Тема: Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы
Знать: определение логарифма числа; свойства логарифмов; основное логарифмическое тождество; формулу перехода к новому основанию и ее следствия; понятия десятичных и натуральных логарифмов.
Уметь: находить значения логарифма на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами логарифмов.
Опр. Логарифмом числа 
по основанию 
( 
) называется такое число
, что 
, то есть записи 
и 
равносильны. Логарифм имеет смысл, если 
. Логарифм числа 
по основанию 
определяется как показатель степени, в которую надо возвести число 
, чтобы получить число 
(Логарифм существует только у положительных чисел).
Исходя из определения логарифма 
, легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: 
.
Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
1° 
2° 
3° 
Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.
4° 
- логарифм произведения.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
5° 
- логарифм частного.
Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
6° 
- логарифм степени.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
7° 
8° 
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
9° 
10° 
- переход к новому основанию.
Пример: Вычислить 
, если 
Решение: Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:
Ответ: 
Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:
1) 
, так как 
.
2) 
, так как 
.
3) 
, так как 
.
4) 
, так как 
.
Примеры:
1) Найти значение log2(32).
Решение: 32 можно представить как 25. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log2(32) = 5.
2) Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3.
Решение: Так как (√3)4 = 1/9, получаем, что log√3(1/9) = -4.
3) Найти х такое, что будет верно условие: log8(x) = 1/3.
Решение: Применим основное логарифмическое тождество: x = 8(log8(x)) = 8(1/8) = 2.
Опр. Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg, т. е. log 10N = lg N. Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1, 2, 3, …, т. е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1, –2, –3, …, т. е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ).
Опр. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln, т. е. log eN = ln N. Это знаменитое число e, введенное Эйлером. Число е является иррациональным, лежит между 2 и 3, и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .
- натуральный логарифм (логарифм по основанию e): 
Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n.
Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.
Примеры:
Вычисление десятичных логарифмов
1) 
так как 
2) 
так как 
3) 
4) 
Теоремы логарифмирования :
1) Если два числа при данном основании имеют один и тот же логарифм, то эти числа равны.
2) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов сомножителей.
3) Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя взятых по тому же основанию.
4) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм ее основания.
5) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.
6) Логарифмы числа N при основаниях а и b связаны соотношением, которое называется формулой перехода от логарифма по основанию b к логарифму по основанию а.
Пример 1. Упростить выражение: 
.
Для решения воспользуемся свойством: 
.
Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
.
2 способ:
.
3 способ:
.
Пример 2. Упростить выражение: 
.
.
Пример 3. Упростить выражение: 
.
.
Пример 4. Упростить выражение 
.
Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
.
2 способ:
.
Пример 5. Упростить выражение 
.
.
Пример 6. Найти значение выражения 
, если 
.
Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
.
2 способ:
.
Пример 7. Найти значение выражения: 
, если 
.
Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
.
2 способ:
.
Пример 8. Упростить выражение 
.
.
Пример 9. Упростить выражение 
.
.
Вопросы и упражнения для самоконтроля.
1. Сформулируйте определение логарифма числа.
2. Объясните, в чем заключается основное логарифмическое тождество.
3. Напишите формулу перехода к новому основанию.
4.Вычислите: 1. 
, 2. 
,3. 
,4. 
,
5. 
, 6. 
5.Найдите: 1. 
, если 
.
2. 
, если 
и 
.
Тема. Логарифмирование и потенцирование
Обучающийся должен:
Знать: понятия логарифмирования и потенцирования; свойства логарифмов.
Уметь: преобразовывать алгебраические выражения с помощью логарифмирования и потенцирования, используя теоремы логарифмирования.
Опр. Логарифмирование. Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить логарифм его через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы о логарифме произведения, частного, степени и корня. Логарифмирование – это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению loga f(x)=loga g(x)
Примеры. Прологарифмировать следующие выражения:
а) х = 3 bc ;log х = log 3 + log b + log c.
б) 
в) 
г) Найдем логарифм x = a2 · в/c
lg x = lg (a2 · в/c) = lg a2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c
Вычислить: 
Тогда по теореме о логарифме дроби
logax = loga(132 3√140) — loga5√67 • 98
Теорема о логарифме произведения дает:
loga(132 3√140) = loga132 + loga 3√140,
loga5√67 • 98 = loga5√67 + loga5√98
Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:
loga132 = 2 loga13, loga5√67 = 1/5 loga67,
loga 3√140 = 1/3 loga 140, loga5√98 = 1/5 loga 98.
Таким образом,
logax = 2 loga13 + 1/3 loga 140 — 1/5 loga67 — 1/5 loga 98.
Опр. Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения). Это операция, обратная логарифмированию. Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.
Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.
Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:
3х = 9.В результате получаем простое уравнение: х = 9 : 3 = 3.
Примеры. Пропотенцировать следующие выражения:
а) 
;
б) 
;
Вычислить: logax = 2 loga10 — 1/2 loga7 — 3 loga 3 + 1/3 loga19.
Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:
2 loga10 = loga102 = loga100,
1/2 loga7 = loga(7)1/2 = loga√7,
3 loga 3 = loga 33= loga 27,
1/3 loga19 = loga(19)1/3 = loga 3√19
После этого logax можно записать в виде
logax = loga100 — loga√7 — loga 27 + loga 3√19
Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим:
logax = (loga100 + loga 3√19 ) — (loga√7 + loga 27 ) =
= loga(100 • 3√19) — loga (√7 • 27) = loga 
.
Итак, logax = loga 
Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому
x = 
Вопросы и упражнения для самоконтроля.
1. Что называют логарифмом числа?
2. Что называют логарифмированием выражения?
3. Какое преобразование называют потенцированием?
4. Какое утверждение используется при потенцировании?
5. Как можно преобразовать сумму двух логарифмов по одному и тому же основанию?
6. Определить х из уравнений:
а) 5 log₂ х - 6 = 2 log₂ х ; б) (log₃ х )І - 3 log₃ x + 2 = 0.
7. Определить х, если: 1) 
, 2), 
, 3) 
8. Вычислить:
Дано: 
. Найти 
.
Список использованной литературы:
1. Математика /Учебник для начального и среднего профессионального образования/ - М.: Академия, 2013
2., Математика – М.: «Дрофа», 2010
3., Сборник задач по математике – М.: «Дрофа», 2010
4., Высшая математика - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002
5., Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010
6. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970
7.Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008
8.Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2013
9.Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2010
10. Математика - М.: «Академия», 2010
11. Геометрия, 10-11 /Учебник/ - М.: «Просвещение», 2006
12. и др. Алгебра и начала анализа, часть 1 - М.: «Наука», 1981
13. и др. Алгебра и начала анализа, часть 2 - М.: «Наука», 1978
