10. Комбинированный метод хорд и касательных для нахождении корней.
Методы хорд и метод касательных дают приближения к корню с разных сторон. Совместное использование методов позволяет на каждой итерации находить приближенные значения с недостатком и с избытком, что ускоряет процесс сходимости.

Идея метода хорд состоит в том чтобы заменить функцию на отрезке хордой, а идея метода касательных или метода Ньютона является замена дуги кривой функции ее касательной. Стоит отметить, что начальное приближение метода хорд определяется тот конец промежутка для которого производная в данной точке умноженная на двойную производную этой же точки меньше нуля, а для метода касательных больше нуля. Процесс сужения так же производится до указанной точности. К плюсам, как уже отмечалось относится быстрота нахождения и меньшая затратность на приведенные итерации.

Пример:

F(х) = Зх - cos х - 1 = 0 на отрезке [0; 1] с точностью e = 10-4

Так как F(х) непрерывная функция, a F’(x) = 3 +sin х > 0, х О R; F(0) = -2 < 0 и F(1) = 2 - cos1 > 0, то на отрезке [0; 1] имеется единственный корень уравнения. Вторая производная

F”(x) = cos х> 0, х О [0; 1].

Условие F(х)•F”(x) > 0 выполняется в точке х = 1, то есть F(1)•F(2) > 0. Следовательно, уточнение корня выполняем по формулам:

Вычисления на ЭВМ оформляем в табл. 8, в которую введены промежуточные графы, облегчающие вычисление значений функции и производной.

Таблица 8 Расчетная таблица метода хорд и касательных

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Xn

F(xn)

xn - F(xn)

n

(9):(8)

(3) –(6): (7)

(3) - (2)

3*(2) - соs(2) – 1

3*(3) – cos(3) - 1

3 + sin(3)

(6) - (5)

(6)*(2)- (5)*(3)

-2

1,459697

3,841471

3,459697

0,5780853

0,6200162

0,0419309

-0,1032551

0,0461796

3,581048

0,1494401

0,0907188

0,6070577

0,6071207

0,0000630

xср=0.5 (- x2) = 0,607089

О точности полученных приближений (x2, , xcp) можно судить по невязке:

F(x2) = F(0,6070577) = - 0,0001569,

F() = F(0,6071207) = 0,0000681,

F(xcp) = F(0,6071) = 0,000006.

11. Метод простых итераций для нахождения корней.

Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичный метод итерации.

Идея метода

Идея метода простой итерации состоит в том, чтобы уравнение привести к эквивалентному уравнению

,

так, чтобы отображение было сжимающим. Если это удаётся, то последовательность итераций сходится. Такое преобразование можно делать разными способами. В частности, сохраняет корни уравнение вида

если на исследуемом отрезке. Оптимальным выбором является , что приводит к методу Ньютона, который является быстрым, но требует вычисления производной. Если в качестве выбрать константу того же знака, что и производная в окрестности корня, то мы получаем простейший метод итерации.

Описание

В качестве функции берут некоторую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в некоторой окрестности корня (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная обычно не зависит и от номера шага. Иногда берут и называют этот метод методом одной касательной. Формула итераций оказывается предельно простой:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .

Эта формула, а также требование совпадения знаков и легко выводятся из геометрических соображений. Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет

Иллюстрация последовательных приближений метода простой итерации.

Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения

откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся прямые с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .

На чертеже справа изображены итерации при в случае и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге «перепрыгивает» по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.

Условие сходимости

Достаточное условие сходимости таково:

Это неравенство может быть переписано в виде

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

так как (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимости к корню может не быть.

12. Вид шаров радиуса R на плоскости в L1, L2 и L∞ .

Шар радиуса r в нормированном пространстве.

L2        L1 и L2 не задается скалярным произведением,

       Так как не дифференцируются.

       2=1

       w(2,1)={|б|+|y|-1}

L∞

               W(2,∞)={|x|,|y|<2}