ОС-1. « Вычисление обратных тригонометрических выражений»

ОС-1. « Вычисление обратных  тригонометрических  выражений».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:

 

,

Пример 1. Вычислить:

а) arccos (cos ), б) cos(arccos 0,4),в) arcsin (sin ),

г) sin(arcsin 0,6), д) sin (arccos 0,6),е)tg(arcsin 0,8).

Решение:

а) arccos (cos ) = , б) cos(arccos 0,4) = …,

в) arcsin (sin ) = …,  г) sin(arcsin 0,6) = 0,6,

д) ,

е) .

Ответ: 

а) arccos (cos ) = , б) cos(arccos 0,4) = 0,4,в) arcsin (sin ) = ,

г) sin(arcsin 0,6) = 0,6, д) , е) .

Пример 2. Вычислить cos(4arctg 5).

Решение: 

Пусть б = arctg5, тогда tg б = 5. Требуется найти cos4б. Вычислим вначале cos2б, используя универсальную подстановку:

.

Тогда получаем, что:

. Ответ: .

Пример 3. Вычислить arcsin (sin 12).

Решение: 

По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку Заметим, что  поэтому  . Поскольку , угол 12 - 4р является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.

Ответ: arcsin (sin12) = 12 - 4р.

Пример 4. Вычислить

Решение:  Введем два угла: и . Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны.

Мы знаем, что. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.

Во-первых,   .

Во-вторых,

.

Следовательно, Ответ: .

Пример 5. Вы­чис­лить

Решение:  Ти­пич­ная ошиб­ка в дан­ном слу­чае – это сразу же на­пи­сать  в ответ 4. Как мы ука­зы­ва­ли в преды­ду­щем при­ме­ре, для ис­поль­зо­ва­ния ос­нов­ных свойств арк­функ­ций необ­хо­ди­мо про­ве­рить со­от­вет­ству­ю­щие огра­ни­че­ния на их ар­гу­мент. Мы имеем дело со свой­ством:

при . Но 4> . 

Глав­ное на этом этапе ре­ше­ния не по­ду­мать, что ука­зан­ное вы­ра­же­ние не имеет смыс­ла и его нель­зя вы­чис­лить. Ведь чет­вер­ку, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ар­гу­мен­том тан­ген­са, мы можем умень­шить при по­мо­щи вы­чи­та­ния пе­ри­о­да тан­ген­са, и это не по­вли­я­ет на зна­че­ние вы­ра­же­ния. Про­де­лав такие дей­ствия, у нас по­явит­ся шанс умень­шить ар­гу­мент так, чтобы он вошел в ука­зан­ный диа­па­зон.

, т. к. < 1 по­сколь­ку > 3, сле­до­ва­тель­но, , т. к. .

Ответ: .

Пример 6. Вы­чис­лить sin (2 arcsin 0,6).

Решение:

Ответ: 0,96.

Пример 7. Вы­чис­лить arccos x – arcsin x = arccos .

Решение:

Учитывая, что arccos =   и arcsin x + arccos x = , заменим в уравнении arcsin x выражением – arccos x, получим уравнение

arccos x – (– arccos x)= ,

2arccos x – = , 2arccos x = +  = .

arccos x = , x = cos , x= 1/2 = …

Ответ: 0,5.

Пример 8. Решите уравнения: 

а)  6arcsin (x2 – 6x+8,5) = р ;

б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0. 

Решение:

а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = р,  arcsin(x2 – 6x+8,5) = ,

x2 – 6x+8,5 = 0,5;  x2 – 6x+8 = 0,

D = 36 –  418 =….

, .

б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.  arcsinx = у,

3у2 – 10у + 3 = 0, D = 100 –  433 = 64.

  - не уд. усл.

.

arcsinx = 0,3, х= sin 0,3

Ответ: а) x1= 4,x2 = 2.б) х= sin 0,3

Пример 9. Вы­чис­лить: а) arcsin (-2), б)  arccos

Решение:

а) Ти­пич­ная ошиб­ка в дан­ном слу­чае – это на­чать вы­но­сить минус и что-то упро­щать. Пер­вое, что необ­хо­ди­мо за­ме­тить, это то, что ар­гу­мент арк­си­ну­са не вхо­дит в об­ласть опре­де­ле­ния.

Сле­до­ва­тель­но, дан­ная за­пись не имеет зна­че­ния, и вы­чис­лить арк­си­нус нель­зя.

б) Стан­дарт­ная ошиб­ка в дан­ном слу­чае за­клю­ча­ет­ся в том, что пу­та­ют ме­ста­ми зна­че­ния ар­гу­мен­та и функ­ции и дают ответ 1/2. Это невер­но! Ко­неч­но, воз­ни­ка­ет мысль, что в таб­ли­це ко­си­ну­су со­от­вет­ству­ет зна­че­ние 1/2, но в таком слу­чае пе­ре­пу­та­но то, что вы­чис­ля­ют­ся арк­функ­ции не от углов, а от зна­че­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций. Т. е. arccos 1/2 =, а не arccos = 1/2.

