Алтайский государственный технический университет
им.
Контрольная работа
по «Сопротивлению материалов»
Вариант 015
Выполнил: студент группы 4ЭТМ(с)-62
Проверил: к. т.н., доцент
г. Барнаул
2017 г.
Задача 1.1. Расчет стержня
Условие задачи:
Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1…l3, и площадью А1…А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF. Материал стрежня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.
Исходные данные:
Таблица 1.1
l1 м | l2 м | l3 м | А1 см2 | А2 см2 | А3 см2 | F кН | lF | Расположение опоры |
1,1 | 0,7 | 1,1 | 40 | 10 | 15 | 70 | l1+ l2 | Вверху |
Справочная информация:
Удельный вес стали Ст.3: г = (77…79)Ч103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч1011 Н/м2.
Указания:
Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки qi = гЧАi.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.
Решение:
1. В соответствии с исходными данными вычерчиваем схему бруса (рис. 1.1).
2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с III-го силового участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).
Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:
2.1. Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом зависимость величины продольной силы N от координаты z3 будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А3 и плотность стали г остается неизменной по всему участку. Продольная сила и нормальное напряжение на участке будут иметь положительное значение, стержень на участке испытывает растяжение.
Уравнение для продольной силы на участке:
N3 = q3Чz3 = гЧА3Чz3,
где q3 – вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения силового участка III (м2);
г – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 - г = 78Ч103 Н/м3).
Тогда в сечении 3-3 (крайнее нижнее сечение бруса) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:
N3 = q3Чz3 = l3Ч гЧА3 = 1,1Ч78Ч103Ч15Ч10-4 = 128,7 Н ≈ 0,13 кН.
2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:
у3 = N3/А3.
Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:
у3 = N3/А3 = 128,7/15Ч10-4 = 85800,0 Па или у3 ≈ 0,085 МПа.
2.3. Поскольку продольная сила N3, действующая на участке, является растягивающей, здесь имеет место удлинение бруса. Удлинение бруса на участке III определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:
∆l3 = ∫[N3/(EЧA3)]dz,
где Е – модуль продольной упругости стали: Е = 2Ч1011 Н/м2.
Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:
∆l3 = ∫[N3/(EЧA3)]dz = ∫[(А3ЧгЧz3)/(ЕЧА3)]dz = (гЧl32)/2E =
= (78Ч103Ч1,12)/(2Ч2Ч1011) = 0,000000236 м или ∆l3 ≈ 0,000236 мм.
3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II приложены продольные силы F (сосредоточенная сила) и N3 (вес силового участка III бруса). Обе силы по отношению к силовому участку II являются растягивающими, т. е. условно положительными.
3.1. Продольная сила на участке II будет равна:
В начале участка II (сечение на границе с сечением III):
N21 = N3 + F= 127,8 + 70000 = 70128 Н ≈ 70,13 кН.
В конце участка II (сечение на границе с участком I):
N22 = N21+q2Чz2 =N21+ (l2Ч гЧА2) =70128+ (0,7Ч78Ч103Ч10Ч10-4) = 70182 Н ≈ 70,18 кН.
3.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:
В начале участка II (сечение на границе с сечением III):
у21 = N12 /А2 = 70128/10Ч10-4 = 70 128 000 Па ≈ 70,13 МПа.
В конце участка II (сечение на границе с участком I):
у22 = N22/А2 = 70182/10Ч10-4 = 70 182 000 Па ≈ 70,18 МПа.
3.3. Удлинение стержня на силовом участке II:
∆l2 = (гЧl22)/2E + (N21Чl2/EA2) =
= (78Ч103Ч0,72)/(2Ч2Ч1011) + (70128Ч0,7) / (2Ч1011Ч10Ч10-4) ≈ 0,000246 м
или ∆l2 ≈ 0,246 мм.
4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I, учитывая, что к сечению 1-1 участка I (крайнему нижнему) приложена растягивающая продольная сила N22, равная сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенной силы F.
4.1. Продольная сила на участке I будет равна:
В начале участка I (сечение 1-1):
N11 = N22 = 70182 Н ≈ 70,18 кН.
В конце участка I (сечение 0-0):
N12 = N11+ q1Чz1 = N11+ (l1ЧгЧА1) = 70182 + (1,1Ч78Ч103Ч40Ч10-4) = 70525 Н ≈ 70,53 кН.
4.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:
В начале участка I (сечение 1-1):
у11 = N11 /А1 = 70182 / 40Ч10-4 = 17 545 500 Па ≈ 17,55 МПа.
В конце участка I (сечение 0-0):
у12 = N12/А1 = 70525 / 40Ч10-4 = 17 631 300 Па ≈ 17,63 МПа.
4.3. Удлинение стержня на силовом участке I:
∆l1 = (гЧl12)/2E + (N11Чl1/EЧA1) =
= (78Ч103Ч1,12)/(2Ч2Ч1011) + (70182Ч1,1) / (2Ч1011Ч40Ч10-4) ≈ 0,0000967 м
или ∆l1 ≈ 0,0967 мм.
5. Определяем перемещения сечений стержня:
д0-0 = 0 мм;
д1-1 = ∆l1 = 0,0967 мм;
д2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,0967 + 0,246 ≈ 0,3427 мм;
д3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,0967 + 0,246 + 0,000236 ≈ 0,343 мм.
Очевидно, что силовые участки I и II растянуты значительнее участка III, поскольку удлинение в них имеет место, преимущественно, под действием сосредоточенной силы F.
6. Результаты расчетов сводим в Таблицу 1.2, и строим эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д (см. рис. 1.1, а).
Таблица 1.2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.
Участок | Границы участка | Продольная сила, N, кН | Нормальное напряжение, у, МПа | Перемещение д, мм |
III | начало | 0 | 0 | 0,343 |
конец | 0,13 | 0,085 | 0,3427 | |
II | начало | 70,13 | 70,13 | 0,3427 |
конец | 70,18 | 70,18 | 0,0967 | |
I | начало | 70,18 | 17,55 | 0,0967 |
конец | 70,53 | 17,63 | 0 |
***
Задача 2.1. Расчет вала
Условие задачи:
К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 2.1).
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов Мкр, подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений фmax, построить эпюру углов закручивания ц вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.
Исходные данные :
Таблица 2.1
Нагрузки, кНм | Длина участков, м | ||||||
М1 | М2 | М3 | М4 | l1 | l2 | l3 | l4 |
3,7 | - 2,6 | 3,2 | - 2,0 | 1,2 | 0,5 | 1,2 | 0,4 |
Указания:
Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными (рис. 2.1).
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.
Решение:
1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.
МIV = М1 = 3,7 (кНм);
МIII = М1 + М2 = 3,7 - 2,6 = 1,1 (кНм);
МII = М1 + М2 + М3 = 3,7 - 2,6 + 3,2 = 4,3 (кНм);
МI = М1 + М2 + М3 + М4 = 3,7 - 2,6 + 3,2 – 2,0 = 2,3 (кНм).
2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления. Расчет осуществляем для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка III:
WР ≥ Мкрmax/[ф] .
Так как для круглого сечения полярный момент равен: WР = рD3/16, то можно записать:
D ≥ 3√(16Мкрmax /р[ф])≥ 3√[(16Ч4,3Ч103)/(3,14Ч100Ч106)] ≥ 0,06028 м или D ≥ 60,28 мм.
В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, с учетом условия прочности принимаем диаметр вала D = 63 мм (2-й размерный ряд номинальных диаметров).
3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:
ц = МкрЧl/GЧIP,
где G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч1010 Па;
IP – полярный момент инерции (для круглого сечения IP = рD4/32 ≈ 0,1D4, м4.
Произведение GЧIP = 8Ч1010Ч0,1Ч0,0634 ≈ 126023 Нм2 – жесткость сечения данного вала при кручении.
Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:
цI = 3,7Ч103Ч1,2/126023 = 0,0352 рад;
цII = 1,1Ч103Ч0,5/126023 = 0,0044 рад;
цIII = 4,3Ч103Ч1,2/126023 = 0,0409 рад;
цIV = 2,3Ч103Ч0,4/126023 = 0,0073 рад.
4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):
ц0-0 = 0 рад;
ц1-1 = цI = 0,0352 рад;
ц2-2 = цI + цII = 0,0352 + 0,0044 = 0,0396 рад;
ц3-3 = цI + цII + цIII = 0,0352 + 0,0044 + 0,0409 = 0,0805 рад;
ц4-4 = цI + цII + цIII + цIV = 0,0352 + 0,0044 + 0,0409 + 0,0073 = 0,0878 рад.
5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:
фmax = Мкр/WP = 16Мкр/рD3 ≈ 5Мкр/D3.
фmaxIV = 5Ч3,7Ч103/0,0633 = 73 986 090 Па ≈ 74,0 МПа;
фmaxIII = 5Ч1,1Ч103/0,0633 = 21 995 864 Па ≈ 22,0 МПа;
фmaxII = 5Ч4,3Ч103/0,0633 = 85 983 835 Па ≈ 86,0 МПа;
фmaxI = 5Ч2,3Ч103/0,0633 = 45 991 353 Па ≈ 46,0 МПа.
6. Наибольший относительный угол закручивания Иmax определим по формуле:
Иmax = Мкр max/GЧIP = 4,3Ч103/126023 = 0,0341 рад/м.
7. Результаты расчетов сводим в таблицу 2.2 и строим эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений фmax и углов закручивания ц (см. рис.2.1, а).
Таблица 2.2
№ силового участка | Мкр, кНм | фmax, МПа | ц, рад |
I | 3,7 | 74,0 | 0 - 0,0352 |
II | 1,1 | 22,0 | 0,0352 - 0,0396 |
III | 4,3 | 86,0 | 0,0396 - 0,0805 |
IV | 2,3 | 46,0 | 0,0805 – 0,0878 |
***
Задача 4.1. Расчет балки
Условие задачи:
На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q. Материал стержня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность.
Исходные данные:
Таблица 4.1.1
Нагрузки | Координаты | а, м | Сечение | ||||||
М, кНм | F, кН | q, кН/м | zM | zF | zq | zB | |||
начало | конец | ||||||||
-8 | -7 | -4 | 4а | а | 1,5а | 3,5а | 4а | 2 | двутавр |
Указания:
Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения QY и MX остаются постоянными.
Длину каждого силового участка обозначаем через li.
Решение:
1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RA и RB. Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными.
Изначально принимаем реакции RА и RВ опор А и В направленными вверх.
Тогда получим:
∑МА = - FЧа - qЧ2aЧ2,5а - М + RBЧ4а = 0,
откуда находим реакцию RB:
RB = (FЧа +2,5qa2 - М)/4а = (7Ч2 + 2,5Ч2Ч4Ч4 + 8)/(4Ч2) = 12,75 кН.
∑МВ = - М + qЧ2аЧ1,5a + FЧ3а - RАЧ4а = 0,
откуда находим реакцию RА:
RА = (-М + 3qa2 + 3Fа)/4а = (-8 + 3Ч4Ч4 + 3Ч7Ч2)/4Ч2 = 10,25 кН.
Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:
∑FY = RA – F – qЧ2a + RB = 10,25 – 7 - (4Ч4) +12,75 = 0.
Проверка показала, что направление и величина опорных реакций определены правильно.
2. Используя метод сечений, составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого силового участка балки.
2.1. Участок I: 0 ≤ z1 ≤ 2 м.
QY1 = RA = 10,25 кН;
MX1 = - RAЧz1.
На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной по величине и направлению и равна реакции RA опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой прямую линию с ординатой у = 9 кН.
Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в его крайних точках:
Мх1Z1=0 = 0;
Мх1Z1=а = -10,25Ч2 = -20,5 кНм;
2.2. Участок II: 2 м ≤ z2 ≤ 3 м.
QY2 = RA – F = 10,25 – 7 = 3,25 кН – эпюра в крайнем левом сечении силового участка II (где приложена сила F) ступенчато уменьшает ординату и далее продолжается в виде горизонтальной прямой до конца участка;
Изгибающий момент на силовом участке II изменяется по линейной зависимости, поэтому для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов необходимо вычислить значение моментов в крайних сечениях участка:
МХ2 = – RAЧ (a+z2) + Fz2 .
В крайнем левом сечении участка II изгибающий момент равен моменту в крайнем правом сечении участка I.
