Физико—математические науки

Физико–математические науки

502 №2 2018 Вестник КазНИТУ

KadirbayevaZh. M., MyrzakhmetD. K.

Numerical implementation for solving of multipoint boundary value problem for the system of ordinary differential equations

Summary. A linear multipoint boundary value problem for the system of ordinary differential equations is investigated on the basis of the parameterization method. Considering problem by introducing additional parameters at the partitioning points of interval is reduced to an equivalent boundary value problem with parameters. A system of linear algebraic equations with respect to parameters is constructed by solving of Cauchy’s matrix and vector problems for ordinary differential equations on the subintervals. Numerical method for solving of the problem is suggested, which based on the solving of the constructed system and method of Runge-Kutta 4th order for solving of the Cauchy problem on the subintervals. The article is illustrated by an example for finding the solution of the linear three-point boundary value problem for the system of ordinary differential equations.

Keywords: differential equation, boundary value problem, parameterization method, solvability, fundamental matrix.

УДК 517.521.2

(Казахский Национальный университет им. аль-Фараби,

г. Алматы, Республика Казахстан, *****@***ru)

ТЕОРЕМА В. П.ЕРМАКОВА О РЯДАХ И ЕЁ ЗНАЧЕНИЕ

В МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Аннотация. Данная работа посвящена теореме о знакопостоянном ряде и её значении в математическом анализе.

Ключевые слова: сходимость ряда.

Цель данной статьи - показать важность теоремы в математическом анализе. Вопросами сходимости рядов занимались многие ученые XVIII - начала XIX в. Особое внимание уделялось исследованию сходимости по закону образования их членов. Такие исследования проводили Гаусс, Бертран, Раабе, Дирихле, Лобачевский и многие другие. Занимался теорией рядов и крупный русский математик конца ХIХ – начала XX в. Василий Петрович Ермаков (1845-1922), внесший также большой вклад в методику преподавания математики в университете и школе. В 1871 году в Киеве на III съезде русских естествоиспытателей и врачей профессор Киевского Университета. сообщил о новом признаке сходимости рядов.

Теорема Ермакова в общем виде может быть сформулирована следующим образом.

Теорема. Если то ряд сходится или расходится в зависимости от того, к какому пределу – меньшему или большему единицы - стремится отношение, при x.

Здесь – положительная, непрерывная и дифференцируемая функция, причем, начиная с некоторого x.

Положив ex им был получен показательный признак, как наиболее простой из чувствительных признаков:

«Ряд будет сходящимся, если отношение с возрастанием переменной x до бесконечности стремится к пределу меньшему единицы, и ряд будет расходящийся, если отношение для величин х, превосходящих некоторую постоянную величину стремится к пределу, большему единицы. Сомнительный случай может быть только тогда, когда предел предыдущего отношения меньше единицы и стремится к единице, когда »[1]. Данный результат был высоко оценен , присутствующий на этом съезде. Напомним, что академик (1821-1894) в тот период был главой крупной математической школы в России. Доказательства признака Ермакова были предметом дальнейших исследований, как самого автора признака, так и других ученых. стремился найти по возможности наиболее чувствительный и, в то же время, простой признак. Фактически, был найден универсальный признак. Он напоминает признак Куммера, но имеет то преимущество, что является необходимым и достаточным признаком сходимости несобственных определенных интегралов 1-го рода от знакопостоянных функций. Это было позднее доказано [2]. Основная ценность исследования состоит в его общей формулировке и его удобной практической реализации. ) (/ )(xf e f e x x x● Физика–математика ғылымдары

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2018 503

Пример. Пусть – произвольное положительное число. Обозначим через наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 0) ( x . 1ln ) (  x 

Построим функцию, полагая   ) ( 0 ln1 ) ( x k k x x f  . ln, 1, ln ln ln 0 1 x x k x x k k    

Функция непрерывна при и оставаясь положительной, монотонно убывает до 0 приx. Тогда ряд дает сомнительный случай для признака Ермакова, так как функция удовлетворяет уравнению В данном примере, ряд расходится. ) (xf 1 x ). () (xf e f e x x  ) ( 1 k f k 

Можно привести примеры рядов, когда известные признаки Куммера, Раабе не дают ответа о сходимости ряда, тогда как признак Ермакова может быть эффективно применен. Признак Ермакова практически не упоминается в книгах по математическому анализу и незаслуженно забыт.

Таким образом, теорема Ермакова очень полезна и может быть включена в курсы математического анализа при прохождении темы «Ряды и их сходимость».

ЛИТЕРАТУРА

1. Труды III съезде русских естествоиспытателей по отделу математики. Киев, 1873, с.7

2. О некоторых вопросах теории сходимости рядов.- Изв. вузов, 1958, №1(2), с.60-79.

Мұстафин М. А.

Қатарлар жайлы ң теоремасы және математикалық талдаудағы маңызы

Түйіндеме: Бұл мақала ң тұрақты таңбалы қатарға арналған теоремасына және оның математикалық талдаудағы маңызына арналған.

Негізгі сөздер: қатардың жинақталуы.

Mustafin M. A.

V. P.Ermakov’s theorem about series and its importance in mathematical analysis

Summary. Given article is devoted to V. P.Ermakov’s theorem about of constant signs series and its importance in mathematical analysis.

Key words: series convergence.

УДК: 538.911

, ,

, , У. Досеке

(Казахский национальный университет имени аль-Фараби,

Алматы, Республика Казахстан, *****@***ru )

РЕНТГЕНОСТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ НАНОПОРОШКА МЕДИ

Аннотация. Среди физических методов исследования и контроля материалов важное место занимает рентгеноструктурное исследование кристаллических материалов. Нами расмотрены методы рентгеноструктурного анализа для индицирования дифрактограмм и определения структурных параметров меди, порошка и нанопорошка меди: пространственная группа, фаза, типы и параметры ячейки. Были определены химический состав, размеры кристалитов и наночастиц меди методами рентгеноструктурного анализа и проведены сравнения с результатами других методов.

Ключевые слова: рентгеноструктурный анализ, медь, нанопорошки меди, структура, дифрактограмма.

Введение

Основные физические свойства металлических наночастиц резко отличаются от свойств