муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 11
Исследовательская работа
«Секреты таблицы умножения»
Выполнил:
ученик 6 класса
Даглдиян Асватур
Учитель математики:
с. Чалтырь
2017 год
Оглавление
Введение………………………………………………………..…………………3
1. История создания таблицы умножения
1.1 Древние варианты таблицы умножения………………...…………………..4
1.2 Таблица Пифагора…………………………………………………………..4-5
1.3 Виды таблиц………………………………………………………………...5-6
2. Секреты таблицы умножения
2.1 Способы запоминания в стихах……………………………………….......7-8
2.2 Секреты таблицы умножения числа 9….................................................... 8-9
2.3 Секреты таблицы умножения числа 2……………………………………...9
2.4 Секреты таблицы умножения числа 5………………………………………9
2.5 Секреты таблицы умножения числа 6………………………………………9
2.6 Секреты таблицы умножения чисел 4 и 8……………………….………..10
2.7 Секреты таблицы умножения числа 3…………………………………….10
2.8 Как умножать по по-японски и по-китайски………………………………10
Заключение…………………………………………………………………….11
Список литературы………………………………………………….………….12
Приложение ……………..………………………………………. ………..13-19
Введение
Таблица умножения
Достойна уважения.
Она всегда во всем права,
Чтоб ни случилось в мире,
А все же будет дважды два
По-прежнему четыре.
( “Дважды два”)
Один из важнейших разделов математики начальных классов – таблица умножения. Ученик общеобразовательной школы должен научиться находить результаты табличного умножения не только правильно и быстро, но и осознанно, а таблицу умножения знать назубок.
Актуальность:
Тему для исследования я выбрал не случайно. Она актуальна для всех учеников нашей школы. Нашим ученикам начальной школы предстоит изучать таблицу умножения, от прочного усвоения таблицы умножения зависит дальнейшее успешное изучение всех школьных дисциплин.
Цель работы:
Найти быстрые и эффективные способы заучивания таблицы умножения.
Задачи исследования:
Ознакомиться с научной литературой по теме “Таблица умножения”.
Составить брошюру по данной теме
Практическое значение:
Брошюру “Таблица умножения” могут использовать учителя начальных классов на уроках математики, учащиеся начальной школы, родители, помогающие своим детям в учебе.
История создания таблицы умножения
1.1 Древние варианты таблицы умножения
Таблица умножения, она же таблица Пифагора,- таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение.
Недавно при раскопках здания, в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная - самая древняя.
Каким же образом жители Страны восходящего солнца впервые узнали о существовании этой математической «запоминалочки»? Судя по тому, что иероглифы, которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она была просто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда она взялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали.
Эту версию подтверждает находка, сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, содержащая фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили 2700-3000 лет.
На основании этой находки ученые Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами, идущими по Великому шелковому пути, проникла в Индию, а оттуда в страны Передней Азии и в Европу. Однако этой версии противоречат многие находки, сделанные раннее. Например, в Индии в свое время были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет.
Пожалуй, самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Так что, скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях.
Хотя не исключено также и то, что данная система устного счета появилась независимо в разных местах.
1.2 таблица Пифагора
Итак, узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего не удастся. Просто потому, что это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре авторство таблицы умножения приписывается знаменитому греческому математику Пифагору (570-490 годы до н. э.).
Впервые в школьную программу она была введена в Англии в конце Средних веков. Это была таблица умножения до 12, которую, кстати, юные британцы проходят и по сей день. А в Индии ученики до сих пор зубрят исходный вариант таблицы –до 20.
1.3. Виды таблиц
Впервые в древней Греции была внесена таблица умножения в книгу «Введение в арифметику». Она совсем не похожа на современную печатную таблицу, вместо цифр были буквы, даже слова.
До 5 века строки таблицы загромождали слова «один раз», «дважды», «трижды» и т. д. Лишь в 6 веке таблицу привели к такому виду, который мы знаем, тогда в Европе появились арабские цифры. Ее стали называть Пифагоровой, по имени древнегреческого философа, жреца, геометра, математика Пифагора.
Но зачем была нужна древнему греческому философу, математику таблица? Пифагор, живший в седьмом-шестом веке нашего летоисчисления считал, что сущность красоты кроется в соотношениях между цифрами. Его таблица обладает симметрией (рис.1). Одни и те же числа встречаются в ней часто, но распределены по всей площади прямоугольника по какому-то своему закону. Больше всего встречается единиц (их 18), а вот меньше всего девяток (всего-3). Изучая внимательно таблицу, можно выйти на ее свойства.