МХZ2=0 = –20,5 кНм;
МХZ2=0,5а = –10,25Ч3 + 7Ч1 = –23,75 кНм;
2.3. Участок III: 3 м ≤ z3 ≤ 7 м.
QY3 = RA – F – qz3.
Сила на всем протяжении участка изменяется по линейной зависимости, поэтому для построения эпюры достаточно знать значение силы в крайних сечениях участка.
QY3z=0 = QY2 = 3,25 кН (как в последнем сечении второго участка);
QY3z=2a = QY2 – qЧ2a = 3,25 - 4Ч4 = –12,75 кН;
Поскольку внутренняя сила на участке поменяла знак, то изгибающий момент на этом участке имеет экстремальное значение в сечении с координатой zэкст. Определим эту координату.
QY3zэкст = QY2 – q zэкст = 0, откуда находим: zэкст = QY2 / q = 3,25/4 = 0,81 м.
Изгибающий момент на протяжении участка изменяется по криволинейной зависимости, при этом в точке zэкст = 0,5 м он имеет экстремальное значение.
МХ3 = – RA (1,5a+z3) + F(0,5а + z3) + qЧ z3Ч z3/2.
МХ3Z3=0 = –23,75 кНм (как в последнем сечении второго участка);
MX3Z3экст = – 39,1 +12,67 + 1,31 = –25,1 кНм.
МХ3Z3=2а = –71,75 + 35 + 16 = –20,75 кНм;
2.4. Участок IV: 7 м ≤ z4 ≤ 8 м.
QY4z=0 = QY3z=a = –12,75 кН = –RB – участок эпюры в виде горизонтальной прямой с ординатой, равной реакции опоры В.
Изгибающий момент на силовом участке IV изменяется по линейной зависимости, для построения эпюры на этом участке достаточно двух точек. При этом изгибающий момент в сечении Z4 = 0 будет равен моменту в крайнем правом сечении третьего участка: МХ4Z4=0=МХ3Z3=а=–20,75 кНм, а изгибающий момент в точке В равен приложенному моменту М с отрицательным знаком, т. е. МХ4Z4=0,5а= 8 кНм.
Этих данных достаточно для построения эпюры изгибающих моментов на участке IV.
3. По результатам расчетов строим эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов MX (рис. 4.1, а).
4. По эпюре МХ определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине):
MXmax = 25,1 кНм.
Размер сечения балки (по условию задания - № двутавра) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:
WX = MXmax/[у] = 25,1Ч103/160Ч106 =0,000156875 м3 ≈ 156,88 см3,
где [у] = 160Ч106 Па – предельное напряжение для стали Ст3.
По таблице сортаментов (ГОСТ 8239-89) выбираем двутавр № 20, у которого момент сопротивления WX = 184 см3 (ближайший по размеру двутавр № 18 имеет момент сопротивления WX = 143 см3, что недостаточно для соблюдения условия прочности).
***
Задача 4.3. Расчет статически неопределимой балки
Условие задачи:
На статически неопределимую балку, имеющую две опоры: жесткую заделку и шарнирно-подвижную опору, действуют внешние нагрузки: сила F и распределенная нагрузка q.
Требуется:
Определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и линейных перемещений.
Исходные данные:
Таблица 4.3.1
q | координаты | F | ZF | ZB | а | |
начальная Zq | конечная Zq | |||||
-20 кН/м | 0 | 2а | 10 кН | 1,5 а | 2а | 1,5 м |
Указания:
Вычертить схему балки в соответствии с исходными данными (рис. 4.3).
Жесткую заделку расположить на левом конце балки, там же выбрать начало координат.
Раскрытие статической неопределимости следует проводить методом сил, определение линейных перемещений – методом начальных параметров.
Решение:
1. Раскрытие статической неопределимости балки.
Данная балка является статически неопределимой один раз, поскольку опорных реакций у нее больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно, применить методы статики для определения неизвестных силовых факторов невозможно, так как одна опорная реакция является «лишней», и неизвестных силовых факторов на единицу больше, чем уравнений равновесия.
Для решения задачи используем способ Верещагина, отбросив «лишнюю» связь и заменив ее неизвестным усилием Х1 (см. рис. 4.3, а). За лишнюю связь можно принять любую опорную реакцию, кроме продольно действующей реакции HA, так как без нее балка не сможет сохранять равновесие.
