Алтайский государственный технический университет
им.
Контрольная работа
по сопротивлению материалов
Вариант 009
Выполнил: студент группы Км-Э-51
Проверил: к. т.н., доцент
г. Барнаул
2010 г.
Задача 1.1. Расчет стержня
Условие задачи:
Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1…l3, и площадью А1…А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF. Материал стрежня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.
Исходные данные :
Таблица 1
l1 м | l2 м | l3 м | А1 см2 | А2 см2 | А3 см2 | F кН | lF | Расположение опоры |
1,1 | 1,3 | 1,3 | 40 | 30 | 15 | 70 | l1 | Внизу |
Справочная информация:
Удельный вес стали Ст.3: г = (77…79)Ч103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч1011 Н/м2.
Указания:
Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q1 = гЧА1.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.
Решение:
1. В соответствии с исходными данными вычерчиваем схему бруса (рис. 1.1) и выделяем силовые участки по размерам поперечного сечения.
2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с III-го силового участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (нижнюю часть).
Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:
2.1. Поскольку внешняя сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом зависимость величины продольной силы N3 от координаты z3 будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А3 и плотность стали г остается неизменной по всему участку. Данная продольная сила является сжимающей, т. е. условно отрицательной.
Уравнение для продольной силы на участке:
N3 = - q3Чz3 = - гЧА3Чz3,
где q3 – вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения силового участка III (м2);
г – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 - г = 78Ч103 Н/м3).
Тогда в сечении 3-3 (крайнее верхнее сечение) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем нижнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:
N3 Z3=1,3 м = - q3Чz3 = - l3Ч гЧА3 = - 1,3Ч78Ч103Ч15Ч10-4 = - 152,1 Н ≈ - 0,152 кН.
2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:
у3 = N3/А3.
Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:
у3 Z3=1,3 м = N3/А3 = - 152,1/15Ч10-4 = - 101 400 Па или у3 Z=1,3 м ≈ - 0,10 МПа.
2.3. На силовом участке III брус сжимается под собственным весом, т. е. имеет место его укорочение. Укорочение бруса на участке определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:
∆l3 3=1,3 м = - ∫[N3/(EЧA3)]dz,
где Е – модуль продольной упругости стали; Е = 2Ч1011 Н/м2.
Укорочение силового участка изменяется по линейной зависимости от верхнего сечения (3-3) до нижнего сечения (2-2), при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 укорочение будет равно:
∆l3 Z3=1,3 м = - ∫[N3/(EЧA3)]dz = - ∫[(А3ЧгЧz3)/(ЕЧА3)]dz = (гЧl32)/2E =
= - (78Ч103Ч1,32)/(2Ч2Ч1011) = - 0,00000033 м или ∆l3 Z=1,3м ≈ - 0,00033 мм.
3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II (крайнему верхнему) приложена продольная сила N3 (вес силового участка III бруса).
3.1. Продольная сила на участке II будет равна:
В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):
N2 Z2=0 = N3 = - 152,1 Н ≈ - 0,152 кН.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):
N2 Z2=1,3 м = N2 Z2=0 + q2Чz2 = N2 Z2=0 + (l2Ч гЧА2) = - 152,1 - (1,3Ч78Ч103Ч30Ч10-4) = = -456,3 Н ≈ -0,46 кН.
3.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:
В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):
у2 Z2=0 = N2 Z2=0 /А2 = -69836,2/10Ч10-4 = -69 836 200 Па ≈ -69,84 МПа.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):
у2 Z2=1,3 м = N2 Z2=1,3 м /А2 = -456,3/30Ч10-4 = -152100 Па ≈ - 0,15 МПа.
3.3. Удлинение стержня на силовом участке II:
Участок II сжимается (укорачивается) под действием веса части бруса, расположенного над сечениями этого участка.
∆l2 = - (гЧl22)/2E - (N2 Z2=1,3м Чl2/EA2) =
= [ - (78Ч103Ч1,32)/(2Ч2Ч1011) - (456,3Ч1,3) / (2Ч1011Ч30Ч10-4)] ≈ -0,00000132 м
или ∆l2 Z2=1,3 м ≈ - 0,00132 мм.