- Заменить двузначные числа таблицы Пифагора разностью их цифр 18 - это7 (8-1), а 27- это 5 (7-5) и т. д. Каждому числу присвоить какой –либо цвет и раскрасить таблицу, то вырисуется красивая картина из трех концентрических кругов:
| В самом центре таблицы - скопление четырех чисел (желтые квадраты), дающие в разности «3», действительно: 25 есть 5-2=3, 30 есть 3-0=3, 36 есть 6-3=3, 30 есть 3-0=3. - Второй круг – из восьми чисел (сиреневые квадраты), объединяет их по разности «2». Докажем это: 20 есть 2-0=2, 35 есть 5-3=2, 24 есть 4-2=2, 42 есть 4-2=2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-Третий круг состоит из 16-ти чисел (серые квадраты), вычитание двух цифр здесь составляет «1». Например: 10=10-0=1, 12=2-1=1, 21=2-1=1, 45=5-4=1. |
В этой таблице есть еще одно свойство. Если поочередно вычитать соседние цифры (сначала в строках, а затем в столбцах), то в конечном итоге получиться ноль.
|
|
|
|
| 0 |
Разновидностями таблицы умножения Пифагора стали таблицы, созданные французским математиком Шюке, немецким математиком Видманом. Эти таблицы имели уже треугольный вид.
Таблица умножения Пифагора в действительности была искусным заменителем истинного знания о закономерностях и механизмах числового умножения. Этой таблицей Пифагор подарил миру могучее средство вычисления для любого практического применения, но так и не раскрыл истинных тайн чисел. Пифагор гордился своей Таблицей умножения, называя ее своим высшим достижением.
2. Секреты таблицы умножения
2. 1 Способы запоминания таблицы умножения в стихах
Таблица умножения - это самый популярный математический инструмент для вычислений. Он используется практически всеми и на каждом шагу. Поэтому нужно обязательно знать, как быстро и легко выучить таблицу умножения и помочь этим своему ребенку.
Фраза «Ты должен знать это как таблицу умножения» знакома каждому. Но сколько трудов нужно, чтобы запомнить эти, простые на первый взгляд, примеры. Каких только хитростей люди не придумывали, чтобы облегчить себе жизнь. И ведь на самом деле вполне реально выучить таблицу умножения!
Человеческая память уникальна и ее возможности весьма велики. Намного лучше ученик запомнит таблицу, если ему будет понятен смысл действия. Поэтому, прежде чем покорять математические вершины, нужно разъяснить ребенку, для чего нужна таблица умножения, как это знание пригодится ему в повседневной жизни и что лежит в основе таблицы.
Когда учащийся приступит к заучиванию, надо помнить о том, что при «зазубривании» доминирует механический вид памяти, поэтому зубрежка также способна оказать в этом случае неоценимую услугу. А учащимся начальной школы немного проще использовать именно этот вид памяти. Почему? Потому что с возрастом уровень механической памяти снижается.
Кому-то для лучшего запоминания таблицы умножения может помочь использование стихов. Например, таких: (см приложение №2)
2.2 Секреты таблицы умножения числа 9
9 * 2 = 18
9 * 3 = 27
9 * 4 = 36
9 * 5 = 45
9 * 6 = 54
9 * 7 = 63
9 * 8 = 72
9 * 9 = 81
1 способ. На пальцах:
Положите обе руки на стол ладонями вниз. Тогда мизинец левой руки пусть будет первым пальцем, безымянный - вторым, средний - третьим и т. д., большой палец правой руки – шестым и т. д., мизинец правой руки - десятым пальцем обеих рук.
Эти пальцы являются безошибочным счетчиком.
9 * 5 = 45
Чтобы решить это на пальцах, вы только должны посмотреть, сколько пальцев от 5-го пальца налево и сколько направо: налево 4 пальца - это 4 десятка, направо 5 – это 5 единиц, значит, ответ будет 45.
9 * 7 = 63
От 7-го пальца налево 6, направо 3 пальца, значит 63.
Поупражняйтесь в таком умножении и научите тех, кто плохо усваивает таблицу умножения.
2.3 Секреты таблицы умножения числа 2
Мои наблюдения:
1. Ответы таблицы умножения числа 2-четные.
