О.

Модифицированная модель естественного роста.

Пример 1  Найти динамику дохода , если известно, что величина потребления задается функцией. Величина дохода .

Решение. Подставим в дифференциальное уравнение    функцию потребления , получим .

Найдем решение данного дифференциального уравнения, то есть найдем  функцию дохода , удовлетворяющую неоднородному линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Перепишем его в виде

  или  в виде .

Решение будем искать в виде , , тогда получим

, .

Положим или , , , откуда .

Подставим в уравнение, получим или , , .

Откуда , а .

По условию задачи , тогда с=5,5  и частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид: . Динамика дохода представлена  интегральной  кривой на рисунке 1.

Рисунок 1 График интегральной кривой

Пример 2 Пусть растет  с заданным постоянным темпом. Требуется найти динамику дохода , если известно, что величина потребления задается функцией , коэффициент капиталоемкости прироста дохода , величина дохода , норма прироста потребления  .

Решение. Подставим в дифференциальное уравнение выражение функции потребления , получим ,то есть функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному дифференциальному  уравнению первого порядка. Перепишем его в виде

или .

Общее решение  данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Поскольку , то с=7, тогда . График интегральной кривой, описывающей динамику дохода, представлен на  рисунке 2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рисунок 2 - График  интегральной кривой

Самостоятельно объяснить причину убывания дохода. Выяснить, как должны быть связаны между собой величины и .

Пример 3  Пусть предельная производительность капитала больше нормы прироста потребления   Требуется найти динамику функции дохода , если известно, что величина потребления задается функцией , коэффициент капиталоемкости дохода , величина дохода , норма прироста потребления  .

Решение. Подставим в дифференциальное уравнение выражение функции потребления , получим ,то есть функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному дифференциальному  уравнению первого порядка. Перепишем его в виде:

или .

Общее решение  данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Поскольку , то , тогда .График данной интегральной кривой, описывающей динамику дохода представлен на  рисунке 3. Объяснить причину роста дохода.

Рисунок 3 - График  интегральной кривой

Самостоятельно рассмотреть динамику дохода при различных значениях таких параметров как норма прироста потребления , коэффициент капиталоемкости прироста дохода (или предельная производительность капитала ), начальная величина дохода .

Варианты заданий

Пример 1.  Выбрать любой из предложенных ниже вариантов  функции, самостоятельно задать значения коэффициентов    и начальные условия  .

Пример 2,3.  растет  с заданным постоянным темпом. Рассмотреть любые два случая, когда , , .  Самостоятельно задать  начальные условия  .