4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I, учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему верхнему) приложена продольная сила N2 Z2=1,3 м, равная векторной сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенная сила F.
Сила F по отношению к участку I является растягивающей (т. е. условно положительной).
4.1. Продольная сила на участке I будет равна:
В начале участка I (сечение 1-1):
N1 Z1=0 = N2 Z2=1,3 м + F = - 456,3 + 70000 = 69543,7 Н ≈ 69,54 кН.
В конце участка I (сечение 0-0):
N1 Z1=1,1 = N1 Z1=0 - q1Чz1 = N1 Z1=0 - (l1Ч гЧА1) = 69543,7 - (1,1Ч78Ч103Ч40Ч10-4) =
= 69200,5 Н ≈ 69,2 кН.
4.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:
В начале участка I (сечение 1-1):
у1 Z1=0 = N1 Z=0 /А1 = 69543,7/ 40Ч10-4 = 17 385 925 Па ≈ 17,39 МПа.
В конце участка I (сечение 0-0):
у1 Z1=1,1 = N1 Z=1,1 м /А1 = 69200,5/ 40Ч10-4 = 17 300 125 Па ≈ 17,30 МПа.
4.3. Удлинение бруса на силовом участке I:
Поскольку к верхнему сечению силового участка приложена растягивающая сила F, участок удлиняется:
∆l1 = - (гЧl12)/2E - (N1 Z1=1,1м Чl1/EЧA1) =
= - (78Ч103Ч1,12)/(2Ч2Ч1011) + (69200,5Ч1,1) / (2Ч1011Ч40Ч10-4) ≈ 0,00009491 м ≈
≈ 0,095 мм.
5. Определяем перемещения крайних сечений силовых участков стержня:
д0-0 = 0 мм;
д1-1 = ∆l1 = 0,095 мм;
д2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,095 - 0,00132 ≈ 0,0937 мм;
д3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,095 - 0,00132 - 0,00033 ≈ 0,0934 мм.
6. Результаты расчетов сводим в таблицу 2, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1.1).
Таблица 2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.
Участок | Границы участка | Продольная сила, N, кН | Нормальное напряжение, у, МПа | Перемещение д, мм |
III | начало | 0 | 0 | 0,0934 |
конец | - 0,152 | -0,10 | 0,0937 | |
II | начало | - 0,152 | -0,10 | 0,0937 |
конец | -0,46 | -0,15 | 0,0950 | |
I | начало | 69,54 | 17,39 | 0,0950 |
конец | 69,2 | 17,30 | 0 |
Задача 2.1. Расчет вала
Условие задачи:
К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 2.1).
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов Мкр, подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений фmax, построить эпюру углов закручивания ц вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.
Исходные данные:
Таблица 3
Нагрузки, кНм | Длина участков, м | ||||||
М1 | М2 | М3 | М4 | l1 | l2 | l3 | l4 |
2,7 | - 2,6 | 4,0 | - 2,0 | 1,2 | 0,7 | 0,3 | 0,4 |
Указания:
Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными (рис. 2.1).
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.
Решение:
1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.
МIV = М1 = 2,7 кНм;
МIII = М1 + М2 = 2,7 - 2,6 = 0,1 кНм;
МII = М1 + М2 + М3 = 2,7 - 2,6 + 4,0 = 4,1 кНм;
МI = М1 + М2 + М3 + М4 = 2,7 - 2,6 + 4,0 – 2,0 = 2,1 кНм.
2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка IV:
WР ≥ Мкр/[ф] .
Так как для круглого сечения полярный момент равен: WР = рD3/16, то можно записать:
D ≥ 3√(16Мкр/р[ф]) ≥ 3√[(16Ч4,1Ч103) / (3,14Ч100Ч106)] ≥ 0,0593 м
или D ≥ 59,3 мм.
В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 60 мм.
3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:
ц = МкрЧl/GЧIP,
где G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч1010 Па;
IP – полярный момент инерции (для круглого сечения IP = рD4/32 ≈ 0,1D4, м4.
Произведение GЧIP = 8Ч1010Ч0,1Ч0,064 ≈ 103680 Нм2 – жесткость сечения данного вала при кручении.
Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:
цI = 2,7Ч103Ч1,2/103680 = 0,03125 рад;
цII = 0,1Ч103Ч0,7/103680 = 0,00067 рад;
цIII = 4,1Ч103Ч0,3/103680 = 0,0118 рад;
цIV = 2,1Ч103Ч0,4/103680 = 0,0081 рад.
4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):
ц0-0 = 0 рад;
ц1-1 = цI = 0,03125 рад;
ц2-2 = цI + цII = 0,03125 + 0,00067 = 0,032 рад;
ц3-3 = цI + цII + цIII = 0,03125 + 0,00067 + 0,0118 = 0,048 рад;
ц4-4 = цI + цII + цIII + цIV = 0,03125 + 0,00067+ 0,0118+0,0081 = 0,052 рад.
5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:
фmax = Мкр/WP = 16Мкр/рD3 ≈ 5Мкр/D3.
фmaxIV = 5Ч2,7Ч103/0,063 = 62 500 000 Па ≈ 62,5 МПа;
фmaxIII = 5Ч0,1Ч103/0,063 = 2 314 814 Па ≈ 2,31 МПа;
фmaxII = 5Ч4,1Ч103/0,063 = 94 907 407 Па ≈ 94,9 МПа;
фmaxI = 5Ч2,1Ч103/0,063 = 48 611 111 Па ≈ 48,6 МПа.
6. Наибольший относительный угол закручивания Иmax определим по формуле:
Иmax = Мкрmax/GЧIP = 4,1Ч103/103680 = 0,0395 рад/м.
7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений фmax и углов закручивания ц (рис. 2.1, а).
Задача 4.1. Расчет балки
Условие задачи:
На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q. Материал стержня – сталь Ст.3
[у] = 160Ч106Па – предельное напряжение для стали Ст3 (справочная информация).
Требуется:
Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность.
Исходные данные :
Таблица 4
Нагрузки | Координаты | а, м | Сечение | ||||||
М, кНм | F, кН | q, кН/м | zM | zF | zq | zB | |||
начало | конец | ||||||||
5 | -7 | 7 | 4,5а | а | а | 3а | 4,5а | 2 | двутавр |
Указания:
Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на указанных в варианте задания координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения QY и MX остаются постоянными.
Длину каждого силового участка обозначаем через li.
Решение:
1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RA и RB. Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры условно считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными.
∑МА = - FЧа + qЧ2aЧ2а + М - RBЧ4,5а = 0,
откуда находим реакцию RB:
RB = (- FЧа + qЧ2aЧ2а - М)/4,5а = (-7Ч2 + 7Ч4Ч4 + 5)/(4,5Ч2) = 11,44 кН.
∑МВ = RАЧ4,5а + М - qЧ2аЧ2,5a + FЧ3,5а = 0,
откуда находим реакцию RА:
RА = ( - М + qЧ2аЧ2,5a - FЧ3,5а)/4,5а = (-5 + 7Ч4Ч5 - 7Ч7)/(4,5Ч2) = 9,56 кН.
Положительные значения реакций показывают, что их направление на схеме (рис. 4.1, а) выбрано верно.
Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:
∑FY = - RA – F + 2qa - RB = - 11,44 – 7 + (2Ч7Ч2) – 9,56 = 0.
Опорные реакции определены правильно.
2. Составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого силового участка балки.
2.1. Участок I: 0 ≤ z1 ≤ 2 м.
QY1 = RA = - 9,56 кН;
MX1 = RAЧz1.
На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной и равна реакции RA опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой прямую линию с ординатой у = - 9,56 кН.
Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке достаточно вычислить значение моментов в его крайних точках:
Мх1Z1=0 = 0;
Мх1Z1=а = 9,56Ч2 = 19,12 кНм;
2.2. Участок II: 2 м ≤ z2 ≤ 6 м.
QY2 = - RA – F + qЧz2.
На данном участке эпюра внутренних сил представляет наклонную прямую линию, поэтому для ее построения необходимо определить значение сил в крайних сечениях. Учитываем, что в сечении, где приложена сила F (крайнее левое сечение второго участка), значение внутренней силы скачкообразно изменяется на величину этой силы, что отражается на эпюре в виде «ступеньки».