2. Ответы заканчиваются цифрами 2, 4, 6, 8, 0.
3. У произведений, оканчивающихся одинаковой цифрой, второй множитель отличается на 5 единиц.
2.4 Секреты таблицы умножения числа
Мои наблюдения:
1. Произведения заканчиваются цифрами 5 или 0.
2. Если второй множитель четный, то произведения заканчиваются на 0.
3. Если второй множитель нечетный, то произведения заканчиваются цифрой 5.
4. А цифра в разряде десятков может быть получена представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых берем в десяток, если есть остаток, его надо отбросить.
2.5 Секреты таблицы умножения числа 6
Отдельно рассмотрим произведения, где четный и нечетный множитель.
Четный множитель:
1. Если проговаривать произведения, начиная снизу:
Шестью восемь - сорок восемь,
Шестью шесть - тридцать шесть,
Шестью четыре - двадцать четыре,
то слышна рифма, только шестью два - двенадцать портит рифму.
Можно придумать так, чтобы сохранить рифму:
Шестью два – десять два.
2.6 Секреты таблицы умножения чисел 4 и 8
2*2=4 4*2=8 8*2=16
2*3=6 4*3=12 8*3=24
1) Значение произведений чисел на 4 в 2 раза больше произведений тех же чисел на число 2.
2) Значение произведений чисел на 8 в 2 раза больше произведений тех же чисел на число 4.
2.7 Секреты таблицы умножения числа 3
1.) В первых трех произведениях в разряде десятков - “0”.
В следующих трех произведениях в разряде десятков - “1”.
В следующей “тройке” в разряде десятков - “2”.
2.) В разряде единиц чередуются четные и нечетные числа.
3.) Если сложить цифры, стоящие в разряде десятков и единиц, то все время получается 3, 6, 9. (см. приложение №5)
2.8 Как умножать по-японски и по-китайски
| В России мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком. Однако в азиатских странах, таких как Япония и Китай принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. |
Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан японский и китайский способ умножения чисел.
Многим покажется, что такой способ японского или китайского умножения слишком сложен и запутан, но это только на первый взгляд. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским методом умножения (*), который актуален и прекрасно работает и в современном мир
Заключение
Каждый человек должен знать таблицу умножения. Она дает базовые знания, которые мы используем в повседневной жизни. Учиться сложно и тяжело. Но процесс преодоления трудностей закаляет характер человека.
Много чудес на планете
ТАМ существует
и ЗДЕСЬ...
Но умножение, дети, -
тоже одно из чудес.
Помните твердо Таблицу
хоть наяву, хоть во сне!
В жизни она пригодится.
Как пригодилась и мне.
Использованные ресурсы
- «Математика. 2 класс». Москва, «Дом педагогики», 1997г. , «Математика. 2 класс». Москва, «Инфолайн», 1993г. «Уроки математики во 2-3 классах». Чебоксары, 2003г. «Занимательные задачи по математике». Москва, «Просвещение», 1967 г. Советский энциклопедический словарь. Москва, «Советская энциклопедия», 1988 г. http://www. /watch? v=e-P5RGdjICo http://4brain. ru/schitat-v-ume/_japonskoe-kitajskoe-umnozhenie. php
Приложение
Секреты быстрого умножения и деления
1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.
Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т. д.)
54*5=(54*10):2=540:2=270 (54*5 = (54:2)*10= 270).
Чтобы число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.
10800 : 50 = 10800:100*2 =216
10800 : 50 = 10800*2:100 =216
2. Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д.
Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)
542*25=(542*100):4=13550 (248*25=248: 4*100 = 6200)
(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить).
Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т. д. и умножить на 4
31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.
3. Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. д.
Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)
72*125=72*1000:8=9000
Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000 и т. д.
48*125 = 48:8*1000 = 6000
Чтобы разделить число на 125, 1250 и т. д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.
7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.
