Методическая разработка практического занятия для студентов ТТВТиС

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Томский техникум водного транспорта и судоходства»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия для студентов

ТТВТиС

Дисциплина: Математика

Специальность: 108403 Судовождение

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Теория пределов

Составил: преподаватель

математики:

Томск  2015

Составлена в соответствии с требованиями ФГОС	УТВЕРЖДАЮ:   Зам. директора по УМР   __________/ ________________   «__»_________________201___г.   СОГЛАСОВАНО:   Руководитель МО   ___________ /____________   «___» ________________ 201__ г.

       

Тема: Теория пределов

Уважаемые студенты!

Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия математики как производная, неопределенный и определенный интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в медицинской практике. Пределы являются основным средством в построении теории рядов.

Цели занятия

Студент  должен уметь:

− вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

− раскрывать неопределенности.

Студент должен знать:

− место понятия предела в математическом анализе;

− понятие предела функции в точке и на бесконечности;

− теоремы о пределах;

− понятие бесконечно малой, бесконечно большой функции;

− виды неопределенностей, способы их раскрытия;

− замечательные пределы.

Материал для повторения: лекция 1,2

Оснащение занятия: дидактический материал

Этапы  самостоятельной работы:

№ п/п	Содержание этапа	Задания
1	Определение предела функции в точке и на бесконечности, свойства пределов, правила нахождения пределов	Задание 1,2

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

Алгебра и начало математического анализа. и др.-17-е..-М.:Просвещение,2008.-384 с.

Дополнительные источники:

Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / . –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008. , , Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  . – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.

Интернет-ресурсы:

www. slovari. yandex. ru

www. wikiboks. org

revolution. allbest. ru

Тема: Теория пределов.

Уважаемые студенты!

Одним из основных математических методов, применяемых в науках,  является описание многих процессов в окружающем нас мире, при помощи дифференциальных уравнений.  Но их изучение невозможно без знания основ дифференциального и интегрального исчисления.  В процессе  ознакомления с  темой этого занятия вы познакомитесь с  теорией пределов, без которой изучение вопросов дифференциального и интегрального исчисления невозможно.

При изучении данной темы вам предлагаются задания на нахождение пределов функций в точке и на бесконечности. Вам также  предложены задания для самостоятельного решения, выполнив которые вы сможете проверить степень усвоения материала и получить дополнительную оценку.

После изучения темы вы должны:

знать:

определение функции; определение предела функции в точке; определение предела функции на бесконечности; свойства пределов функций; определение непрерывности функции.

уметь:

производить элементарные операции с функциями; находить пределы функций в точке; находить пределы функций на бесконечности

Раздел 1. Основное задание.

Пределы и их свойства

Предел функции в точке.

ИНФОРМАЦИЯ:

Число А является пределом функции в точке  x0, если для любого, найдется такое , что при , выполняется неравенство и записывают

Функция непрерывна в точке x0, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке.

Свойства пределов:

!  Все правила имеют смысл, если пределы функций  и существуют.

Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*),  обязательны для выполнения!

⇨ Выполнить задания:

Найти пределы  функций в точке.

Цель: В процессе выполнения задания закрепить основные навыки в отыскании пределов функции в точке.

.

Решение: В этом пределе в функцию , стоящую под знаком предела подставляем (т. к.  ) и получаем:

*; *; ;

Решение: В этом пределе подставим в функцию , получим:

- получили неопределенность .

Чтобы найти предел этой функции нужно ее преобразовать, обратив внимание, что  в числителе данной функции стоит выражение, содержащее корень . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение противоположное (или сопряженное) данному. Это будет выражение . Получим 

Выражение, стоящее в числителе  свернем по формуле разности квадратов , получим

Сократим  в числителе и знаменателе, и подставим   в функцию, получим

Примечание:  Образец оформления в тетради:

*; *; *; ;

Решение: Подставив в функцию получим неопределенность , значит функцию   нужно преобразовать, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов . Имеем:

*

.

Решение: Подставив в функцию получим неопределенность , значит функцию нужно преобразовать, разложив числитель и знаменатель на множители.

Для этого решим два квадратных уравнения (общий вид ):

Т. к. , то по теореме Виета найдем корни  квадратного уравнения:

       

И числитель, и знаменатель представляют  собой  квадратный трехчлен . По формуле разложения квадратного трехчлена на множители получим:

Подставив полученные разложения  в функцию, имеем:

*; *;

Предел функции на бесконечности.

ИНФОРМАЦИЯ:

Число А является пределом функции на бесконечности (в бесконечно удаленной точке), если для любого, найдется такое , что при , выполняется неравенство и записывают

Найти пределы  функций на бесконечности.

Цель: В процессе выполнения задания закрепить основные навыки в отыскании пределов функции на бесконечности.

.

Решение: Если , то функция , тогда:

.

* * .

Решение:  Если , то функция , тогда:

.

*; *

Внимание!  Если под знаком  предела содержится дробно-рациональная функция, то для того, чтобы найти предел функции необходимо в числителе и знаменателе дроби вынести за скобку х в старшей степени.

Решение:  Данная функция под знаком предела имеет  дробно-рациональную функцию. Подставив    в функцию , получим неопределенность, значит функцию   нужно преобразовать. Для этого и в числителе и в знаменателе вынесем за скобку в старшей степени. Старшая степень числителя равна 2, знаменателя тоже равна 2. Имеем:

Сократим , функции при . Учитывая это имеем:

Примечание: Образец оформления в тетради:

* * .

Решение: Подставив    в функцию , получим неопределенность, значит функцию   нужно преобразовать. Для этого и в числителе и в знаменателе вынесем за скобку в старшей степени. Старшая степень числителя равна 3, знаменателя равна 4. Имеем:

Сократим  и , функции при . Учитывая это имеем:

(функция при ).

*

Решение: Подставив    в функцию , получим неопределенность, значит функцию   нужно преобразовать. Для этого и в числителе и в знаменателе вынесем за скобку в старшей степени. Старшая степень числителя равна 3, знаменателя равна 1. Имеем:

Сократим  и , функции при . Учитывая это имеем:

*; .

Раздел 2. Дополнительное задание.

Вычислить пределы:
; .

✍ Домашнее задание:

1 вариант

1)  Найти пределы  функций:

; ; ; ; .

3 вариант

1)  Найти пределы функций

; ;

2 вариант

1) Найти пределы  функций:

; ; ; ; .

4 вариант

1)  Найти пределы функций

; ; ;

Проверочная работа.

Тема : Теория пределов

1 вариант.

Найти пределы следующих функций: ; ; ;

2 вариант.

Найти пределы следующих функций: ; .

3 вариант.

Найти пределы следующих функций: ; ; ;

4 вариант.

Найти пределы следующих функций: ; ; .

Дополнительное задание:

;

Контрольные вопросы:

Дать определение функции. Что такое область определения функции? Что такое область значений функции? Как исследовать функцию на четность? Что называется пределом функции в точке? Что называется пределом функции на бесконечности? Каковы основные свойства пределов. Назовите методы вычисления предела функции в точке. Назовите методы вычисления предела функции на бесконечности.