7159. Лежащий в сосуде шар из материала с плотностью с, имеет герметичную сферическую полость, радиус которой вдвое меньше радиуса R шара. Центр полости находится на расстоянии R/2 от центра шара. К точкам на поверхности шара, находящимся на концах диаметра, проходящего через центры шара и полости, приклеены две одинаковые невесомые нерастяжимые нити, длина каждой из которых больше R. Расстояние между точками крепления других концов нитей к горизонтальному дну сосуда равно 2 R. В сосуд наливают жидкость с плотностью с до тех пор, пока шар не окажется полностью погруженным в жидкость. При этом обе нити оказываются натянутыми (см. рисунок). При каких значениях отношения с/с1 возможна такая ситуация?
Дано: с;с1
Найти: с/с1=?
Решение. На шар действуют силы: силы натяжения нитей T1 и T2, сила Архимеда Fa, сила тяжести F3, которая должна была бы действовать на шар, если бы он не имел полости, и сила F2, противоположная силе тяжести, которая должна была бы действовать на вещество шара, изъятое из него.
При выборе направлений сил T1 и T2 было учтено, что, по условию задачи, обе нити натянуты.
Первое условие означает, что сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю.
Второе условие равновесия относительно оси A:
Поскольку объем шара радиусом r равен,
модули сил Fa, F2 и F3 должны удовлетворять соотношениям:
Из этих соотношений и уравнений (1) и (2) следует, что
На основании последних соотношений можно утверждать, что обе нити будут натянуты, если отношение плотности жидкости к плотности материала шара будет больше 15/16, т. к. отношение модулей не равных нулю векторов должно быть положительной величиной.
Ответ.
