Комплексные числа

Введение

Понятие о комплексных числах появилось в середине 16 в. в связи

с попытками математиков того времени получить формулу, выражаю-

щую корни кубического уравнения через его коэффициенты.

В 1545 г. Была издана книга<Великое искусство, или об алгебраиче-

ских преобразованиях>, в которой Дж. Кардано (1501—1576)опубликовал

формулу для корней кубического уравнения, открытую его современ-

никами С. дель Ферро (1465—1526) и Н. Тартальей (1500—1557).

Обнаружилось, что в случае, когда кубическое уравнение имеет три

действительных корня, в формуле Кардано появляются квадратные

корни из отрицательного числа. Квадратные корни из отрицательных

чисел назвали мнимыми числами. В <Алгебре> итальянского математи-

каР. Бомбелли в 1579 г. было показано, что вычисление выражений,

содержащих квадратные корни из отрицательных чисел, по определён-

ным правилам позволяет получать достоверные результаты. Мнимые

числа стали широко использовать при решении уравнений.

На рубеже 18 и 19 вв. подробно исследовал мнимые

числа. Назвав их комплексными числами, он дал им геометрическую

интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую,

что каждый многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет

хотя бы один корень, действительный или комплексный (1799).

В настоящее время комплексные числа широко используются в

математике, физике и технике; их применение часто упрощает решение

самых разных задач.

Многие математические и физические величины описываются с помощью упорядоченных наборов чисел. Простейшими примерами могут служить векторы или матрицы. К числу такого рода понятий относятся и комплексные числа, которые определяются как упорядоченные пары (x, y) вещественных чисел x и y, удовлетворяющие заданным правилам действий над ними.
Комплексные числа записываются в виде , а правила алгебраических преобразований выражений такого рода совпадают с обычными правилами действий над вещественными числами. Все выглядит так, как будто множество вещественных чисел дополнено числом нового типа, называемого мнимой единицей i, которую можно воспринимать как некий символ, но каждый раз, когда возникает число , его следует заменять на (–1).
Комплексные числа вида представляют собой обычные вещественные числа. Например, комплексное число есть вещественное число 5.
Примеры

Стремление к расширению класса вещественных чисел посредством добавления чисел нового типа диктовалось соображениями различного рода. Возможно, что основоположники математики не могли смириться с тем обстоятельством, что алгебраическое уравнение не имеет решений (в классе вещественных чисел). Подобного рода проблема, относящаяся к уравнению в свое время дала толчок к развитию множества иррациональных чисел. Поэтому введение числа i, квадрат которого равен (–1), явилось логическим шагом на пути обобщения множества вещественных чисел.
Однако значение комплексных чисел в современном естествознании выходит далеко за рамки проблемы решений простейших уравнений. Не вдаваясь в детали, приведем несколько примеров, иллюстрирующих исключительно важную роль комплексных чисел в математике и физике.

Основная теорема алгебры устанавливает, что любой многочлен степени n с вещественными коэффициентами имеет ровно n корней (в общем случае – комплексных). Нахождение этих корней является одним из элементов алгоритма решения некоторых типов дифференциальных уравнений.
Комплексные числа позволяют установить взаимосвязь между тригонометрическими функциями и показательной функцией с комплексным показателем степени. В результате оказывается, что каждую тригонометрическую функцию можно выразить через линейную комбинацию показательных функций, а обратные тригонометрические функции выражаются через обратную показательную функцию (логарифм). Вычисление многих интегралов, относящихся к разряду "неберущихся" (в смысле нахождения первообразных в классе элементарных функций), превращается в почти тривиальную проблему при использовании аппарата теории функций комплексной переменной.
Комплексные числа лежат в основе математического аппарата квантовой физики. Например, ключевое уравнение квантовой механики – уравнение Шрёдингера – содержит мнимую единицу. Решения этого уравнения также включают в себя число i. Однако конечные формулы для расчета наблюдаемых физических характеристик уже не содержат комплексных чисел. Мнимая единица сделала свое дело и скромно удалилась!

5. Приведем цитаты из книги и "Методы теории функций комплексного переменного".
"Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного, включая логарифм, показательную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции (1740—1749), даны условия дифференцируемости (1755) и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного (1777). Леонард Эйлер привел также многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам и положил начало применению их в гидродинамике (1755— 1757) и картографии (1777).
После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789— 1857) и Карлу Вейерштрассу (1815—1897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Риману (1826—1866), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения".
"Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. Кардано, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)".

