. Так как ,, а . Основания трапеции равны , . В треугольнике РМТ проведем высоты MG и РН. Тогда , а . Заметим, что , поэтому . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AD соответственно. Решение. Пусть Р — середина ребра BD, Q — середина ребра ВС. По теореме о средней линии треугольника , следовательно, точки М, Т, Р, Q лежат в одной плоскости. , следовательно, точки М, Т, Р, Q являются вершинами параллелограмма. Кроме того, , а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка РТ. По теореме Пифагора ; тогда , а . Ответ: 3. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AВ соответственно. Решение. Пусть Q — середина ребра CD, P — середина ребра ВD. По теореме о средней линии треугольника ; следовательно, точки М, Т, Р, Q лежат в одной плоскости. , следовательно, точки М, Т, Р, Q являются вершинами параллелограмма. Кроме того, , а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка РТ. Отрезок АО равен . По теореме Пифагора ; а . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и . Решение. Так как прямая пересекается с прямой параллельной прямой и лежит в плоскости , параллельной , то расстояние между прямыми и равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть АК — высота треугольника ABC. АК перпендикулярна, так как перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка АК. Из равностороннего треугольника ABC находим: . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой и плоскостью Решение. Поскольку призма прямая, то высота треугольника перпендикулярна плоскости Поэтому прямая — проекция прямой на плоскость Значит, искомый угол равен углу Так как имеем: Отсюда Следовательно, Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом Высота призмы равна Найдите угол между прямой и плоскостью Решение. Поскольку призма прямая, то высота треугольника перпендикулярна плоскости Поэтому прямая — проекция прямой на плоскость Значит, искомый угол равен углу Так как Рассмотрим прямоугольный треугольник : Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основание прямой четырехугольной призмы — прямоугольник , в котором , . Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 13. Решение. Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна 13. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром и прямой . Рассмотрим треугольник . Его катеты равны , . Значит, . Ответ: 45. Спрятать решение Ответы на вопросы (1) Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точкаK — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC = 6, BC = 4. Решение. Проведем перпендикуляр к — середина Из точки опустим перпендикуляр на плоскость основания. Точка лежит на медиане треугольника параллельна прямой пересечения плоскостей и и Следовательно, — линейный угол искомого угла. Далее находим: Откудп Поскольку имеем: Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основание прямой четырехугольной призмы — прямоугольник , в котором , . Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 13. Решение. Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна 13. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром и прямой . Рассмотрим треугольник . Его катеты равны Значит, Ответ: 45 Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M — середина ребра SC. Решение. Построим сечение ADMK, где K — середина ребра SB. Прямая BCпараллельна AD, значит, искомое расстояние равно расстоянию до точки N плоскости ADM, где N — середина BC. Пусть P — середина AD. Рассмотрим сечение NSP: . Значит, треугольник SNP равносторонний. Искомое расстояние равно расстоянию от N до PQ, где Q — середина SN, PQ — медиана и высота треугольника SNP. Поэтому искомое расстояние равно NQ = 0,5SN = 1. Ответ: 1. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Дана правильная четырехугольная пирамида Боковое ребро сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки до плоскости где — середина ребра Решение. Построим сечение ADMK, где K — середина ребра SB. Покажем, что искомое расстояние равно длине SQ, где Q — середина апофемы SN. Действительно, пусть P — середина стороны AD, AD перпендикулярна SPи NP, поэтому AD перпендикулярна плоскости SNP, а тогда и KM — средняя линия боковой грани — перпендикулярна PQ. С другой стороны, SQ перпендикулярна KM. Тогда SQ — перпендикуляр к плоскости сечения, его длина равна искомому расстоянию. Рассмотрим сечение NSP. Имеем: . Значит, треугольник SNP равносторонний. Искомое расстояние равно SQ= 0,5SN = 1. Ответ: 1. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основание прямой четырехугольной призмы — прямоугольник в котором Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой если расстояние между прямыми и равно Решение. Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Следовательно, искомый угол равен углу между ребром и прямой . Рассмотрим треугольник Его катеты равны Поэтому Ответ: 60. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной пирамиде с основанием точка — середина ребра точка — середина ребра Найдите угол между плоскостями и если Решение. Проведем перпендикуляр к — середина Из точки опустим перпендикуляр на плоскость основания. Точка лежит на медиане треугольника Прямая параллельна прямой пересечения плоскостей и и Следовательно, — линейный угол искомого угла между плоскостями. Далее находим: Откуда Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основанием прямого параллелепипеда является ромб ABCD, сторона которого равна а угол ВАD равен . Найдите расстояние от точки А до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8. Решение. Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую и проведем в плоскости грани прямую EF, параллельную прямой . Так как , то и , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку , то , а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах. Далее находим: 1) из : ; 2) из : . Ответ: 10. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна а угол ACB равен . Найдите расстояние от точки А до прямой , если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12. Решение. Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую и проведем в плоскости грани прямую EF, параллельную прямой . Так как , то и , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку , то , а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах. Далее находим: 1) из : ; 2) из : . Ответ: 15. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В прямоугольном параллелепипеде , . Найдите угол между прямой и плоскостью . Решение. Плоскости и перпендикулярны. Перпендикуляр из точки к плоскости лежит в плоскости и пересекает прямую в точке E. Значит, искомый угол равен углу . В прямоугольном треугольнике катет , гипотенуза . Поэтому . Тогда . Ответ: . Примечание. Возможны другие формы ответа: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В прямоугольном параллелепипеде , . Найдите угол между прямой и плоскостью . Решение. Плоскости и перпендикулярны. Перпендикуляр из точки к плоскости лежит в плоскости и пересекает прямую в точке E. Значит, искомый угол равен углу . В прямоугольном треугольнике с катетом и гипотенузой имеем: . Следовательно, Ответ: . Примечание. Возможны другие формы записи ответа: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Точка — середина ребра куба . Найдите угол между прямыми и . Решение. Примем ребро куба за единицу. Тогда . Прямая параллельна прямой , значит, искомый угол равен углу . Из прямоугольного треугольника с прямым углом имеем: , тогда Ответ также может быть представлен в следующем виде: или Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Точка — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2. Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине — точке . — сечение куба плоскостью . В равнобедренном треугольнике , и высота . Поскольку — средняя линия треугольника , получаем: Ответ: 4,5. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и . Решение. Примем ребро куба за единицу. Тогда . Поскольку , получаем: и . Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним). В прямоугольном треугольнике с прямым углом В прямоугольном треугольнике с прямым углом В треугольнике откуда , тогда Ответ может быть представлен и в другом виде: или Ответ: . Спрятать решение Ответы на вопросы (1) Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка — середина ребра Найдите угол между плоскостями и Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и Точка — середина ребра , поэтому . Из равенства треугольников и получаем: В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является биссектрисой, откуда . Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: , тогда . Ответ может быть представлен и в другой форме: Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и . Решение. Примем ребро куба за единицу. Тогда . Поскольку , получаем: и . Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним). В прямоугольном треугольнике с прямым углом В прямоугольном треугольнике с прямым углом В треугольнике откуда , тогда Ответ может быть представлен и в другом виде: или Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Точка — середина ребра куба . Найдите угол между прямыми и . Решение. Примем ребро куба за единицу. Тогда . Проведём через точку прямую, параллельную . Она пересекает продолжение ребра в точке , причём . Искомый угол равен углу (или смежному с ним). В прямоугольном треугольнике с прямым углом В прямоугольном треугольнике с прямым углом В треугольнике , откуда , а тогда . Ответ: . Примечание. Ответ может быть представлен и в другом виде: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Точка — середина ребра куба . Найдите угол между прямыми и . Решение. Примем ребро куба за единицу. Тогда . Проведём через точку прямую, параллельную . Она пересекает продолжение ребра в точке , причём . Искомый угол равен углу (или смежному с ним). В прямоугольном треугольнике с прямым углом В прямоугольном треугольнике с прямым углом В треугольнике откуда а тогда . Ответ: . Примечание. Ответ может быть представлен и в другом виде: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Точка — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 4. Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине — точке . — сечение куба плоскостью . В равнобедренном треугольнике , и высота . Поскольку — средняя линия треугольника , получаем: Ответ: 18. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и . Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и . Поскольку , получаем: Из подобия треугольников и находим: В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота . Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны , а боковые ребра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и . Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и . Поскольку , получаем: Из подобия треугольников и находим: В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота . Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8. Решение. Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN иSN. SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины), . Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна . Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную , и вычислим площадь: . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4. Решение. Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN иSN. SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная), . Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 2. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна . Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, которая, по теореме Пифагора, равна , и вычислим площадь: . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и и вершину найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8. Решение. Изобразим указанное в условии сечение — треугольник Проведем в треугольнике высоту Точка — . Значит, Из треугольника находим Из треугольника находим Тогда Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и и вершину найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8. Решение. Изобразим указанное в условии сечение — треугольник Проведем в треугольнике высоту Точка — . Значит, Из треугольника находим Из треугольника находим Тогда Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной пирамиде с основанием сторона основания равна 8, а угол равен 36°. На ребре взята точка так, что — биссектриса угла Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки , и Решение. Нужное сечение — треугольник . Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, , поэтому . Значит, . Рассмотрим теперь треугольник . Сумма его углов , значит, . Следовательно, треугольник равнобедренный, и поэтому Аналогично находим, что Таким образом, треугольник равносторонний со стороной 8. Его площадь равна Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины и середину ребра . Найдите его площадь. Показать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме стороны основания равны 8, боковые рёбра равны . Изобразите сечение, проходящее через вершины и середину ребра . Найдите его площадь. Решение. Обозначим через и средины ребер и соответственно. По теореме о средней линии треугольника так что прямые и лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию Основания трапеции по теореме Пифагора найдем боковую сторону: Проведем в трапеции высоту Отрезок равен полуразности оснований трапеции: Следовательно, высота трапеции Зная её, находим площадь трапеции: Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребраSA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB=8, SC=10. Решение. Проведем из точки перпендикуляр и — середина MK. Точка Q является серединой высоты Прямая параллельна прямой прямой пересечения плоскостей и Следовательно, — искомый линейный угол. Найдем : Значит, Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C'. Найдите его площадь Решение. Параллельные грани оснований сечение пересекает по параллельным прямым, поэтому сечение — трапеция. Пусть точка М — середина A'C', точка N — серединаB'С'. Боковые стороны трапеции ABNM являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников AA'M и BB'N, катеты которых равны 3 и 4. Тем самым, трапеция является равнобедренной, а ее боковые стороны равны 5. Отрезок MN — средняя линия треугольника A'B'C', поэтому MN = 0,5A'C' = 3. Пусть MK— высота трапеции, тогда Следовательно, Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольный призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'. Решение. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: откуда Плоскость проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид Для координат точек и имеем систему уравнений: Не теряя общности, положим тогда Уравнение плоскости : вектор нормали к ней Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен Ответ: Приведем другое решение. — искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией так как в силу того, что и Рассмотрим (т. к. — диагональ квадрата ) Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и СС1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BС1С, если известно, что двугранный угол при ребре AA1 равен 60°. Решение. Поскольку ABCA1B1C1 Ї прямая призма, ее боковые грани Ї прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 равно AB, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и СС1 равно AC. Кроме того, уголBAC Ї линейный угол двугранного угла при ребре AA1. Таким образом, Пусть отрезок AH Ї высота основания ABC (см. рисунок). Поскольку и то и, значит, длина отрезка AHи есть искомое расстояние от прямой AA1 до параллельной ей плоскостиBС1С. Рассматривая треугольник ABC, находим: 1. 2. 3. Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1. Решение. Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так как то а, значит, отрезок Ї высота прямоугольного треугольника , откуда Далее находим: Ответ: 12. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 8, 12 и 9. Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C. Решение. Опустим из точки D1 перпендикуляр D1E на прямую A1C. Так как то а, значит, отрезок D1E Ї высота прямоугольного треугольника A1CD1, откуда Далее находим: Ответ: Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме боковое ребро равно , а ребро основания равно . Точка — середина ребра . Найдите объём пятигранника . Решение. Пусть — высота треугольника . Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме и, значит, . Пятигранник — четырехугольная пирамида с вершиной в точке и основанием — прямоугольной трапецией. Высота пирамиды . Площадь основания равна Ответ: 3. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной треугольной призме боковое ребро равно , а ребро основания равно . Точка — середина ребра . Найдите объём пятигранника . Решение. Пусть - высота треугольника тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме и, значит, Пятигранник - четырёхугольная пирамида с вершиной в точке и основанием - прямоугольной трапецией. Высота пирамиды Площадь основания равна Ответ: 6 Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и . Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и . Поскольку , получаем: Из подобия треугольников и находим: В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота . Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: . Ответ может быть представлен и в другой форме: или Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки до плоскости . Решение. Прямые и перпендикулярны прямой . Плоскость , содержащая прямую , перпендикулярна плоскости . Значит, искомое расстояние равно высоте прямоугольного треугольника , в котором , , : Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки до плоскости . Решение. Прямые и перпендикулярны прямой . Плоскость , содержащая прямую , перпендикулярна плоскости . Значит, искомое расстояние равно высоте прямоугольного треугольника , в котором , , : Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1найдите расстояние от точки B до прямой Решение. Проведем отрезки BF и . , поскольку а . BF — проекция на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах Таким образом искмое расстояние — длина отрезка . Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, . По теореме Пифагора находим: . Ответ: 2. Спрятать решение Ответы на вопросы (1) Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырехугольной призме высота равна 1, а сторона основания равна . Точка — середина ребра . Найдите расстояние от точки до плоскости . Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду . Ее объем можно выразить двумя способами: 1) . 2) , где искомое расстояние. Приравняем выражения для объемов и выразим его: Найдем площадь равнобедренного треугольника . Проведем в нем высоту . . . . . . Следовательно, искомое расстояние . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости . Решение. Прямые и FB перпендикулярны прямой EF. Плоскость , содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости , значит искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника , в котором , , . Поэтому . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и . Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и . Поскольку , получаем: Из подобия треугольников и находим: В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота . Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: . Ответ может быть представлен и в другой форме: или Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой . Решение. Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые FC и DE параллельны, параллельны также прямые иDE, следовательно, прямые и FC параллельны. Расстояние от точки С до прямой , равно расстоянию между прямыми и FC. В трапеции : , , , , тогда . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найдите расстояние от точки В до прямой . Решение. Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые BE и CD параллельны, параллельны также прямые и , следовательно, прямые и параллельны. Расстояние от точки B до прямой , равно расстоянию между прямыми и . В трапеции : , , , , тогда . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме , все рёбра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой . Решение. Так как — правильный шестиугольник, то прямые и параллельны. Параллельны также прямые и , и следовательно, прямые и параллельны. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию между прямыми и В трапеции : , , Значит, , тогда . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме все рёбра которой равны 10, найдите расстояние от точки до прямой Решение. Так как — правильный шестиугольник, прямые и перпендикулярны. Поскольку прямые и параллельны, перпендикулярно Тогда по теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярна , поэтому длина отрезка равна искомому расстоянию. По условию диагональ правильного шестиугольника . Тогда по теореме Пифагора для треугольника находим, что Ответ: 20. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме , все рёбра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой Решение. Так как — правильный шестиугольник, то прямые и перпендикулярны. Поскольку прямые и параллельны, перпендикулярна . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярна , поэтому длина отрезка равна искомому расстоянию. Далее имеем: меньшая диагональ правильного шестиугольника, сторона которого равна 10, , боковое ребро по условию, откуда по теореме Пифагора для треугольника искомое расстояние . Ответ: 20. Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип Условие C2 C2 № 000. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости . Решение. Прямые и DB перпендикулярны прямой ED. Плоскость , содержащая прямую ED, перпендикулярна плоскости . Значит, искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника , в котором , , . Тогда . Ответ: . Спрятать решение Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке