Вычеты функций
Если функция 
аналитическая в некоторой окрестности точки 
, за исключением, может быть, самой точки 
, то вычетом функции 
относительно точки 
, обозначаемым 
или 
, называется число
,
где 
- замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции 
и содержащий внутри себя только одну особую точку 
. Вычет функции совпадает с коэффициентом 
разложения функции в ряд Лорана по степеням 
.
Если 
– полюс порядка 
функции 
, то
Если 
– полюс первого порядка функции 
, то
.
Причем, если 
представима в виде 
, где 
, 
, 
, 
– аналитические функции в окрестности точки 
, то
.
Если 
– изолированная особая точка функции
, то
.
Вычет в устранимой особой точке равен нулю
Теорема Коши о вычетах
Теорема 1. Если функция 
– аналитична в области 
, за исключением изолированных особых точек 
, лежащих в этой области, то для любого простого замкнутого контура 
, охватывающего эти точки,
.
Если имеется одна особая точка 
для функции 
, то
.
Теорема 2. Если функция 
– аналитическая функция во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек 
, то
.
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью вычетов вычисляются сходящиеся несобственные интегралы
,
где функция 
– непрерывная на интервале 
и аналитическая за исключением конечного числа особых точек, лежащих в верхней полуплоскости 
.
