Тема: «Понятие движения»

5.02.

Тема: «Понятие движения».

Цели урока: учебная – познакомить учащихся с понятием переносной и поворотной симметрии;

развивающая – познакомить учащихся с приёмами дизайнеров при построении тесселляций;

воспитательная – на примере творчества Эшера подвести ребят к мысли о необходимости гармоничного и пропорционального развития в себе как образного, так и логического мышления.

Прививать любовь к геометрии через картины художника Морица Эшера.

Изучение нового материала

Мы с вами убедились, что большинству людей свойственно как образное, так и логическое мышление. Одним из ярких примеров является личность известного голландского художника-графика Морица Корнелиуса Эшера. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин. Любопытно, что сам Эшер не мог похвастаться законченным математическим образованием.

Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг…Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен». В этих словах, наверное, есть доля преувеличения, тем более, что в процессе своей работы он черпал идеи из различных математических статьей. Позже он признается: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». И математики по достоинству оценили его картины, и вот уже с 50-х годов прошлого столетия Эшер выступает с лекциями на Международных конгрессах математиков и кристаллографов.

За всю свою жизнь Эшер создал множество разнообразных по тематике гравюр и литографий. Я отобрала для демонстрации часть эскизов к гравюрам, объединённых общей идеей. Посмотрите внимательно на них и ответьте на вопрос: «Какая идея присутствует в этих эскизах? Как одним словом можно назвать эти рисунки?» (мозаика, повторяющиеся элементы, симметричные).

Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии.

В Кратком Оксфордском словаре «симметрия» определяется как «красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью»

Какие виды симметрии вы знаете? (центральная, осевая).

Что такое осевая симметрия? (отображение плоскости на себя, при котором любой точке М этой плоскости ставится в соответствие точка М1, симметричная ей относительно прямой a. Прямая а является серединным перпендикуляром отрезка ММ1)

Что такое центральная симметрия? (отображение плоскости на себя, при котором любой точке М сопоставляется такая точка М1, что точка O является серединой отрезка ММ1) Например, объекты, обладающие центральной симметрией. (№3 – отсутствует центральная симметрия).

Вы знаете, что осевая и центральная симметрии являются движениями плоскости, т. е. сохраняют все расстояния между точками, а значит, переводят фигуры в равные. А как в жизни происходит движение объектов? По какой траектории? (по прямой, по окружности).

А на рисунке «Путь жизни 2»? (по кругу). Если материальная точка движется по прямой, говорят о параллельном переносе или сдвиге плоскости. Если материальная точка движется по окружности, говорят о повороте плоскости вокруг некоторой точки.

Движение по прямой характеризуется направлением движения и пройденным расстоянием, следовательно, достаточно ввести вектор переноса, который и будет учитывать эти две характеристики.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС - отображение плоскости на себя, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (вектор переноса).

Например, построить треугольник А1В1С1, который получается из треугольника АВС параллельным переносом на вектор .

При движении по окружности необходимо знать, где находится центр окружности, направление движения (по часовой стрелке или против) и угол поворота.

ПОВОРОТ – отображение плоскости на себя, при котором все точки смещаются вокруг заданной точки (центр поворота) на заданный угол (угол поворота) в одном направлении (по часовой или против часовой стрелки).

Например, построить треугольник А1В1С1, который получается из треугольника АВС поворотом вокруг точки О по часовой стрелке на 90о.

Так как симметрия в широком смысле означает неизменность свойств и формы материального объекта относительно его преобразований, то параллельный перенос и поворот также относят к видам симметрии – переносная и поворотная симметрия.

8. Д/з, вопр 1-9 стр 303 № 000

Решите задание 9-13 и разберите задания 24-26

За​да​ние 9 Пло​щадь ромба равна 27, а пе​ри​метр равен 36. Най​ди​те вы​со​ту ромба.

За​да​ние 10 В окруж​но​сти с цен​тром в точке О про​ве​де​ны диа​мет​ры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най​ди​те ве​ли​чи​ну угла OAB.

За​да​ние 11 Най​ди​те пло​щадь квад​ра​та, если его диа​го​наль равна 3.

За​да​ние 12 Из квад​ра​та вы​ре​за​ли пря​мо​уголь​ник (см. ри​су​нок). Най​ди​те пло​щадь по​лу​чив​шей​ся фи​гу​ры.

За​да​ние 13 Ука​жи​те но​ме​ра вер​ных утвер​жде​ний.