QY2 Z2=0 = - RA – F = -9,56 – 7 = - 16,56 кН;
QY2 Z2=4м = - RA – F + qЧz2 = - 16,56 + 7Ч4 = 11,44 кН.
Поскольку внутренняя сила на участке II поменяла знак на противоположный, в сечении с абсциссой z2экст, где сила QY2 равна нулю, изгибающий момент имеет экстремальное значение. Определим координату z2экст:
QY2 Z2экст = - RA – F + qЧz2экст = 0, откуда получим: z2экст= (RA + F)/q = 2,37 м.
Изгибающий момент на силовом участке II изменяется по квадратичной зависимости, и его эпюра имеет криволинейную форму. Поэтому для построения эпюры изгибающих моментов необходимо вычислить значение моментов в крайних и промежуточных сечениях силового участка:
MX2 = RAЧ(а + z2) + FЧz2 - qЧz22/2;
МХ2 Z2=0 = Мх1Z1=а = 19,12 кНм;
МХ2 Z2=а = 9,56Ч(2 + 2) + 7Ч2 - 7Ч22/2 = 38,24 кНм;
МХ2 Z2экст = 9,56Ч(2 + 2,37) + 7Ч2,37 - 7Ч2,372/2 = 38,70 кНм;
МХ2 Z2=2а = 9,56Ч(2 + 4) + 7Ч4 - 7Ч42/2 = 29,36 кНм;
2.3. Участок III: 6 м ≤ z3 ≤ 9 м.
Внутренняя сила на всем протяжении третьего силового участка остается постоянной по величине, равной и противоположно направленной реакции опоры В:
QY3 = - RA – F + qЧ2а = 11,44 кН = - RВ.
Изгибающий момент на протяжении участка изменяется линейно, при этом в крайнем правом сечении он равен моменту в крайнем правом сечении второго силового участка: МХ2 Z2=2а = 29,36 кНм. Очевидно, что в конце силового участка III изгибающий момент должен быть равен сосредоточенному моменту М с противоположным знаком. Проверим это путем расчета:
МХ3Z3=4,5а = RA Ч4,5a + FЧ3,5а - qЧ2аЧ2,5а =9,56Ч9 + 7Ч7 – 7Ч4Ч5 = - 5 кНм.
Изгибающий момент в крайнем правом сечении (опора В) скачкообразно изменяется от значения – М до 0.
3. Результаты расчетов внутренних усилий в балке заносим в таблицу 5, после чего строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 4.1, а).
Таблица 5
Внутреннее усилие | Номер силового участка | ||
I | II | III | |
QY, кН | - 9,56 | - 16,56…11,44 | 11,44 |
МХ, кНм | 0…19,12 | 19,12…38,24…38,7…29,36 | 29,36…-5 |
4. По эпюре МХ определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине):
MXmax = 38,7 кНм.
Размер сечения (по условию варианта задания - № двутавра) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:
WX = MXmax/[у] = 38,7Ч103/160Ч106 = 0,000242 м3 ≈ 242 см3,
где [у] = 160Ч106Па – предельное напряжение для стали Ст3.
По таблице сортаментов (ГОСТ-8239-89) выбираем двутавр № 24, у которого момент сопротивления равен: WX =289 см3. Ближайший по размеру сечения двутавр № 22 имеет момент сопротивления сечения WX = 232 см3, что недостаточно для соблюдения условий прочности.
Задача 4.3. Расчет статически неопределимой балки
Условие задачи:
На статически неопределимую балку, имеющую две опоры: жесткую заделку и шарнирно-подвижную опору, действуют внешние нагрузки: сила F и распределенная нагрузка q.
Требуется:
Определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и линейных перемещений.
Исходные данные:
Таблица 6
q | координаты | F | ZF | ZB | а | |
начальная Zq | конечная Zq | |||||
-5 кН/м | 0 | 2а | -20 кН | а | 2а | 1,0 м |
Указания:
Вычертить схему балки в соответствии с исходными данными (рис. 4.3).
