Тема: свойства преобразования лапласа

ТЕМА: СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

План лекции

Свойства линейности, подобия, дифференцирования, интегрирования, запаздывания, смещения, свертки.

Свойства преобразования Лапласа. Будем обозначать через оригиналы, а через – их изображения.

Непосредственно из свойств интегралов

получаем следующие свойства преобразования Лапласа.

1) Линейность. Для любых комплексных постоянных и , т. е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

2) Подобие. Для любого постоянного , т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения аргумента на это число.

       Доказательство. В самом деле, полагая имеем

  □

3) Смещение. Для любого комплексного числа , т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной p.

Доказательство. Действительно,

  □

4) Запаздывание. Для любого имеем , т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Доказательство. Так как при , то делая замену переменных получим

5) Дифференцирование оригинала. Если функции являются оригиналами и непрерывны, то

где под понимается правое предельное значение .

Доказательство. В самом деле, переходя к изображениям и интегрируя по частям, получаем

В силу того, что , имеем и подстановка в первый член дает нуль, подстановка же дает, очевидно, (под следует понимать правое предельное значение, левое всегда равно нулю); второй член равен и первая формула доказана. Применив эту формулу дважды, получим

и так далее.  □

6) Дифференцирование изображения. Дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на , т. е. . Обобщение: .

Доказательство. Действительно, т. к. является в полуплоскости аналитической функцией, то ее можно дифференцировать (возможность дифференцирования под знаком интеграла вытекает из того, что все рассматриваемые интегралы сходятся равномерно относительно р в любой полуплоскости ) по р, и получим что равносильно приведенной формуле дифференцирования изображения.  □

7) Интегрирование оригинала. , т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на p.

Доказательство. Легко проверить, что функция вместе с является оригиналом, то есть удовлетворяет условиям 1) – 3) из п. 10. Тогда (см. свойство 5, ) получим Таким образом, для изображения имеем , откуда   □

8) Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то , т. е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Доказательство. В самом деле, имеем

Предполагая, что путь интегрирования весь лежит в полуплоскости получим оценку внутреннего интеграла

из которой ясна его равномерная сходимость относительно р. Поэтому можно изменить порядок интегрирования:

Полученное равенство равносильно доказываемой формуле.  □

9) Умножение изображений. Произведение двух изображений также является изображением, причем

       .        (2)

       Доказательство. В самом деле, интеграл в правой части формулы (2) является оригиналом: свойства оригинала 1) и 2) очевидны (см. п. 10), а для доказательства свойства 3) заметим, что, если взять число равным наибольшему из показателей роста и , то

       Отсюда и следует, что интеграл в (2) не превосходит некоторой  константы, умноженной на , где сколь угодно малое положительное число.

       Рассмотрим теперь изображение интеграла из (2)

Справа здесь стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор S плоскости (рис.3), ибо при фиксированном t интегрирование по ведется в пределах от 0 до , а затем изменяется от 0 до .

Так как при этот двукратный интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования, тогда получим (заменяя t на )

что и требовалось доказать.  □

Интеграл в правой части формулы (2) называется свёрткой функций  и , изображается символом , т. е.

Можно убедиться, (положив ), что свёртывание обладает свойством переместительности, т. е. .

Упражнение 1. Доказать свойство переместительности для свертки функций.

Итак, умножение изображений соответствует свертыванию оригиналов, т. е.

Пользуясь этой формулой и правилом дифференцирования оригинала, получим так называемый интеграл Дюамеля:

Выполняя в этом интеграле дифференцирование, получим

       .        (3)

Формулу (3) называют формулой Дюамеля.

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

10) Умножение оригиналов.

где путь интегрирования – вертикальная прямая .

       Доказательство. Действительно, произведение , очевидно, удовлетворяет условиям 1) – 3) для оригиналов. Его изображение Пусть оригиналы и имеют, соответственно, показатели роста и .

Возьмем и заменим по формуле обращения:

(изменение порядка интегрирования можно обосновать).

Если считать еще то будем иметь ибо и внутренний интеграл можно заменить через
Формула умножения оригиналов доказана.  □

       Упражнение 2. Обоснуйте изменение порядка интегрирования в доказательстве свойства 10).

Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Пример 3. Найти изображения функций:

а) ;  б) ;  в) .

Решение. а) Пользуясь свойством линейности и формулой, полученной в примере 2б), находим:

,

т. е. . Аналогично получаем формулу .

б) Сначала представим произведение в виде разности синусов: , а затем используем свойства линейности и подобия: .

в) Так как , то по свойству смещения . □

Пример 4. Найти оригинал по его изображению

а) ;  б) ;  в) .

Решение. а) Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения

       б) Так как и , то

т. е. .

       в) Так как и , , то на основании формулы Дюамеля (3) имеем

.  □