Приложение
Секреты таблицы умножения числа 2
2 * 2 = 4
2 * 3 = 6
2 * 4 = 8
2 * 5 = 10
2 * 6 = 12
2 * 7 = 14
2 * 8 = 16
2 * 9 = 18
2 * 1 = 2 1+5=6
+5
2 * 6 = 12
2 * 2 = 4 2+5=7
+5
2 * 7 = 14
2 * 3 = 6 3+5=8
+5
2 * 8 = 16
2 * 4 = 8 4+5=9
+5
2 * 9 = 18
2 * 5 = 10 5+5=10
+5
2 * 10 = 20
4. Чтобы получить произведения числа 2 на (1,2,3,4 и т. д.) надо второй 9
2 * 7 = 14 7 + 7 = 14
Приложение
Секреты таблицы умножения числа 5
5 * 2 = 10
5 * 3 = 15
5 * 4 = 20
5 * 5 = 25
5 * 6 = 30
5 * 7 = 35
5 * 8 = 40
5 * 9 = 45
Мои наблюдения:
1. Произведения заканчиваются цифрами 5 или 0.
2. Если второй множитель четный, то произведения заканчиваются на 0.
3. Если второй множитель нечетный, то произведения заканчиваются цифрой 5.
4. А цифра в разряде десятков может быть получена представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых берем в десяток, если есть остаток, его надо отбросить.
5*4=20 4 = 2 +2
5*8=40 8 = 4+4
5*7=35 7 = 3+3+1
5*9=45 9 = 4+4+1
Приложение
Секреты таблицы умножения числа 6
6 * 2 = 12
6 * 3 = 18
6 * 4 = 24
6 * 5 = 30
6 * 6 = 36
6 * 7 = 42
6 * 8 = 48
6 * 9 = 54
Отдельно рассмотрим произведения, где четный и нечетный множитель.
Четный множитель:
1. Если проговаривать произведения, начиная снизу:
Шестью восемь - сорок восемь,
Шестью шесть - тридцать шесть,
Шестью четыре - двадцать четыре,
то слышна рифма, только шестью два - двенадцать портит рифму.
Можно придумать так, чтобы сохранить рифму:
Шестью два – десять два.
2.
6 * 2 = 12 6 * 6 = 36
2 = 1+1 6 = 3+3
6 * 4 = 24 6 * 8 = 48
4 = 2+2 8 = 4+4
Цифра в разряде единиц – это второй множитель, а цифру в разряде десятков легко получить представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых записать в десятки.
Нечетный множитель:
1. Множитель представим в виде суммы одинаковых чисел, возьмем одно число и прибавим остаток, то получим цифру в разряде десятков. Исключение число 3.
6*9=5 . 9=4+4+1 4+1=5
6*7=4 . 7=3+3+1 3+1=4
6*5=3 . 5=2+2+1 2+1=3
2. Цифра в разряде единиц – это последняя цифра в сумме или разность нечетного множителя и числа 5.
+5
6 * 3 = . 8
+5 -5
6 * 5 = . 0 6 * 5 = . 0
+5 -5
6 * 7 = . 2 6 * 7 = . 2
+5 -5
6 * 9 = . 4 6 * 9 = . 4
Приложение
Секреты таблицы умножения чисел 4 и 8
2*2=4 4*2=8 8*2=16
2*3=6 4*3=12 8*3=24
2*4=8 4*4=16 8*4=32
2*5=10 4*5=20 8*5=40
2*6=12 4*6=24 8*6=48
2*7=14 4*7=28 8*7=56
2*8=16 4*8=32 8*8=64
2*9=18 4*9=36 8*9=72
2*10=20 4*10=40 8*10=80
В 2 раза > В 2 раза >
1) Значение произведений чисел на 4 в 2 раза больше произведений тех же чисел на число 2.
2) Значение произведений чисел на 8 в 2 раза больше произведений тех же чисел на число 4.
Приложение
Секреты таблицы умножения числа 3
3 * 1 = 3
3 * 2 = 6 “0”
3 * 3 = 9
3 * 4 = 12
3 * 5 = 15 “1”
3 * 6 = 18
3 * 7 = 21
3 * 8 = 24 “2”
3 * 9 = 27
1.) В первых трех произведениях в разряде десятков - “0”.
В следующих трех произведениях в разряде десятков - “1”.
В следующей “тройке” в разряде десятков - “2”.
2.) В разряде единиц чередуются четные и нечетные числа.
3.) Если сложить цифры, стоящие в разряде десятков и единиц, то все время получается 3, 6, 9.
3 * 4 = 12 1 + 2 = 3
3 * 5 = 15 1 + 5 = 6
3 * 6 = 18 1 + 8 = 9
3 * 7 = 21 2 + 1 = 3
3 * 8 = 24 2 + 4 = 6
3 * 9 = 27 2 + 7 = 9