Жесткую заделку расположить на левом конце балки, там же выбрать начало координат.
Раскрытие статической неопределимости следует проводить методом сил, определение линейных перемещений – методом начальных параметров.
Решение:
1. Данная балка является статически неопределимой один раз, поскольку опорных реакций у нее больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно, применить методы статики для определения неизвестных силовых факторов невозможно, так как одна опорная реакция является «лишней», и неизвестных силовых факторов на единицу больше, чем уравнений равновесия.
Для решения задачи используем способ Верещагина, отбросив «лишнюю» связь и заменив ее неизвестным усилием Х1. За лишнюю связь можно принять любую опорную реакцию, кроме продольно действующей реакции HA, так как без нее балка не сможет сохранять равновесие.
2. Принимаем за лишнюю связь реактивный момент МА, составляем эквивалентную схему балки (рис. 4.3,а), и записываем каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы:
д11ЧХ1 + Д1Р = 0.
Для вычисления коэффициентов канонического уравнения построим грузовую МF (от внешних нагрузок F и q) и единичную М1 (от усилия Х1=1) эпюры изгибающих моментов, а затем перемножим их в соответствии со способом Верещагина (см. рис. 4.3,а).
3. По способу Верещагина произведение эпюр МFЧМ1 равно площади грузовой эпюры, умноженной на высоту единичной эпюры, взятой под центром тяжести грузовой эпюры. При этом обе линии эпюр не должны иметь точек перелома, и хотя бы одна из эпюр должна быть линейной. Для удобства расчетов расслаиваем грузовую эпюру на две составляющие - МF и Мq, построив их в виде отдельных графиков.
При сложении полученных сомножителей учитываем знак – если перемножаемая составляющая грузовой эпюры расположена по одну сторону с единичной эпюрой – произведение имеет положительный знак, в противном случае - отрицательный.
4. В соответствии со схемами на рисунке 4.3,а коэффициенты канонического уравнения определяются по формулам:
д11 = 1/EIX ∫М1ЧМ1 dz = 1/EIX (1/2Ч1Ч2аЧ2/3Ч1) = 2/3EIX;
∆1F = 1/EIX ∫МFЧМ1 dz = 1/EIXЧ-[(2/3Ч9/8Чqa2Ч2аЧ1/2) + (1/2FЧаЧ2аЧ1/3)] ≈
≈ -10,42/EIX.
Подставим полученные значения в каноническое уравнение и найдем неизвестное усилие Х1:
2Х1/3EIX + 10,42/EIX = 0, отсюда Х1 = -15,63 (кНм).
Статическая неопределимость раскрыта.
Отрицательное значение усилия Х1 показывает, что направление этого усилия изначально выбрано неправильно, т. е. изгибающий момент МА, действующий в жесткой заделке, направлен в противоположную сторону.
5. Используя уравнения статики найдем опорные реакции балки:
∑FZ = HA = 0, откуда следует, что НА = 0;
∑МА = МА + RBЧ2а - qЧ2аЧ2а/2 - FЧа = -15,63 - 2RB - 10 – 20 = 0,
откуда RB ≈ 22,815 (кН).
Положительное значение полученной реакции RB указывает, что ее направление на схеме рисунка 4.3,а выбрано верно.
∑МВ = МА - RАЧ2а + qЧ2аЧ2а/2 + FЧа = -15,63 - 2RA + 10 + 20 = 0,
откуда RA ≈ 7,185 (кН).
Поскольку реакция получилась положительной, ее направление на схеме выбрано верно.
В качестве проверки полученных результатов составляем уравнение равновесия сил, действующих на балку:
∑FY = RA - qЧ2a - RB - F = 7,185 - 5Ч2Ч1 + 22,815 - 20 = 0.
Проверка показала, что условие равновесия балки соблюдается, значит, расчеты выполнены правильно.
6. Для построения эпюр поперечных сил определим значения поперечных сил на границах силовых участков, учитывая, что и на первом, и на втором участке силы изменяются по линейной зависимости, поскольку по всей длине балки действует распределенная нагрузка.
