Вопросы к экзамену НМ-II

Вопросы к экзамену НМ-II

4 семестр

Криволинейные интегралы первого рода. Сведение к определенному интегралу. Свойства интегралов первого рода. Криволинейные интегралы второго рода. Существование и вычисление. Свойства интегралов второго рода. Случай замкнутого контура. Ориентация. Приближение интегралом, взятым по ломаной. Вычисление площади с помощью криволинейных интегралов. Связь между криволинейными интегралами обоих родов. Независимость криволинейного интеграла (2-го рода) от пути интегрирования. Необходимые и достаточные условия. Равенство нулю интеграла по замкнутому контуру. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области. Интегралы по замкнутому контуру. Понятия односвязной и многосвязной областей. Необходимые и достаточные условия равенства нулю интеграла по замкнутому контуру. Построение первообразной в случае односвязной области. Исследование криволинейных интегралов в случае наличия особых точек (или неодносвязной области). Циклическая постоянная. Двойные интегралы. Суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Свойства двойных интегралов. Свойства интегрируемых функций. Задача о вычислении объема цилиндрического бруса. Формула Грина. Ее приложение к исследованию криволинейных интегралов. Интеграл как линейный функционал. Аддитивность. Дифференцирование по области и его применение. Сведение двойного интеграла к повторному. Теорема Фубини. Следствия теоремы Фубини. Преобразование плоских областей. Выражение площади в криволинейных координатах. Геометрический смысл модуля якобиана. Пример полярных координат. Замена переменных в двойном интеграле. Несобственные двойные интегралы. Основные определения. Абсолютная сходимость несобственных двойных интегралов (без доказательства). Теоремы Фубини. Замена переменных в несобственном интеграле. Площадь кривой поверхности (определение, пример Шварца). Вычисление площади поверхности, заданной параметрическими уравнениями. Частный случай z=f(x, y). Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к двойному интегралу, случай z=f(x, y). Двусторонние и односторонние поверхности. Примеры. Сторона поверхности. Ориентация. Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, условия существования, основные свойства. Вычисление объёма тела. Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному. Связь между поверхностными интегралами обоих родов. Формула Стокса. Поверхностно односвязные области. Применение формулы Стокса к исследованию интегралов. Тройной интеграл: определение, условия существования, основные свойства. Теорема Фубини для тройного интеграла и следствия из неё. Формула Остроградского-Гаусса. Пространственно односвязные области. Её применение для исследования поверхностных интегралов. Выражение объема в криволинейных координатах. Примеры цилиндрических и сферических координат. Геометрический смысл модуля якобиана. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры. Несобственные тройные интегралы: определение, теоремы Фубини, абсолютная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости (без доказательства). Функции с ограниченным изменением. Примеры. Классы функций с ограниченным изменением. Свойства функций с ограниченным изменением. Критерий ограниченности изменения функции (необходимое и достаточное условие). Непрерывные функции с ограниченным изменением. Применение функций с ограниченным изменением. Теорема Жордана (необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой). Интеграл Стилтьеса: определение, общие условия существования. Классы случаев существования интеграла. Свойства интеграла Стилтьеса (включая существенное отличие от интеграла Римана с контрпримером). Интегрирование по частям для интеграла Стилтьеса. Вычисление интеграла Стилтьеса. Теорема о среднем для интеграла Стилтьеса. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. Выражение криволинейного интеграла 2-го рода через интеграл Стилтьеса. Обобщение условий существования криволинейного интеграла 2-го рода. Элементы векторного анализа. Скалярные и векторные поля. Градиент, ротор, дивергенция и их инвариантные определения. Работа (циркуляция) векторного поля, поток поля через поверхность. Потенциальные и соленоидальные поля. Необходимые и достаточные условия потенциальности и соленоидальности. Разложение векторного поля в сумму потенциального и соленоидального полей. Обратная задача векторного анализа.