Вариант 1.
Задание 1. Даны матрицы A, B, C. Записать матрицы A+B, СЧA и вычислить их миноры, алгебраические дополнения и определители.
, 
, 
.
A + B = 
+ 
= 
.
C * A = 
* 
=
= 
= 
.
Вычислим миноры элементов матрицы C * A = 
..
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы C * A = 
..
Вычислим определитель матрицы C * A = 
.
Задание 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, матричным методом и методом Крамера.
Метод Гаусса.
Прямой ход.
Расширенная матрица системы 
.
Сложим вторую строку с первой, умноженной на (- 1), а третью – с первой, умноженной на 
. Получим матрицу 
.
Разделим вторую строку на 2, а третью умножим на 2. Получим матрицу
.
Сложим третью строку полученной матрицы со второй, умноженной на (- 1). Получим матрицу 
.
Получили ступенчатую матрицу. Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
Обратный ход.
Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных: x3 = 1, x2 = - 2, x1 = 3.
Матричный метод.
Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными AЧ X = B, где
, 
, 
.
Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:
.
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:
Матрица, составленная из алгебраических дополнений, имеет вид:
.
Транспонируем её:
.
Получим обратную матрицу 
Или 
.
По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим
X=
.
Получили x1 = 3, x2 = - 2, x3 = 1.
Метод Крамера.
Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку det A = -12 ≠ 0.
Вычислим определители ∆1, ∆2 , ∆3.
Тогда x1 = 
3, x2 = 
- 2, x3 = 
1.
Задание 3. Векторы 
, 
, 
, 
заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы 
, 
, 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
= (1, 2, 3), 
, 
, 
Векторы, образующие базис, линейно независимы, т. е. существуют, и притом единственные, такие действительные числа б, в, г, что 
= б ∙ 
+ в ∙ 
+ г ∙ 
. В координатной форме последнее равенство принимает вид системы линейных алгебраических уравнений
Определитель основной матрицы этой системы отличен от нуля:
,
т. е. существует единственное решение системы б, в, г, а значит, векторы 
, 
и 
образуют базис. Вычислим значения б, в, г методом Крамера:
Таким образом, вектор 
в базисе 
, 
, 
имеет координаты: 
.
Задание 6. Дано комплексное число z. Записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Найти корни уравнения w3 + z = 0.
Алгебраическая форма комплексного числа:
Найдём модуль комплексного числа: 
.
Так как точка с координатами (
; - 
) лежит в IV четверти, то
ц = arg z = 
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:
z = 2(cos (
) + i sin (
)).
Показательная форма комплексного числа имеет вид 
Найдём корни уравнения w3 + z = 0.
w3 = - z
w = 
k = 0, 1, 2.
w = - 
, k = 0, 1, 2.
При k = 0 получим первое значение корня
w1 = - 
.
При k =1 получим второе значение корня
w2 = - 
.
При k =2 получим третье значение корня
w3 = - 
.
w3 
.
w3 
.
