Тема урока: Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Цель урока:
- Расширить понятие степени, дать понятие степени с рациональным показателем; научить переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот; вычислять степени с рациональным показателем. Развитие памяти, мышления, устного счета. Формирование активности. ответственности, трудолюбия.
«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть
из математики степени, и он увидит,
что без них далеко не уедешь»
Ход урока.
1. Организационый момент, проверка готовности к уроку..
2. Мотивация урока.
«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть
из математики степени, и он увидит,
что без них далеко не уедешь»
3. Актуализация опорных знаний.
Работа в группах.
Кроссворд по теме «Степень».
По горизонтали:
1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени.
2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей.
3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень.
4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются.
По вертикали:
5. Число всех одинаковых множителей.
6. Степень с нулевым показателем.
7. Повторяющийся множитель.
8. Значение 105 : ( 23 • 55 ).
9. Показатель степени, который обычно не пишут
Вспомним расширение понятия чисел: N є Z є Q є R(рис.2 стр.12 учебника).
В курсе «Алгебра, 7-9 классы» было определено понятие степени числа с целым показателем. Подчеркнуть, что выражение an имеет смысл при всех целых n и любых значениях а, кроме а=0 и n≤0.
Перечислите свойства степеней с целым показателем.
Какая ошибка в записи свойств степени?
Устная работа.
1). Вычислить: 1-5; 4-3 ; (-10)0 ; (-5)-2 ; (1/2)-4 ; (3/7)-1 .
2). Запишите в виде степени с отрицательным показателем:
1/45 ;1/213 ; 1/х7 ; 1/а9 .
3).Сравните с единицей: 12-3 ; 210 ; (0,6)-5 ; (5/19)-4 .
4)
4. Изучение нового материала.
Теперь необходимо понять смысл выражений 30,4; 45/7 ; 5-1/2 и т. д. Для этого надо таким образом обобщить понятие степени, чтобы выполнялись все перечисленные свойства степеней. Рассмотрим равенство (am/n)n = аm. Тогда по определению корня п-й степени разумно считать, что am/n будет корнем п-й степени из числа am. Дается определение степени с рациональным показателем.(работа с учебником стр.187)
Рассмотреть примеры 1 из учебника стр.190.
Сделаем ряд замечаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем.
Замечание 1: Для любого а>0 и рационального числа r число ar >0
Замечание 2: По основному свойству дробей рациональное число m/n можно записать в виде mk/nk для любого натурального числа k.
Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, так как amk/nk = =nk√amk = n√am = a m/n
Замечание 3: При а<0 рациональная степень числа а не определена. Поясним это на примере. Рассмотрим (-64)1/3 = 3√-64 = -4. С другой стороны: 1/3 = 2/6 и тогда (-64)1/ 3 = (-64) 2/6 = 6√(-64)2 = 6√642 = 6√46 = 4. Получаем противоречие.
Решить №3, 4(1, 3, 5) (устно).
5. Историческая пауза. Сведения о развитии понятия степени.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М. Штифеля и у Симона Стевина. Немецкий математик М. Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при 
и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
6. Закрепление нового материала.
Стр. 192 Решить № 1, 5(1. 2, 5), 6, 7.
7. Решение заданий на повторение.
1. Решить уравнение: √(2х – 1) = 3х – 12
2. Решить неравенство: √(3х – 2) ≥ 4 – х, №3(4)стр.229.
8. Самостоятельная работа.
Вариант 1
1. представьте выражение в виде степени с рациональным показателем
а) 
; б) 
; в) 
;
2. представьте выражение в виде корня из числа или выражения
а) 
; б) 
; в) 
;
3. вычислите:
а) 
; б) 
в) 
; г) 
;
Вариант 2
1. представьте выражение в виде степени с рациональным показателем
а) 
; б) 
; в) 
;
2. представьте выражение в виде корня из числа или выражения
а) 
; б) 
; в) 
;
3. вычислите:
а) 
; б) 
в) 
; г) 
;
9. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
А теперь ответим на вопросы:
Я: как чувствовал себя в процессе учения, было ли мне комфортно, с каким настроением работал, доволен ли я собой?