1) Если при пе​ре​се​че​нии двух пря​мых тре​тьей пря​мой со​от​вет​ствен​ные углы равны 37°, то эти две пря​мые па​рал​лель​ны.

2) Через любые три точки про​хо​дит не более одной пря​мой.

3) Сумма вер​ти​каль​ных углов равна 180°.

Задание 24

Пря​мая AD, пер​пен​ди​ку​ляр​ная ме​ди​а​не ВМ тре​уголь​ни​ка АВС, делит угол ВАС по​по​лам. Най​ди​те сто​ро​ну АС, если сто​ро​на АВ равна 3.

Задание 25

Через точку O пе​ре​се​че​ния диа​го​на​лей па​рал​ле​ло​грам​ма ABCD про​ве​де​на пря​мая, пе​ре​се​ка​ю​щая сто​ро​ны AB и CD в точ​ках P и T со​от​вет​ствен​но. До​ка​жи​те, что BP = DT.

9.02.

Тема: «Понятие движения»

Цели: Обучающая: Закрепить знания по осевой и центральной симметрии. Установить что такое параллельный перенос. Учиться выполнять параллельный перенос и применять его при решении задач.

Развивающая: Развивать логическое мышление, умение доказательно развивать свою мысль и умение делать выводы.

Воспитывающая: Формирование умения работать в коллективе. Воспитание умения делать собственный выбор. Воспитание любви к природе и гордости за Родину.

Изучение нового материала

Отображение плоскости на себя.

Выполняются следующие условия:

•​ Каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка этой же плоскости.

•​ Каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке этой же плоскости.

Движение – отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние.

Осевая и центральная симметрия – движения.

При движении:

•​ отрезок отображается на равный ему отрезок

•​ треугольник отображается на равный ему треугольник

•​ угол отображается на равный ему угол

•​ луч отображается на луч

•​ прямая отображается на прямую

любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точку А1, при этом отрезок АА1 ┴ l и АК=КА1, называется осевой симметрией или симметрией относительно прямой.

Докажем, что осевая симметрия – движение.

Доказательство.

В ДВАВ1 отрезок АК – медиана и высота, значит ДВАВ1 – равнобедренный → АВ = А1В1, ч. т.д.

В частности, если при осевой симметрии относительно прямой l фигура Р переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

Симметричны снежинки, кристаллы, листья, цветы.

Симметричны животные, рыбы, птицы, насекомые.

Симметрично человеческое тело.

Закрепление нового материала

1. Отметьте точки К и М. Постройте точку К1, симметричную точке К относительно точки М.

2. Начертите прямую а и точку В вне ее. Постройте точку В1, симметричную точке В относительно прямой а.

3. Закончите предложение: «Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется движением, если оно...».

4. Треугольники АВС и МКР симметричны относительно некоторой точки. Стороны ДАВС равны 6 см, 4 см и 7 см. Найти периметр Д МКР.

5. Два ромба симметричны друг другу относительно некоторой прямой. У первого ромба имеется прямой угол. Будет ли второй ромб квадратом?

6. В какую фигуру переходит при движении отрезок длиной в 9 см?

Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние называется параллельным переносом. Чтобы задать параллельный перенос, достаточно задать некоторый вектор.

Для параллельного переноса имеют место следующие свойства:

1) отрезок переходит в равный ему отрезок;

2) угол переходит в равный ему угол;

3) окружность переходит в равную ей окружность;

4) любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник;

5) параллельные прямые переходят в параллельные прямые;

6) перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.

Построить образы отрезка, треугольника и четырехугольника при параллельном переносе.

Практическая работа:

Начертите отрезок АВ и вектор a. Постройте отрезок А1В1, который получится из АВ параллельным переносом на вектор a.

Начертите пятиугольник AВCDE и вектор a. Постройте пятиугольник A1B1C1D1E1, который получится из AВCDE параллельным переносом на вектор a.

Начертите ДАВК и вектор a. Постройте ДА1В1К1, который получится из ДАВК параллельным переносом на вектор a.

Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние называется параллельным переносом.

Чтобы задать параллельный перенос, достаточно задать некоторый вектор.

Дом. задание

№ 1.Построить поворот отрезка АВ на угол в 1200 относительно точки О против часовой стрелки.

№2. а). Построить поворот на 900 треугольника вокруг его вершины.

б). Построить поворот на 900 треугольника вокруг точки О, лежащей в его внутренней области.