5 класс. Серия 3. Анализ с конца и не только.
В квартире дяди Пети живут тараканы … Дядя Петя затеял с ними глобальную войну. Половина всех тараканов и ещё 5 штук были раздавлены, треть оставшихся и ещё четверо – отравлены, а половина нового остатка и последние 3 таракана обиделись и ушли жить к соседям. Сколько тараканов проживало в квартире у дяди Пети до начала «боевых действий». По кругу выписаны по порядку натуральные числа от 1 до 2016. За ход разрешается прибавить по одинаковым числам к двум соседним (прибавленные целые числа могут быть не целые). Можно ли после некоторого количества таких операций получить все числа равные. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке остаться 10 платков? За булочками к вечернему чаю выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально? В прямоугольной таблице расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что таблица квадратная. а) Вася решил расставить на шахматной доске 15 коней так, чтобы каждый конь бил ровно одного из оставшихся. Удастся ли Васе это сделать? б) А удастся ли ему расставить 15 коней так, чтобы каждый бил ровно двух других? Трем братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять часть бубликов: “Я,– сказал он,– оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит так же”. Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату? 
Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т. д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток? Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей? На доске написаны числа 1, 2, …, 37. Разрешается стереть любые два числа и вместо них написать их разность. Повторив эту операцию 36 раз, мы получим одно число. а) Докажите, что это число не может быть нулем. б) а может ли оно быть 1?