Принимаем за лишнюю связь реактивный момент МА, составляем эквивалентную схему балки (рис. 4.3, а), и записываем каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы:
д11ЧХ1 + Д1Р = 0.
Поскольку в качестве лишней связи мы отбросили реактивный момент, данное каноническое уравнение является уравнением угла поворота балки в начале координат, т. е. в жесткой заделке.
Для вычисления коэффициентов канонического уравнения построим грузовую МF (от внешних нагрузок F и q) и единичную М1 (от усилия Х1= 1) эпюры изгибающих моментов, а затем перемножим их в соответствии со способом Верещагина (см. рис. 4.3, а).
По способу Верещагина произведение эпюр МFЧМ1 равно площади грузовой эпюры, умноженной на высоту единичной эпюры, взятой под центром тяжести грузовой эпюры. При этом обе линии эпюр не должны иметь точек перелома, и хотя бы одна из эпюр должна быть линейной. Для удобства расчетов расслаиваем грузовую эпюру на две составляющие - МF и Мq, построив их в виде отдельных графиков.
Знак изгибающего момента на эпюрах выбираем в соответствии с «правилом дождя» - если нагрузка изгибает балку дугой вверх – она условно считается отрицательной; нагрузка, изгибающая балку дугой вниз – условно положительная.
При сложении полученных сомножителей учитываем знак – если перемножаемая составляющая грузовой эпюры расположена по одну сторону с единичной эпюрой – произведение имеет положительный знак, в противном случае - отрицательный.
В соответствии со схемами на рисунке 4.3 коэффициенты канонического уравнения определяются по формулам:
д11 = 1/EIX ∫М1ЧМ1 dz = 1/EIX (1/2Ч1Ч2аЧ2/3Ч1) = 1/EIX;
∆1F = 1/EIX ∫МFЧМ1 dz = 1/EIXЧ[-(2/3Ч9/8Чqa2Ч2аЧ2/3) + (1/2ЧFЧ0,5аЧ1/4Ч1/3)] =
= 1/EIXЧ[-2/3Ч9/8Ч20Ч2,25Ч3Ч2/3 + 1/2Ч10Ч0,75Ч1/4Ч1/3] ≈ -66,25/EIX.
Подставим полученные значения в каноническое уравнение и найдем неизвестное усилие Х1:
Х1/EIX -66,25/EIX = 0, отсюда Х1 = 66,25 кНм.
Статическая неопределимость раскрыта. Поскольку значение усилия Х1 = МА получилось положительным, его направление совпадает с выбранным на схеме.
2. Определение реакций опор.
Используя уравнения статики, найдем опорные реакции балки:
∑FZ = HA = 0, откуда следует, что НА = 0;
∑МА = МА - RBЧ2а - qЧ2аЧ2а/2 + FЧ1,5а = -66,25 + 3RB – 90,0 +22,5 = 0,
откуда RB = (66,25 + 90,0 - 22,5)/3 ≈ 44,58 кН.
∑МВ = МА - RАЧ2а + qЧ2аЧ2а/2 - FЧ0,5а = -66,25 - 3RA + 90 – 7,5 = 0,
откуда RA = (-66,25 + 90 – 7,5)/3 ≈ 5,42 кН.
Поскольку реакции получились положительными, их направление на схеме выбрано верно.
В качестве проверки полученных результатов составляем уравнение равновесия сил, действующих на балку:
∑FY = RA - qЧ2a + RB + F = 5,42 – 60 + 44,58 +10 = 0.
Проверка показала, что условие равновесия балки соблюдается, значит, расчеты выполнены правильно.
3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Разобьем брус условно на силовые участки I и II (рис. 4.3, а), и определим нагрузки, действующие на границах этих участков.
3.1. Эпюра поперечных сил.
На первом участке в точке А приложена реактивная сила RA = 5,42 кН, и до границы с участком II действует распределенная нагрузка q = -20 кН/м, которая вызывает линейное изменение внутренней силы. Определим внутренние силы на границах участка:
Q1X=0 = RA - qХ1=0 = RA = 5,42 кН.
Q1X=1,5а = RA - 1,5аq = 5,42 – 45 = -39,58 кН.
