Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца-70 см, сына - 56см. Найти расстояние между этим деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.
Решение.
НОК (56;70)=280см
Если считать за совпадение их встречу в начале и в конце, то 10 совпадений – 9 расстояний по 280 см = 2520 (см).
Если не считать за совпадение их встречу в начале и в конце, то 10 совпадений – 11 расстояний ( между первым деревом и первым совпадением и между последним деревом и последним совпадением) по 280 см = 3080 (см).
Ответ : 2520см; 3080 см
Первую четверть пути велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, вторую и третью четверти всего пути – со скоростью 24 км/ч и последнюю четверть – со скоростью только 12 км/ч. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути (ответ дать с точностью до 0,1 км/ч)Решение.
Путь S=1
V | t | S |
I четверть | 20 км/ч | ј часть |
II четверть | 24 км/ч | ј часть |
III четверть | 24 км/ч | ј часть |
IVчетверть | 12 км/ч | ј часть |
(часть) - t₁ 
(часть) – t₂(₃) 
(часть) – t₄ 
(часть)t общ 
(км/ч) – V ср Ответ: 18,5 км/ч
3)Представить 1
в виде суммы трех дробей, числители которых равны 1
Решение.
Пусть 1 дробь - 
; 2 дробь - 
; 3 дробь - 
;
Тогда 
Если х=1 , то дробь не получится.
Если х=2, то 
равны:
(y=2, z=12)
(y=3, z=4)
Если х=3, то 
равны:
не подходит
такой вариант уже был
не подходит
Если х=4, то 
равны:
не подходит
не подходит
Ответ : 
;
и 
;
4) На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое его ребро увеличить на 20%?
Решение.
Предположим, что ребро куба равно а, тогда площадь поверхности куба
Sповер куба была= 6а2., при увеличении каждого ребра на 20% ,
Sповерх куба стала = 6* 1,2а*1,2а=6*1,44 а2
Sповерх куба стала - Sповерх куба была= 6*1,44а2-6*а2=6а2(1,44-1)=6*а2*0,44
Мы видим, что площадь увеличилась в 0,44 раз, то есть на 44%
Ответ: на 44%
5)Найдите сумму 1+2+3+…+111.
Решение.
Воспользуемся способом К. Гаусса
1+2+3…..+111=(1+111)+(2+110)+…+(55+57)+56+112*55+56=6216
Ответ: 6216
Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 часа, а другой - за 3,75 часа. За какое время наполняют бассейн оба фонтана?Решение.
Пусть весь бассейн -1
(часть/ч)- производительность первого фонтана 
(часть/ч)- производительность второго фонтана 
(часть/ч)- общая производительность 
(ч) – общее время Ответ : 1,5ч
7)Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7 ч 38 мин.
Решение.
Окружность равна 360°. Часовая стрелка делит окружность на 12 частей, значит деление в один час равно 30°. Минутная стрелка делит окружность на 60 частей. Следовательно деление в одну минуту равно 6°.
Часовая стрелка за 7 часов пройдет 210°. 7*30°=210°
А за 38 минут она пройдет еще 19°.
60 минут - 30°
38 минут - х°
Х= (30+38)/60
Х=19 (°)
Следовательно, часовая стрелка сдвинется на 229°= 210°+19°
Минутная стрелка за 38минут пройдет 228°
Так как 228°=38*6°
Следовательно, угол между стрелками будет равен 1°
229°-228° =1°
Ответ : 1°
8) Докажите, что при a=b+1 выполняется следующее тождество:
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )…(a16+b 16 )=a 32 - b 32
Решение.
a 2-b 2=(a+b) (a-b)
1 способ.:
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )…(a16+b 16 )=a 32 - b 32
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8)(a16+b 16 )=(a 16 )2-(b 16 )2
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8)(a16+b 16 )=(a 16 - b 16 ) (a16+b 16 )
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8) =(a 16 - b 16 )
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8) =(a 8 )2-(b 8 )2
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8) =(a 8-b 8) ( a8+b 8)
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )=(a 8-b 8)
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )=(a 4)2-(b 4) 2
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )=(a 4-b 4) (a 4+b 4 )
(a+b)(a 2+b 2 )=(a 4-b 4)
(a+b)(a 2+b 2 )=(a 2 )2-(b 2) 2
(a+b)(a 2+b 2 )=(a 2 - b 2) (a 2+b 2 )
(a+b)=(a 2 - b 2)
(a+b)=(a - b ) (a+b)
1= (a - b )
1=b+1-b
1=1
Тождество доказано
2 способ:
a=b+1 , a-b=b+1-b=1
При умножении на 1 ничего не измениться, поэтому умножим левую часть тождества на
(a-b),
(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )…(a16+b 16 )=a 32 - b 32
(a-b)(a+b)(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8)(a16+b 16 )= a 32 - b 32
(a 2-b 2 )(a 2+b 2 )(a 4+b 4 )( a8+b 8)(a16+b 16 )= a 32 - b 32
(a 4-b 4 )(a 4+b 4 )( a8+b 8)(a16+b 16 )= a 32 - b 32
( a8-b 8)( a8+b 8)(a16+b 16 )= a 32 - b 32
(a16-b 16 ) (a16+b 16 )= a 32 - b 32
a 32 - b 32= a 32 - b 32
1=1
Тождество доказано
9) Улитка ползет по столбу высотой 10м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4м. За какое время улитка доберется от подножия до вершины столба? 10) Разделить семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более чем на 4 части
Решение.
В первые сутки улитка поднимется на 5 м и спуститься на 4 м, то есть поднимется вверх на 1 м от земли. То же самое произойдет во вторые, третьи, четвертые, пятые сутки. Днем на шестые сутки улитка поднимется на 5 м, но спускаться не будет ( она поднялась на столб)
Ответ: 5 суток и 1 день
10) Разделить семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более чем на 4 части
Решение.
Мы должны дать каждому человеку по 7/12 яблока, разделить яблоко можно на 2, 3, 4 части
не подходит, потому что нельзя делить на 12 частей,
подходит
Три яблока мы делим на 4 части, и четыре яблока делим на 3 части.
Ответ. Три яблока мы делим на 4 части, и четыре яблока делим на 3 части