Участок I:
Q1 x1=0 = RA = 7,185 кН;
Q1 x1=a = RA - qа = 7,185 - 5Ч1 = 2,185 кН.
Участок II (от крайнего левого сечения, где приложена сила F):
Q2 x2=0 = Q1 x1=a – F = 2,185 – 20 = -17,815 кН;
Q2 x2=a = RA - 2qа – F = 7,185 -10 - 20 = -22,815 кН.
В крайнем правом сечении участка II, где приложена реакция RB = 22,815 кН, поперечная сила скачкообразно изменяет значение до нуля.
В граничном сечении между силовыми участками (где приложена сила F) внутренняя сила меняет знак на противоположный, следовательно, изгибающий момент в этом сечении имеет экстремальное значение.
7. Для построения эпюры изгибающих моментов необходимо определить значение моментов в нескольких сечениях, поскольку здесь приложена распределенная нагрузка и эпюра имеет криволинейную форму.
Знак изгибающих моментов принимаем в соответствии с «правилом дождя» - если момент выгибает балку вверх – он условно считается отрицательным, если вниз – положительным.
Участок I:
МX x1=0 = МА = 15,63 кНм;
МX x1=0,5а = МА - qЧ(0,5а)2/2 + RAЧ0,5а = 15,63 – 0,625 + 3,593 = 18,6 кНм;
МX x1=a = МА - qЧa2/2 + RAЧа = 15,63 – 2,5 + 7,185 = 20,3 кНм ;
Участок II:
МХ х2=0 = МX x1=a = 20,3 кНм;
МX х2=0,5а = МА - qЧ(1,5а)2/2 + RAЧ1,5а - FЧ0,5а = 10,78 кНм;
МХ х2=а = МА - qЧ2а2 + RAЧ2а - FЧа = 0.
8. Для построения эпюры линейных перемещений Y (прогибов) требуется определить их значения в 4…5 сечениях балки. В нашем случае известно, что перемещения в опорах А и В равны нулю, т. е. yA = 0 и yB = 0.
Вычислим прогибы в координатах х=0,5а, х=а и х=1,5а.
Уравнения прогибов в этих сечениях по методу начальных параметров имеют вид:
EIX y1 = - MA(0,5а – 0)2/2 - RA(0,5а – 0)3/6 + q(0,5а – 0)4/24 =
= -15,63Ч0,52/2 - 7,185Ч0,53/6 + 5Ч0,54/24 ≈ -2,09 (кНм3);
EIX y2 = - MAЧ(а – 0)2/2 - RAЧ(а – 0)3/6 + q(а – 0)4/24 =
= -15,63Ч12/2 - 7,185Ч13/6 + 5Ч14/24 ≈ -8,80 (кНм3);
EIX y3 = - MAЧ(1,5а – 0)2/2 - RAЧ(1,5а – 0)3/6 + F (1,5а-а)3 + q(1,5а – 0)4/24 =
= -15,63Ч1,52/2 - 7,185Ч1,53/6 + 20Ч0,53/6 + 5Ч1,54/24 ≈ -20,15 (кНм3).
9. По полученным расчетным данным строим эпюры поперечных сил QY, изгибающих моментов MX и погибов Y (см. рис. 4.3, а).
Задача 5.3. Изгиб с кручением
Условие задачи:
На валу круглого сечения, вращающемся с угловой частотой щ, расположены два шкива ременной передачи диаметрами D1 и D2, через которые передается мощность Nэд. Вал закреплен в подшипниковых опорах А и В. Ветви шкива 1 расположены под углом б1, а шкива 2 – под углом б2 к горизонтали.
Исходные данные:
Таблица 8
l1 м | D1 м | б1 град | l2 м | D2 м | б2 град | lВ м | Nэд кВт | n об/м | [у] мПа |
1,9 | 0,5 | 30 | 3,8 | 0,35 | 90 | 2,5 | 22 | 1500 | 160 |
Требуется:
Подобрать диаметры вала по III теории прочности при заданном предельном напряжении [у].
Указания:
Опору А расположите в начале координат, опору В – на координате lВ, шкивы 1 и 2 соответственно на координатах l1 и l2.
