10-11 класс, производная в многочленах

10-11 класс, производная в многочленах

Теория. Докажите, что многочлен f(x) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда f(x) и f′(x) имеют общий корень.

1. Докажите, что а) если многочлен не имеет кратных корней, то корни многочлена разделяют корни его производной; б) среднее арифметическое корней многочлена равно среднему арифметическому корней его производной.

2. Имеет ли многочлен кратные корни?

3. Докажите, что многочлен x2n-nxn + 1+nxn - 1-1 при n > 1 имеет трехкратный корень x = 1.

4. Допустим, что многочлен P(x) степени n имеет ровно n различных действительных корней. Докажите, что (P(x))2 ≥ P(x)P″(x) при всех x.

5. Четыре корня многочлена четвертой степени образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что корни его производной тоже образуют арифметическую прогрессию.

6. Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим Q(x) = (P(x), P'(x)) и R(x) = P(x)Q-1(x). Докажите, что

а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);

б) многочлен R(x) не имеет кратных корней

в) Попробуйте сделать описанную выше процедуру для многочленов P(x) =x6- 6x4- 4x3 + 9x2 + 12x + 4; б) P(x) = x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + x + 1.

7. Квадратные трехчлены f1(x) и f2(x) таковы, что f1'(x)f2'(x)≥ |f1(x)|+|f2(x)| при всех действительных x. Докажите, что произведение f1(x)f2(x) равно квадрату некоторого трехчлена.

8. Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

9. Многочлен степени n > 1 имеет n разных корней х1, х2, ..., хn. Его производная имеет корни y1, y2, ..., yn–1.Докажите неравенство

10-11 класс, производные не только в многочленах

И не только производные

10. Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-ой степени больше, чем n касательных?

11. Про непрерывную функцию f известно, что f определена на всей числовой прямой; f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную); график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна.  Верно ли, что график f(x) – прямая?

12. Доказать, что существует единственная функция f: . Построить ее график.

13. Найдите все непрерывные функции f:, .

14. Найдите все непрерывные функции f:, f(f(f(x)))≡x.

15. Найти все непрерывные функции f:,, удовлетворяющие , x, y>1.

16. Решите систему уравнений.

17. Существует ли не равная константе функция f:, удовлетворяющая для всех действительных х и y неравенству (f(x)-f(y))2≤|x-y|3?

18. Пусть непрерывная функция f:[0,1]→[0,1] дифференцируема на интервале (0,1), причем f(0)=f(1)=1. Доказать, что существуют такие числа x≠y из этого интервала, что f”(x)f”(y)=1.

19. Найти все числа d, 0<d≤1, обладающие следующим свойством: если f(x) – произвольная непрерывная функция, определенная на [0,1], причем f(1)=f(0), то существует число x0, 0≤x0≤1-d, для которого f(x0)=f(x0+d).

20. Пусть функция f: определена следующим образом: f(x)=0, если x - иррационально, f(p/q)=1/q3, если p – целое, q – натуральное, p/q – несократима. Доказать, что эта функция дифференцируема в каждой точке x=√k, где k – натуральное число, не являющееся точным квадратом.