В сечении между первым и вторым участком приложена сила F, поэтому внутренние силы здесь изменяются скачкообразно на величину этой силы (на эпюре образуется «ступенька»):
Q2X=1,5а = RA - 1,5аq + F = 5,42 – 45 + 10 = -29,58 кН.
Далее, до конца участка II действует распределенная нагрузка q, которая вызывает линейное изменение внутренней силы. В последнем сечении второго участка внутренняя сила равна по модулю опорной реакции RВ:
Q2X=2а = RA - 2аq + F = RВ = 5,42 – 60 + 10 = -44,58 кН.
3.2. Эпюра изгибающих моментов.
Для построения эпюры изгибающих моментов определим значения моментов на границах силовых участков, начиная от свободного конца балки. При этом учитываем, что изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости (действует распределенная нагрузка), поэтому эпюра будет иметь криволинейную форму, и для более точного отображения эпюры необходимо вычислить значение изгибающих моментов в нескольких промежуточных сечениях бруса.
В крайнем левом сечении первого участка (жесткая заделка) эпюра изменяется скачкообразно на величину момента МА от нулевой линии балки.
МХ х=0 = МА = 66,25 кНм;
МX х=а = МА + RAЧа - qа2/2 = 66,25 + 8,13 – 22,5 = 51,88 кНм;
МХ х=1,5а = МА + RAЧ1,5а - qЧ2,25а2 = 66,25 + 12,2 - 50,6 = 28,1 кНм;
МХ х=1,75а = МА + RAЧ1,75а - qЧ(1,75а)2/2 + 0,25аF = 66,25+14,22- 68,9+3,75 = 15,32 кНм;
МХ х=2а = МА + RAЧ2а - qЧ(2а)2/2 + 0,5аF = 66,25 + 16,25 - 90,0 + 7,5 = 0 кНм;
4. Построение эпюры прогибов балки
Для построения эпюры линейных перемещений Y (прогибов) требуется определить их значения в 4…5 сечениях балки. В нашем случае известно, что перемещения в опорах А и В равны нулю, т. е. yA = 0 и yB = 0.
Вычислим прогибы в координатах х1 = а, х2 = 1,5а и х3 = 1,75а.
Уравнения прогибов у в этих сечениях по методу начальных параметров имеют вид:
EIX y1 = - MA(а – 0)2/2 + RA(а – 0)3/6 - q(а – 0)4/24 =
= -66,25Ч1,52/2 + 5,42Ч1,53/6 - 20Ч1,54/24 ≈ -75,7 (кНЧм3);
EIX y2 = - MAЧ(1,5а – 0)2/2 + RA Ч(1,5а – 0)3/6 - q(1,5а – 0)4/24 =
= -66,25Ч2,252/2 + 5,42Ч2,253/6 - 20Ч2,254/24 ≈ -178,76 (кНЧм3);
EIX y3 = - MAЧ(1,75а – 0)2/2 + RA Ч(1,75а – 0)3/6 - q(1,75а – 0)4/24 + F Ч(1,75а – 1,5а)3/6 =
= -66,25Ч2,6252/2 + 5,42Ч2,6253/6 - 20Ч2,6254/24 + 10Ч0,753/6 ≈ -250,77 (кНЧм3).
По полученным расчетным данным строим эпюры поперечных сил QY, изгибающих моментов MX и погибов Y (см. рис. 4.3, а).
Задача 5.3. Изгиб с кручением
Условие задачи:
На валу круглого сечения, вращающемся с угловой частотой щ, расположены два шкива ременной передачи диаметрами D1 и D2, через которые передается мощность Nэд. Вал закреплен в подшипниковых опорах А и В. Ветви шкива 1 расположены под углом б1, а шкива 2 – под углом б2 к горизонтали.
Исходные данные:
Таблица 5.1
l1 м | D1 м | б1 град | l2 м | D2 м | б2 град | lВ м | Nэд кВт | n об/м | [у] мПа |
2,1 | 0,5 | 15 | 3,8 | 0,35 | 75 | 3,3 | 12 | 1250 | 160 |
Требуется:
Подобрать диаметры вала по III теории прочности при заданном предельном напряжении [у].
