Задача на отношение объёмов частей тетраэдра,
на которые его делит секущая плоскость.
Рассмотрим решение задачи на отношение объёмов частей тетраэдра, на которые его делит
секущая плоскость, с применением стереометрической теоремы Менелая.
Задача. В правильном тетраэдре SABC с ребром 10 м через точки M и N – середины рёбер АВ и SB, и точку Р, лежащую на ребре АС, проведена плоскость.
Найти площадь сечения и отношение объёмов частей данного тетраэдра, на которые его делит секущая плоскость, если PA=3CP.
Решение:
S
N
K
P
A C
M
B
1) Найдём в каком отношении точка К делит ребро SC, используя теорему стереометрическую теорему Менелая. Согласно этой теореме верно равенство:
.
2) Разобьём многогранник NMBCPK на три треугольные пирамиды NMPB, NPBC и NPKC.
Тогда VNMBCPK=VNMPB+VNPBC+VNPKC.
Выразим теперь объёмы полученных трёх пирамид через величину V, где V - объём исходной пирамиды SABC.
3) Найдём VNMPB. Обозначим S
АВС=S и HS=H (длина высоты пирамиды SABC, опущенная из вершины S на основание ABC).
VNMPB= 
⋅S
МРВ⋅HN.
Т. к. М – середина отрезка АВ, то S
МРВ = S
АРМ
S
АРМ= 
⋅S
АВС= 
S. Значит, S
МРВ= 
S.
Выразим высоту HN через H.
S
N
A C
O O1
B
По первому признаку подобия 
SBO подобен 
NBO1 
.
Т. к. 
S⋅H=V, то VNMPB= 
S
H=
4) Найдём VNРВС.
VNРВС=
⋅ S
ВРС ⋅НN
Т. к. S
ВРС=S - 2⋅
S=
S и HN=
, то VNPBC=
=
.
5) Найдём VNPKC.
Проведём высоту из точки В на грань АSС и обозначим её через H1. Высоту из точки N на грань ASC обозначим Н2. Выразим Н2 через Н1. Для удобства поставим пирамиду на грань ASC.
В
N
С А
O2 O3
S
BSO2 подобен 
NSO3
VNPKC= 
⋅S
РКС⋅Н2
S
РКС =
=
VNPKC=
=
(т. к. 
⋅H1=V)
6) Итак, VNMBCPK =
+
+
=
.
Тогда легко найти VSAMNKP:
VSAMNKP=V - VNMBCPK =
.
Найдём теперь отношение объёмов частей данного тетраэдра, на которые его делит MNKP:
VSAMNKP ꞉ VNMBCPK=21꞉11
7) Вычислим Sсеч. MNKP.
1. Т. к. М – середина ребра АВ и N – середина ребра SB, то MN – средняя линия 
ASB.
Значит, MN=5 и MN||AS.
Из того, что MN||AS следует параллельность прямой MN и плоскости ASС (по признаку параллельности прямой и плоскости). А значит, MN||PK, т. к. PK лежит в плоскости ASС.
Тогда т. к. MN||PK и PM || KN, то четырехугольник MNKP –трапеция (по определению трапеции).
2. Т. к. по условию АР:РС=3:1 и по доказанному SK:KC=3:1, то 
SCA подобен 
KCP
KP: SA =CK:CS 
KP: SA =1:4.
Значит, КР=
=
.
3. 
NKS=
MPA (по I признаку) 
NK=MP.
Значит, четырехугольник MNKP – равнобокая трапеция.
4. Т. к. SN=
=5; SК=
=
=
; 
NSK=600, то по теореме косинусов из 
NSK найдём длину отрезка NK: 
;
.
E
M N
P K
5. В трапеции MNKP проведём отрезок KE
NM.
Т. к. MNKP – равнобокая трапеция, то NE=
.
Из 
NKE: КЕ=
.
Sсеч. MNKP=
Ответ: Sсеч. MNKP=
; VSAMNKP ꞉ VNMBCPK=21꞉11.