Кроме того, по­сколь­ку мы вы­яс­ни­ли, что яв­ля­ет­ся имен­но ар­гу­мен­том арк­ко­си­ну­са,

то необ­хо­ди­мо про­ве­рить, чтобы он вхо­дил в об­ласть опре­де­ле­ния. Для этого вспом­ним, что >1,т. е. , а зна­чит арк­ко­си­нус не имеет смыс­ла и вы­чис­лить его нель­зя.

Кста­ти, на­при­мер, вы­ра­же­ние  arccos имеет смысл, т. к. , но по­сколь­ку зна­че­ние ко­си­ну­са, рав­ное не яв­ля­ет­ся таб­лич­ным, то и вы­чис­лить арк­ко­си­нус с по­мо­щью таб­ли­цы нель­зя.

Ответ: Вы­ра­же­ния не имеют смыс­ла.

Пример 10. Вы­чис­лить arcсtg х, если из­вест­но, что arctg х = .

Решение:

Вспом­ним, по какой фор­му­ле свя­за­ны между собой ука­зан­ные функ­ции:

И вы­ра­зим из нее то, что нам нужно:  .

Ответ: .

2)Решить задание  ( по примерам):

Вычислить:

а) arccos (cos ), б) cos(arccos 0,25),в) arcsin (sin ),

г) sin(arcsin 0,45), д) sin (arccos 0,8),е)tg(arcsin 0,6).

Вычислить cos(4arctg 3). Вычислить arcsin (sin 6). Вычислить Вы­чис­лить Вы­чис­лить sin (2 arcsin 0,8). Вы­чис­лить arccos x – arcsin x = arccos . Решите уравнения: 

а)  6arcsin (x2 – 7x+12,5) = р ;

б) 3arcsin2x – 11arcsinx + 6 = 0. 

Вы­чис­лить: а)  arcsin ( 4), б) arccos Вы­чис­лить arcсtg х, если из­вест­но, что arctg х = .

ОС-2. « Вычисление обратных  тригонометрических  выражений».
1) Построить таблицы:

Табличные значения обратных тригонометрических функций.

2) Преобразование выражений.

(Перепишите и заполните пропуски)

       

3)Решить задание ( по примерам):

4)Решить задание :

 

В)1. Найдите значение выражения:  а) arcsin1;  б) arccos;  в) arctg();  г)arcctg0.

2. Найдите значение выражения:  а) arcsin;  б) arccos0;  в) arctg;  г) arcctg.

3 .Выразите значения данных функций через значения функции у=arcsinx:

а) arccos;  б) arctg ();  в) arcctg 2. 

4.Вычислите значения:  a) cos;  б)sin;  в) sin 

5. Упростите выражение: а)  arctg+ arctg;  б) 3arcsin+ arcsin.

6. Упростите выражение:  а) arccos        б) - arcsin;

7. Найдите значение выражения:  arcctg(ctg(3)).

8. Найдите значение выражения: arcsin(sin(-6)).

9. Докажите справедливость раиенства: tg(2arccos   arcsin) = .

10. Докажите справедливость раиенства:  tg

11. Решите уравнение:  а)arccos x =.б) arcsin x = 2arctg;  в)arctg(x-1)+ = 3arctg(x+1); г) arcsin(xx2) = 0;         

12. Решите уравнение:  а) arcsin x =; б) arcsin x = arcctg x;  в) arccos(x+1) = arcctg x; 

  г) 4arccos x4arccos x 4arcsinx+=0;д) arcsin(x +1) + arcos2x =0;         

Тест  по теме «Область определения обратных тригонометрических функций».

Вариант №1

Задания	Варианты ответов
1.Наименьшее целое положительное число, не входящее в область определения функции у= arcsin(3a+1), равно	1) ∅;  2) -1;  3) 1;  4) 0;  5) 2
2.Сумма середин интервалов области определения функции y=arccos (x2-x-1) равна	1) 2;  2) 1;  3) 0;  4) -2;  5) -0,5
3.Наибольшее целое отрицательное решение области определения функции y=arcsin равно	1) 0;  2) -5;  3) -6;  4) -4;  5) -1
4. Сумма целых решений области определения функции у= равна	1) 12;  2) 8;  3) 9;  4) -12;  5) 7
5.Наибольшее целое решение, входящее в область определения функции у= arcsin(x+9)+arctgравно	1) -10; 2) -9;  3)-7;  4) -8;  5) -11

Вариант №2

Задания	Варианты ответов
1.Наименьшее целое положительное число, не входящее в область определения функции у=arccos(4a-3) равно	1)0;  2) 2;  3) 1;  4) 3;  5) ∅
2. Сумма середин интервалов области определения функции y= arcsin(х2-5х+5) равна	1) 5;  2) 3,5;  3) 2;  4) 1;  5) 2,5
3. Наибольшее целое отрицательное решение области определения функции y= arcos  равно	1) ∅;  2) -2;  3) -1;  4) 0;  5) -3
4. Сумма целых решений области определения функции у= равна	1) 15;  2) 10;  3) 9;  4) 11;  5) -15
5. Наибольшее целое решение, входящее в область определения функции у=arccos(x+11)+arcctgравно	1) -13; 2) -10;  3) -11; 4)-9; 5) -12