Указания:
Опору А расположите в начале координат, опору В – на координате l2, шкивы 1 и 2 соответственно на координатах l1 и l2.
Решение:
1. Определим момент Мкр, действующий на участке вала между шкивами 1 и 2:
Мкр = Nэд/щ = 30Nэд/рn = 30Ч12 000/3,14Ч1250 = 91,7 [Нм]= 0,092 [кНм]
и построим эпюру крутящих моментов.
2. Определим усилия t1 и t2 в ременной передаче:
t1 = 2Мкр/D1 = 2Ч91,7 /0,5 = 366,8 [Н] ≈ 0,367 [кН];
t2 = 2Мкр/D2 = 2Ч91,7 /0,35 = 524,0 [Н] ≈ 0,524 [кН].
3. Опорные реакции, необходимые для построения эпюр изгибающих моментов, определим из уравнений статики, при этом для упрощения расчетов преобразуем схему механизма, повернув вал по ходу вращения на угол б1. Тогда ветви ремня первого шкива совпадут с горизонталью, а угол наклона ветвей ремня второго шкива с горизонталью составит:
б’2 = б2 – б1 = 75˚ - 15˚ = 60˚; (sin 60˚ = 0,866; cos 60˚ = 0,5)
У МВХ = RAYЧlВ – (2t2+ t2)Ч(l2 – lВ)Чsinб’2 = 0,
откуда находим RAY [кН]:
RAY = 3t2Ч(l2 – lВ)Чsinб’2/ lВ = 3Ч0,524Ч(3,8 – 3,3) 0,866 / 3,3 ≈ 0,206 [кН];
У МВY = - RAXЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1) – (2t2 + t2)Ч(l2 – lВ)Чcosб’2 = 0,
откуда находим RAX [кН]:
RAX = [3t1Ч(lВ – l1) - 3t2Ч(l2 – lВ)Чcosб’2]/ lВ =
= [3Ч0,367Ч(3,3 – 2,1) - 3Ч0,524Ч(3,8 – 3,3)Ч0,5] / 3,3 ≈ 0,281 [кН];
4. Определяем значения изгибающих моментов МХ и МY в крайних точках силовых участков вала, а также величину суммарного изгибающегося момента Мизг, который определяется, как векторная сумма моментов МХ и МY:
Мизг = √(МХ2 + МY2).
где МХ = RAYЧlZ; МY = RAXЧlZ
Результаты расчетов заносим в Таблицу 5.2.
Таблица 5.2
Параметры | Z = 0 м | Z = l1 = 2,1 м | Z = lB = 3,3 м | Z = l2 = 3,8 м |
МХ кНм | 0 | 0,43 | 0,68 | 0 |
МY кНм | 0 | 0,59 | 0,93 | 0 |
Мизг кНм | 0 | 0,73 | 1,15 | 0 |
5. В соответствии с полученными расчетными данными строим эпюры изгибающих моментов МХ, МY и Мизг (рис. 5.3, а).
Используя эпюру Мизг, определяем опасное сечение вала по максимальному изгибающему моменту: Мизг max = 1,15 кНм.
6. Подбираем сечения вала по условию прочности:
уmax = МПРmax/WОС ≤ [у],
где МПРmax – приведенный момент, по III теории прочности:
МПРmax = √(МХ2 + МY2 + МКР2) = √(0,682 + 0,932 + 0,0922) ≈ 1,16 [кНм];
Wос – осевой момент сопротивления сечения, который для круглого сечения может быть определен из зависимости: WОС = рd3/32.
7. Определяем минимальный диаметр вала:
d ≥ 3√(32МПРmax/р[у]) ≥ 3√(32Ч1,16Ч103/3,14Ч160Ч106) ≥ 0,042 м ≥ 42,0 мм.
Принимаем диаметр вала из стандартного ряда по ГОСТ 6636-69:
d = 42 мм (ряд Ra40).
Литература:
1. , . Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников механических, машиностроительных, автотранспортных специальностей. – Изд-во АлтГТУ – Барнаул. – 2004 г. – 62 с.
2. Краткий курс лекций по сопротивлению материалов: Учебное пособие. – Барнаул, Изд-во АлтГТУ. – 2010 г. – 124 с.
3. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - 10-е издание, перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. , 2009. - 592 с.