Мы: насколько комфортно мне работалось в малой группе; я помогал товарищам, они помогали мне – чего было больше, какие у меня были затруднения в общении с группой?
Дело: я достиг цели учения, в чем я затруднился, почему; как мне преодолеть свои проблемы?
Выучить п.12, повторить п.11, решить стр. 192 № 2, 5(3, 4, 6), 9, на повторение:
1. Решить уравнение: 3 – 2х = √(7х + 32)
2. Решить неравенство: √(3х + 1) ≥ х – 1.
Подобрать интересную информацию о степени.
Урок по теме «Степенные функции, ее графики и свойства»
Цели урока:
- Образовательная: Создать условия для формирования знаний о свойствах и особенностях графиков степенных функций y = xr при различных значениях r. Развивающие: Способствовать развитию информационных умений учащихся: умения работать с текстом слайда, умения составлять опорный конспект. Способствовать развитию творческой и мыслительной деятельности учащихся. Продолжить формирование умений чётко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы. Воспитательные: Продолжить развитие культуры математической речи. Способствовать формированию коммуникативной компетентности.
Ход урока
1. Орг. момент
а) готовность к началу урока.
б) настрой на начало урока.
“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. ()
2. Постановка цели и мотивация.
Учитель: Сегодняшний урок мне хочется начать с отрывка из очень известной сказки, а вы догадайтесь, что это за сказка, кто её написал, и о чём идёт речь в отрывке.
« В нескольких шагах от неё сидел Чеширский Кот.
- Скажите пожалуйста, куда мне отсюда идти?
-А куда ты хочешь попасть?- ответил Кот. - Мне все равно…- сказала Алиса.
-Тогда все равно, куда и идти,- заметил Кот. Это отрывок из сказки «Алиса в стране чудес». Её написал Льюис Керол. Так что же хотел сказать Алисе Кот?
Учащиеся: Перед тем, как что-то делать, надо поставить цель.
Учитель: Вот и мы тоже должны поставить перед собой цель на сегодняшний урок. Прочитайте тему урока. Какое новое слово вы увидели?
Учитель: Действительно, сегодня мы будем изучать новое понятие «степенные функции».
Почти все, что происходит с нами или вокруг нас связано с понятием «функция», потому что все вокруг взаимосвязано, а «функция»- это зависимость между двумя величинами, которая обладает определённым свойством. Сегодня нам предстоит к нашим знаниям о функции добавить степенные функции. Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Проверка д/з: сверка с доской №2, №10(3.4). Оценка: 6:2=3 балла.
Диктант «Верю - не верю» (да – нет): взаимопроверка: 8:2=6 баллов.
Решить у доски № 5(7).
4. Изучение нового материала.
Притча о рыбаке и путнике.
На доске записано слово «Функция», «Мозговой штурм». Повторяем с.40 учебника.
- Что такое функция? Приведите примеры функции. Что такое аргумент функции? Что такое область определения функции7 Что такое область значения функции? как можно задавать функции?
Степенная функция – это функция вида y = хб, где б – постоянное число. Свойства функции и графики зависят от показателя б. Каким числом может быть б? ( Ответы: натуральным, целым, рациональным).
Просмотр презентации и построение графиков функций.
Работа с учебником в парах с.194-197.
5. Зарядка для глаз (презентация).
6. Закрепление нового материала.
Решение у доски № 2(1, 3, 5, 7), 4(1).
7. Самостоятельная работа.
Математическое лото. Виды степенных функций
7
8
9
Вариант 1.
1) у = х-0,7 4) у = х7 7) у = х8
2) у = х-7 5) у = х0,6 8) у = 1
3) у = х 6) у = х3,14 9) у = х-6
Вариант 2.
