Задания

7475. Найти период малых колебаний системы, состоящей из жесткой невесомой штанги, верхний конец которой закреплен на шарнире, и двух грузов малых размеров массами m=1 кг и M= 2 кг, закрепленных на штанге на расстояниях r =0,5 м и R=1 м от шарнира. Трением пренебречь, g = 10 м/c2.

Дано: m=1 кг; M= 2 кг; r =0,5 м; R=1 м; g = 10 м/c2.

Найти: T=?

Решение. Применим для решения этой задачи следующий прием. Представим себе, что изображенный на рисунке маятник вывели из положения равновесия, сообщив ему некоторую суммарную энергию E0 так, что в результате начались колебания системы с малой амплитудой. Пусть в некоторый момент времени нижний груз оказался смещенным из положения равновесия на малую величину х и двигался в этот момент со скоростью v. Тогда угол, который составляет в этот момент штанга с вертикалью, равен б = x/R. При этом смещение верхнего груза из положения равновесия равно

а его скорость равна

Кинетическая энергия маятника в рассматриваемый момент времени равна сумме кинетических энергий нижнего и верхнего грузов:

Потенциальная энергия системы в этот момент складывается из потенциальных энергий взаимодействия грузов с Землей:

При записи этого выражения мы считали, что U= 0 в положении равновесия системы. Так как угол отклонения штанги от вертикали мал (б<<1 рад), то для вычисления косинуса можно воспользоваться приближенной формулой:

Тогда

Так как по условию задачи трения нет, то полная механическая энергия системы сохраняется:

Продифференцируем это уравнение по времени t, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции. Поскольку

Полученное уравнение можно переписать в виде:

В результате получилось уравнение гармонических колебаний

с круговой частотой

Следовательно, искомый период малых колебаний данной механической системы равен

Ответ.