Фрагмент урока на тему: «Понятие синус, косинус, тангенс, котангенс угла радиан».

Таблица 3.

Фрагмент урока.

Деятельность учителя

Записи на доске

Деятельность учащихся

Из геометрии вам известны такие понятия как синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Дайте определение этих понятий.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Верно. Нам с вами нужно выяснить, как определять эти понятия в тригонометрии. Для этого изобразим единичную окружность, на ней отметим точку , соответствующую углу радиан. Как нам определить, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла радиан? Помогут ли нам при этом определения этих понятий известные из курса геометрии?

Если мы рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник АОС, то . Так как это единичная окружность, значит, ее радиус равен единице, тогда .  То есть синусом угла радиан называется ордината точки конца подвижного радиуса повернутого на угол радиан. Из . То есть косинусом угла радиан называется абсцисса точки конца подвижного радиуса повернутого на угол радиан.

Продолжение табл.3.

Тогда тангенсом угла радиан называется отношение ординаты к абсциссе точки конца подвижного радиуса повернутого на угол радиан.

Котангенсом угла радиан называется отношение абсциссы к ординате точки конца подвижного радиуса повернутого на угол радиан.

Вы совершенно правы. В тригонометрии под мы будем понимать именно это: ординату, абсциссу, отношение ординаты к абсциссе, отношение абсциссы к ординате точки конца подвижного радиуса.

Можно, это ведь числа. Если на единичной окружности отметь точку, соответствующую углу , то у этой точки можно сравнить ординату и абсциссу, а значит, .

А как вы думаете, можно ли в тригонометрии сравнивать ? Чем являются значения этих понятий?

Так же можно сравнить синус и тангенс угла, то есть ординату точки, соответствующей углу, и отношение ординаты к абсциссе данной точки. Сравнивать можно и функции разных углов, для этого необходимо отметь на единичной окружности соответствующие углы, а затем сравнить необходимые числа (ординаты, абсциссы или отношение ординаты к абсциссе). 

Продемонстрируйте свою идею на примере. Сравните ,  .

       

Сравним

На единичной окружности отметим точки, соответствующие углам
и . Так как - это ордината точки, то . И так как - это абсцисса точки, то

Продолжение табл.3.

что известно нам из геометрии.

Для того, чтобы сказать что больше , нужно сравнить . , значит .

Теперь сравним

На единичной окружности отметим точки, соответствующие углам
и . Так как - это ордината точки, то проведем из отмеченных на окружности точек проекции на ось .

Для того, чтобы сравнить , нужно сравнить , то есть проекции точек, соответствующих углам и .

Так как по построению , то .

Верно. Значит, ваше предположение было верным, и сравнивать числа равные действительно можно и именно таким способом, который вы открыли.

А какие значения будут иметь синус, косинус, тангенс и котангенс в четвертях единичной окружности?

Так синус  это ордината точки, значит, синус угла будет иметь положительные значения в первой и второй четвертях окружности, а в третье и четвертой -  принимает отрицательные значения.

Продолжение табл.3.

Косинус угла – это абсцисса точки, соответствующей углу, значит, положительные значения косинус принимает в первой и четвертой четвертях окружности, а отрицательные значения – во второй и третьей четвертях. Так как тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе, а котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате, то знаки у них буду совпадать.

А именно, в первой и третьей четвертях они тангенс и котангенс угла будут принимать положительные значения, так как в этих четвертях ордината и абсцисса имеют одинаковый знак. Отрицательные значения тангенс и котангенс угла будут приминать во второй и в четвертой четвертях окружности, так как в этих четвертях ордината и абсцисса имеют разные знаки.