1) у = х-8 4) у = х9 7) у = х-5
2) у = х6 5) у = х2,04 8) у = 1
3) у = х 6) у = х0,3 9) у = х-0,2
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: №1 796 514 238, №2 215 694 738
8. Историческая пауза.
Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком 
с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т. д.
Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”.
9. Решение заданий на повторение. Подготовка к ВНО.
Иррациональные уравнения и неравенства.
1. Решить уравнение: 3 – 2х = √(7х + 32)
2. Решить неравенство: √(3х + 1) ≥ х – 1
10. Оценивание. Д/з.
Выучить п.12, повторить п.11, решить № 5(4)с.185, №2(2, 4, 6, 8), 4(3) с.204.
Сообщение «В мире функций». Мини - сочинение «Функции вокруг нас».
11. Итоги урока. Рефлексия.
Шел мудрец, а навстречу ему три человека, везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства Храма. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.
У первого спросил: - Что ты делал целый день?
И тот с ухмылкою ответил, что целый день возил проклятые камни.
У второго спросил: ” А ты что делал целый день? ”- И тот ответил: ” Я
добросовестно выполнял свою работу. “
А третий улыбнулся его лицо засветилось радостью и удовольствием и
он ответил “ А я принимал участие в строительстве Храма.“
-Ребята! Кто работал так как первый человек? (поднимаем желтые)
-Кто работал добросовестно? (зелёные )
-А кто принимал участие в строительстве Храма знаний? (красные)
Урок по теме Обобщение и систематизация знаний по теме «Степенная функция»
Цели урока:
Образовательная: Создать условия для обобщения и систематизации знаний по теме «Степенная функция»;
Развивающая: Создать условия для развития алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Мотивация урока.
Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
- Что есть больше всего на свете? – Пространство.
- Что быстрее всего? – Ум.
- Что мудрее всего? – Время.
- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
- Что такое функция? Приведите примеры функции. Что такое аргумент функции? Что такое область определения функции7 Что такое область значения функции? как можно задавать функции?
Степенная функция – это функция вида y = хб, где б – постоянное число. Свойства функции и графики зависят от показателя б. Каким числом может быть б? ( Ответы: натуральным, целым, рациональным).
Повторим свойства степеней с рациональными показателями
Вычислить: а) 3-4 · 272/3 ·9 – 27-4/3 + (80)3 ·2 + (0,125)-1/3
б) 92/5 + 10 ·(40)5 – (0,25)-3/2 – 9-3/2 ·27 ·3-5
Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин ( при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.
4. Обобщение и систематизация знаний по теме «Степенная функция»
1. Докажите, что выражения (-2)3/4; 0-2 не имеют смысла.
2. Представьте степень с дробным показателем в виде корня: 22/3; 3-1|3 ; - в1,5 ; 5а 1/2; (x-y)2/3.
3. Представьте в виде степени с дробным показателем: v3; 8vа4; 3v2-2; v(x+y)2/3; вvв.
3. Перейдем в лабораторию “Действие над степенями”
а) 
; б) 
; в) 
.
Как, применяя свойства степеней, сравнить выражения 2100 и 1030?
Ответ:
2100=(210)10=102410.
1030=(103)10=100010
102410>100010
2100>1030
5. Задание творческого характера.
Какие преобразования мы можем выполнять над степенями?
1) Представьте число 3 в виде степени с показателем 2; 3; -1.
Историческая пауза В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
6. Самостоятельная работа.
Замените корнем с рациональным показателем:
Вычислите:
92/5 + 10 ·(40)5 – (0,25)-3/2 – 9-3/2 ·27 ·3-5
7. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.
Трудным ли для тебя был материал урока?
На каком из этапов урока было труднее всего, легче всего?
Синквейн к слову «сенкан».
Повторить п._______
Решить №_________________
