Ответы и решения

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Задание №1 (7 баллов)

Сколько получится острых углов. Если внутри данного острог угла из его вершины  провести 3 луча?

Ответ: 10

Решение: Обозначим данный угол АВС, лучи ВМ, ВК, ВD.

То получим углы АВС, АВМ, АВК, АВD, МВК, МВD, МВС, КВD, КВС, DВС, итого 10.

Задание №2 (7 баллов)

От листа железа квадратной формы отрезали полосу шириной 25 см. Вычислите первоначальные размеры листа, если площадь оставшейся части оказалась равной 4400 см2.

Ответ: 80

Решение: Обозначим стороны исходного листа х, то у оставшейся части будут х и х-25. По формуле площади прямоугольника х(х-25)=4400. Решая данное уравнение, получим D=18225=1352 , то корни х=80 и х=-45. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.  Значит исходная длина стороны 80 см.

Задание №3 (7 баллов)

Докажите что 7+72+73+74+…..+7n делится на 400 при любом натуральном n.

Ответ: Доказательство

Методом группировки и вынесения общего множителя за скобку получаем

7(1+71+72+73)+ 75(1+71+72+73)+79(1+71+72+73)+….74n-3(1+71+72+73)=

=7*400+75*400+79*400+…+74n-3*400 =400(7+75+79+….+74n-3)  т. к. один из множителей делится на 400, то и произведение делится на 400.

Задание №4 (7 баллов)

При каких целочисленных значениях  х  дробь    можно сократить на 1998.

Ответ: при х=8

Решение:

Преобразуем исходную дробь . Отсюда следует что, . Упрощая уравнение  = 0 , корнями данного уравнения являются числа х=8 и х= - . Последнее число не является целым, таким образом, подходит число 8.

Задание №5 (7 баллов)

Начальник цеха пригласил на совещание несколько человек. Каждый участник совещания, входя в кабинет, обменивался рукопожатием со всеми присутствующими. Сколько было участников совещания, если было зафиксировано 78 рукопожатий?

Ответ: 13 (12 приглашенных и +1 начальник)
Решение: каждый провел на одно рукопожатие меньше чем количество участников (с собой он не здоровался) да и надо еще учесть, что в рукопожатие участвуют двое,  а значит рукопожатий вдвое меньше.
(n-1)n/2=78
(n-1)n=156
13*12=156