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Из теории вещественных чисел известно, что между точками числовой оси и множеством вещественных чисел x существует взаимно-однозначное соответствие: каждой точке числовой оси соответствует единственное вещественное число x, и обратно – каждому вещественному числу x соответствует единственная точка числовой оси.

Рис. 1. Числовая ось.

Для описания положения произвольной точки P плоскости x0y необходимо задать два вещественных числа, например, декартовы координаты (x, y) точки. Каждую такую пару чисел можно рассматривать как число нового типа, называемое комплексным числом, совокупность которых образует множество комплексных чисел.
Комплексные числа записываются в виде

где x и y – вещественные числа; i называется мнимой единицей и определяется как число, квадрат которого равен –1:

Таким образом, комплексное число представляет собой упорядоченную пару (x, y) вещественных чисел, которые можно рассматривать как координаты точки в плоскости x0y. В таком контексте плоскость x0y называют комплексной плоскостью, а числа x и y – соответственно вещественной частью и мнимой частью комплексного числа z:

Множество комплексных чисел включает в себя в качестве подмножества совокупность вещественных чисел. Любое вещественное число x можно интерпретировать как комплексное число, мнимая часть которого равна нулю:

Числа вида z = iy, вещественные части которых равны нулю, называются чисто мнимыми.
Между множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости существует взаимно-однозначное соответствие, а именно: каждому комплексному числу соответствует единственная точка P плоскости x0y и обратно – каждой точке P(x, y) комплексной плоскости соответствует единственное комплексное число . Вещественным числа соответствуют точки оси 0x, тогда как чисто мнимым числам соответствуют точки на оси 0y. Поэтому ось 0x называют вещественной осью, тогда как ось 0y – мнимой осью.

Рис. 2. Комплексная плоскость.

Для изображения комплексного числа z можно также использовать вектор с началом в точке 0 и концом в точке z.

Рис. 3. Векторное представление комплексного числа z.

Абсолютная величина комплексного числа обозначается символом |z| и определяется формулой

Другое название абсолютной величины комплексного числа – модуль комплексного числа. С геометрической точки зрения абсолютная величина |z| равна расстоянию от точки z комплексной плоскости до нулевой точки.
Число называется комплексно сопряженным числу .

Два комплексных числа и равны между собой, если попарно равны их вещественные и мнимые части:

Сумма комплексных чисел и есть комплексное число такое, что

Комплексные числа обладают теми же свойствами сложения, что и вещественные числа:

С геометрической точки зрения комплексные числа складываются и вычитаются по правилам сложения векторов:

Рис. 4. Сложение и вычитание комплексных чисел.

Чтобы перемножить комплексные числа и , нужно раскрыть скобки и заменить на (–1):

Комплексные числа обладают теми же свойствами умножения, что и вещественные числа:

Операция комплексного сопряжения обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

Равенства

означают, что

Отметим, что для любого комплексного числа z произведение является неотрицательным вещественным числом:

Иначе говоря, квадрат суммы двух вещественных чисел можно разложить на линейные комплексные множители:

Деление на комплексное число z сводится к умножению на комплексно сопряженное число и делению на вещественное число :

Пример 1. Заданы комплексные числа , .

Найти , , .

Решение. ;

;

. ☻

Пример 2. Найти , .

Решение. ; .

,

Пример 3. Перемножить числа и .

Решение.

☻

Пример 4. Найти частное , если .

Решение.

. ☻

Пример 5. Вычислить а) , б) .

Решение. а) .

б)

Пример 6. Найти модули и аргументы, а также главные значения аргументов комплексных чисел . Записать каждое из них в тригонометрической форме.

Решение. Модули всех этих чисел одинаковы:

.

Аргумент каждого числа находим, учитывая четверть, в которой лежит соответствующая точка.

1) Точка лежит в первой четверти, значит,

.

В тригонометрической форме , здесь учтена - периодичность косинуса и синуса.

2) Точка лежит во второй четверти, значит,

,

.

3) Точка лежит в третьей четверти, значит,

,

.

.

4) Точка лежит в четвертой четверти, значит,

,

.

. ☻