Преобразование логарифмических выражений
Определение и свойства логарифмов
Формула | Примеры |
1) lоgаb = х, означает ах = b (а > 0, а т. е. |
|
2) lоgаа = 1, (а > 0) | lоg143143 = 1, |
3) lоgр1=0, (р > 0, р | 1оg471=0 |
4) lоg раb = lоgр а + 1оgр b (р > 0, р | log14 2 + log147 = log14 (2 ·7) = 1оg1414 = 1 |
5) lоgр | log3 75 — log3 25 = log3 |
6) lоg раn = n lоg ра (а > 0, р > 0, р | log3 243 = log3 35 = 5log3 3 = 5 |
7) lоg ра = |
|
8) log10 а = lg а (а> 0) loge а = ln а (а >0) | lg 1000 = log10 1000 = log10 103 = 3 1n е-5 = loge е-5 = - 5 loge е = -5 |
9) lоgр а* lоgа р=1 | lоg5 7*lоg725= lоg5 7* lоg752 =2 lоg5 7*lоg75=2 |
1),
= b основное логарифмическое тождество
= 12 
=27
1)
1, а > 0, b > 0)
= lоgр а - 1оgр b 
= log3 3 = 1
1)
(а > 0, р > 0, р 
1, m > 0, m 
1)
= log5 125 = log5 53 = 3lоg5 5 = 3
Преобразования логарифмических выражений
Пример 1. Найдите значение выражения 5 ∙ Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством 5 ∙ Ответ: 60 | Пример 3. Вычислите: lоg336 - 21оg32. Решение. Первый способ. lоg336 - 21оg32 = lоg3(32 ∙22) - 2lоg32 = lоg332 + lоg322 - 2lоg32 = 2lоg33 + 2lоg32 - 2lоg32 = =2·1 = 2 Второй способ. lоg336 - 21оg32 = lоg336 - 1оg322 = lоg3 |
Пример 2. Упростите выражение log3 15 - 1оg35 + 3* Решение. Используя формулу ) lоgр а - 1оgр b = lоgр log3 15 - 1оg35 +3* Ответ:16. | Пример 4. Найдите 1оg а (ав3), если 1оg а в2 =6. Решение. Сначала преобразуем 1оg а в2 =6, используя свойства логарифмов 2*1оg а в =6, 1оg а в =3; Затем, используя свойства логарифмов 4 и 6, получим 1оg а (ав3)= 1оg а а+ 1оg а в3= = 1оg а а+ 31оg а в= 1+ 3*3=10 Ответ: 10. |
= b получаем:
= 5·12 = 60.
= lоg3 9 = 2 
Ответ:2.
, основное логарифмическое тождество 
= b, а затем равенство lоgаа = 1, получаем: 
= lоg33 + 3*5 = 1 + 15 = 16.Ниже представлены 8 вариантов преобразования логарифмических выражений на применение всех свойств логарифмов.
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант | 4 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 
, если 
, если 
.
, если 
.
, если 
, если 
, если 
, если 
, если 
, если 
, если 
, если 
5 вариант | 6 вариант | 7 вариант | 8 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 
, если 
, если 
.
, если 
, если 
, если 
.
, если 
, если 
Ответы: преобр. логарифм. выражений
Вар | В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | В6 | В7 | В8 | В9 | В10 | В11 | В12 | В13 | В14 |
-2 | -2 | 4 | -1 | 1,5 | 16 | -4 | 3 | -41 | 24 | -2 | 2 | 8 | 2 | |
2 | -4 | 1,5 | 3 | 5 | 16 | 11,8 | -1 | -31 | 7 | -2 | 13 | 8 | 4 | |
2 | -4 | 2 | -2 | 5 | -3 | 32 | -2 | 17 | 2 | -2 | 1 | -5 | 5 | |
2 | -2 | -0,5 | -6 | -7 | 2 | 27 | 3 | -6 | 32 | 2 | 32 | 19 | -1 | |
2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 2 | 44 | 9 | 3 | 39 | 3 | 2 | 2 | 8 | |
6 | 2 | -3 | -3 | -3 | -3 | 27 | 5 | 2 | 0 | 3 | -2 | 2 | 16 | |
3 | -2 | -3 | -3 | 14 | 5 | 20 | -25 | 2 | 7 | -1 | -6 | 2 | 1 | |
3 | 2 | 2 | 4 | -3 | -3 | 13 | 32 | 2 | 7 | -2 | 2 | 1 | -2 |
Ответы: преобр. логарифм. выражений
Вар | В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | В6 | В7 | В8 | В9 | В10 | В11 | В12 | В13 | В14 |
-2 | 4 | -1 | 1,5 | 16 | -4 | 3 | -41 | 24 | -2 | 2 | 8 | 2 | ||
2 | -4 | 1,5 | 3 | 5 | 16 | 11,8 | -1 | -31 | 7 | -2 | 13 | 8 | 4 | |
2 | -4 | 2 | -2 | 5 | -3 | 32 | -2 | 17 | 2 | -2 | 1 | -5 | 5 | |
2 | -2 | -0,5 | -6 | -7 | 2 | 27 | 3 | -6 | 32 | 2 | 32 | 19 | -1 | |
2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 2 | 44 | 9 | 3 | 39 | 3 | 2 | 2 | 8 | |
-2 | 2 | -3 | -3 | -3 | -3 | 27 | 5 | 2 | 0 | 3 | -2 | 2 | 16 | |
3 | -2 | -3 | -3 | 14 | 5 | 20 | -25 | 2 | 7 | -1 | -6 | 2 | 1 | |
3 | 2 | 2 | 4 | -3 | -3 | 13 | 32 | 2 | 7 | -2 | 2 | 1 | -2 |
