Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом   называется выражение вида

,  (1.1)

где  – действительная часть комплексного числа,

  – мнимая часть комплексного числа,

  – мнимая единица (),

  .

Комплексные числа можно изобразить на плоскости в виде точек  . Такая плоскость условно называется  комплексной плоскостью, хотя все точки на ней имеют вещественные координаты.

В комплексной плоскости:

ось  ОХ  называется действительной осью,

ось  ОУ  называется мнимой осью.

Между точками на комплексной плоскости и комплексными числами существует взаимно-однозначное соответствие.

Комплексное число    в комплексной плоскости можно представить в виде вектора, начало которого в начале координат, а конец – в точке  .

(рис.1)

Рисунок 1

На комплексной плоскости используется полярная система координат:

– модуль комплексного числа  (1.2)

– аргумент комплексного числа

  (1.3)

  (1.4)

                  (1.5)

Величина  – многозначна и определена лишь с точностью до числа, кратного  . В качестве  главного значения    обычно выбирают значение        .

Числу    может быть приписан любой аргумент.

Из алгебраической формы комплексного числа  (1.1)  с помощью  (1.3)  и  (1.4)  получим тригонометрическую форму комплексного числа

.  (1.6)

C помощью формулы Эйлера

можно перейти от тригонометрической формы комплексного числа к показательной:

.

Два комплексных числа    и    равны тогда и только тогда, если равны их действительные и мнимые части:

Знаками неравенства комплексные числа соединять нельзя, то есть неравенство

не существует.

Два комплексных числа    и    называются  взаимно сопряженными:

.

Сложение (вычитание) и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом, что

.

Модуль разности двух комплексных чисел    и    равен расстоянию между точками, изображающими эти комплексные числа.

Пусть  ,  ,

тогда совокупность точек  ,  удовлетворяющих уравнению

,

образует окружность с центром в точке    радиуса  .

Геометрическое место точек, удовлетворяющих неравенству вида

,

образует множество точек комплексной плоскости, лежащих внутри этой окружности, а неравенству

соответствует множество точек комплексной плоскости, лежащих вне этой окружности.

В результате умножения комплексных чисел    и    получим комплексное число:

,

.

Частное двух комплексных чисел    и    определяется как действие, обратное умножению:

Если воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа  или показательной

,

,

то получим

.

Таким образом,

                       

Иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Из правила умножения комплексных чисел следует правило возведения в целую положительную степень:

.

Пользуясь правилом деления, нетрудно проверить, что эта формула остается справедливой и при целом отрицательном  .

Выражение

называется  формулой Муавра  по имени английского математика А. Муавра  (1667-1754).

Формулу Муавра можно применить для выражения тригонометрических функций кратных углов, например:

Корнем степени    из комплексного числа

называется комплексное число

такое, что

Итак, имеем

,

,

то есть

  (1.7)

где