Один из методов решения задач на проценты

Один из методов решения задач на проценты.

,

учитель математики МБОУ

«Покровская СОШ №2» Хангаласский улус, РС (Якутия).

Практическую значимость обучения решению задач на проценты трудно переоценить. Невозможно представить современного человека, не понимающего, что такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты. Проценты нас сопровождают везде - в экономике, на производстве, в средствах массовой информации. Исторически сложилось так, что проценты привычно употребляются в обиходе, в разговоре, в средствах массовой информации для того, чтобы по возможности кратко сообщить количественную информацию о сравнении данных, характеризующих различные ситуации.

С понятием процента ученики впервые знакомятся в 5 классе. По программе этому важному понятию отводится всего 5 часов, включая контрольную работу. За 4 урока нужно дать определение процента как одну сотую часть целого, научить записывать  проценты в виде обыкновенных и десятичных дробей, наглядно представить число процентов на рисунке как часть целого, научить решать простейшие задачи на проценты.

В учебнике  «Математика для 5 класса , , » рассматриваются 3 типа простейших задач:

1) Вычисление процента от числа.  Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день?

2) Вычисления числа по его процентам. Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

3) Какой процент составляет одно число от другого. В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу?

Все эти задачи решаются нахождением числа, соответствующего 1%, затем умножением или делением  на число процентов. 

В 6 классе на решение задач с процентами отводится 3 часа. После изучения темы

«Нахождение дроби от числа» рассматривается задача нахождения процента от числа по новому правилу: процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь и умножается на число.

После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» рассматривается задача на нахождение числа по данному значению его процентов, которая решается переводом процентов в обыкновенную или десятичную дробь и делением числа на полученную дробь.

В теме «Отношения» рассматривается задача 3 типа – частное двух чисел умножается на 100%. При этом получаем, какой процент первое число составляет от второго.

Можно выделить два подхода к изучению данной темы.

Первый подход. Рассмотрение процентов ведется как отдельная тема, без опоры на дроби. Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия. Изучение дробей ведется отдельной темой, гораздо позже задач на проценты. Таким образом, обучение идет от частного к общему, что менее эффективно и дает меньше возможностей для развития обучаемого.

Второй подход. Задачи на проценты осваиваются как частный случай задач на дроби и все приемы решения переносятся на них, то есть изучение идет от общего случая – задач на дроби, к частному. В большинстве современных учебников реализован второй подход.

Изучение «процентов» в школе  сопряжено с серьёзными затруднениями.  Эти затруднения связаны,  в большей степени не с арифметическими аспектами «задач на проценты», а с методическими проблемами.  Первая проблема –это  обеспечение простого и точного понимания школьниками смысла использования процентов. Вторая -  преодоление  психологических сложностей свободного и полного понимания учащимися  специфических формулировок «задач на проценты».

В школьном курсе математики рассматриваются следующие  типы задач на проценты:

Вычисление процента от заданного числа. Вычисление исходного числа по его проценту. Выражение процентного соотношение одного числа от другого. Вычисление числа на заданный процент большего или меньшего от исходного. Вычисление числа по значению числа большего или меньшего от исходного на заданный процент. Задачи на смеси. Вычисление сложных процентов.

Последние два типа, используются в контроле степени освоения выпускниками  школьного курса математики  в итоговой аттестации. Поэтому, многими учителями математики используются различные приемы при решении задач на проценты, как алгоритмические, так и арифметические. Учениками выбирается наиболее понятный и рациональный способ решения.

Рассмотрим примеры задачи на смеси, из открытого банка заданий ЕГЭ-2016.

Задача 1. Сме­ша­ли 3 литра 25-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 12 лит­ра­ми 15-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

1 способ. Составлением и решением уравнения,  используя таблицу.

Масса раствора	Концентрация	Масса вещества
1 раствор	3л	25%	3*0,25
2 раствор	12 л	15%	12*0,15
Смесь	15 л	х%	3*0,25+12*0,15

Составляем уравнение по нижней строке нашей таблицы:

15*х/100=3*0,25+12*0,15

И отыскиваем неизвестный множитель простого уравнения а*в=с

2 способ. Арифметический.

Найдем массу вещества в каждом растворе. 3*0,25=0,75; 12*0,15=1,8 Найдем массу в смеси растворов. 0,75+1,8=2,55 Найдем  концентрацию вещества  в смеси. 2,55: (3+12)=0,17. Выразим десятичную дробь в виде процентов. 0,17=17%.

Некоторыми педагогами используется наглядный способ.

3 способ. Иллюстрацией текста задачи.

  3 л  12л  15л

По данной иллюстрации, путем рассуждения и сопоставления данных  задачи, приходим к выводу, что количество вещества в смеси равно сумме количества вещества из каждого раствора.

*3+*12= *15

Решаем данное уравнение, умножая обе части на 100, тем самым проводим к простому уравнению.

75+180=х*15

Откуда,  х= 225:15

        х=17.

Заметим, что ответ получаем сразу в необходимой единице – процентах.

        Задача 2. Изюм по­лу­ча­ет­ся в про­цес­се сушки ви­но­гра­да. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да по­тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 6 ки­ло­грам­мов изюма, если ви­но­град со­дер­жит 90% воды, а изюм со­дер­жит 5% воды?

  х  кг винограда         6 кг изюма

                =                

Рассуждая, что сухое вещество, содержащееся в винограде, полностью переходит в сухое вещество в полученном  изюме, составляем уравнение:

*х= *6

Умножая обе части уравнения на 100, получаем уравнение курса начальной школы:

10*х=570, откуда х=57

Данный способ решения наглядный, понятный и требует меньшего времени, которое выпускник сможет  потратить на более сложные задания ЕГЭ.         

Более сложные задачи, решаются системами  аналогично получаемых простых уравнений

Задачи на смеси всегда вызывают интерес у учащихся, т. к. практически все носят прикладной характер, имеют межпредметные связи. Школьники решая такие задачи, видят связь математики с химией, биологией, физикой, технологией, экономикой. Часто, я предлагаю учащимся самим придумать задачи на проценты.  Конечно, не все дети откликаются на такое предложение, но многие проявляют интерес к  новой для себя деятельности.

Еще одна задача из открытого банка заданий.

В две  банки  налили  1 л молока и  1 л кофе. 10% молока перелили в банку с кофе, а затем 10% смеси перелили в банку с молоком. Чего стало больше кофе в молоке или молока в кофе?

  кофе  молоко

Данную задачу проще решить арифметическим методом.

  Найдем соотношение молока в кофе:

  : 1,1=   

Теперь найдем, сколько стало молока после переливания смеси в банку с молоком:

0,9 + =, значит кофе в молоке содержится 

Получаем ответ: кофе в молоке столько же, что и молока в кофе.

На уроках изучения темы «Проценты»  и в 5-ом,  и 6-ом  классах, я сразу рассматриваю задачи из КИМов  ОГЭ и ЕГЭ. Школьники находят подтверждение словам учителя, что данная тема является основной  в школьном курсе, и убеждаются в необходимости освоить данную тему на высоком уровне.