Решение:
1. Определим момент МКР, действующий на участке вала между шкивами 1 и 2:
МКР = Nэд/щ = 30Nэд/рn = 30Ч22 000/3,14Ч1500 = 93,42 [Нм] ≈ 0,0934 [кНм],
и построим эпюру крутящих моментов (рис. 5.3, а).
2. Определим усилия t1 и t2 в ременной передаче:
t1 = 2МКР/D1 = 2Ч93,42/0,50 = 373,7 [Н] ≈ 0,37 [кН];
t2 = 2МКР/D2 = 2Ч93,42/0,35 = 533,8 [Н] ≈ 0,53 [кН].
3. Опорные реакции, необходимые для построения эпюр изгибающих моментов, определим из уравнений статики, с учетом того, что ветви ремня первого шкива отклоняются от горизонтали на 30˚ (см. рис. 5.3), а угол наклона ветвей ремня второго шкива к горизонтали составляет 90˚.
sin 30˚ = 0,5, cos 30˚ = 0,866.
У МВХ = RAYЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1)Чsin 30˚ – (2t2+ t2)Ч(l2 – lВ) = 0,
откуда находим RAY [кН]:
RAY = [-(2t1+t1)Ч(lВ–l1)Чsin30˚ + (2t2+t2)Ч(l2–lВ)] / lВ =
= [-3Ч0,37Ч(2,5 – 1,9)Ч0,5+3Ч0,53Ч(3,8 – 2,5)]/2,5 ≈ 0,142 [кН];
У МВY = - RAXЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1)Чcos 30˚ = 0,
откуда находим RAX [кН]:
RAX = [-3t1Ч(lВ – l1) + 3t2Ч(l2 – lВ)Чcos 30˚]/ lВ =
= [-3Ч0,37Ч(2,5 – 1,9) + 3Ч0,53Ч(3,8 – 2,5)Ч0,866]/2,5 ≈ 0,45 [кН];
4. Определяем значения изгибающих моментов МХ и МY в крайних точках силовых участков вала, а также величину суммарного изгибающегося момента Мизг, который определяется, как векторная сумма моментов МХ и МY:
МИЗГ = √(МХ2 + МY2),
где МХ = RAYЧlZ; МY = RAXЧlZ
5. Результаты расчетов заносим в Таблицу 9 и в соответствии с полученными расчетными данными строим эпюры изгибающих моментов МХ, МY и МИЗГ (рис. 5.3, а).
Используя эпюру МИЗГ, определяем опасное сечение вала по максимальному изгибающему моменту: МИЗГ = 1,78 кНм.
Таблица 9
Параметры | Z = 0 м | Z = l1 м | Z = lB м | Z = l2 м |
МХ кНм | 0 | 0,27 | 0,36 | 0 |
МY кНм | 0 | 0,86 | 1,13 | 0 |
Мизг кНм | 0 | 0,90 | 1,19 | 0 |
6. Подбираем сечения вала по условию прочности:
уmax = МПРmax/WОС ≤ [у],
где МПРmax – приведенный момент, по III теории прочности:
МПРmax = √(МХ2 + МY2 + МКР2) = √(0,362 + 1,132 + 0,09342) = 1,19 [кНм];
Wос – осевой момент сопротивления сечения, который для круглого сечения может быть определен из зависимости: WОС = рd3/32.
7. Определяем минимальный диаметр вала:
d ≥ 3√(32МПРmax/р[у]) = 3√(32Ч1,19Ч103)/(3,14Ч160Ч106) = 0,04232 м = 42,3 мм.
Принимаем диаметр вала из стандартного ряда (ряд Ra20) по ГОСТ 6636-69:
d = 45,0 мм.
Ответ:
Для обеспечения условия прочности и соответствия установленным стандартным размерам диаметр вала должен быть равен 45 мм.
Литература:
1. , . Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников механических, машиностроительных, автотранспортных специальностей. – Изд-во АлтГТУ – Барнаул. – 2004 г. – 62 с.
2. Краткий курс лекций по сопротивлению материалов: Учебное пособие. – Барнаул, Изд-во АлтГТУ. – 2010 г. – 124 с.
3. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - 10-е издание, перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. , 2009. - 592 с.
