Лекция по теме «Некоторые следствия из аксиом»

Лекция по теме «Некоторые следствия из аксиом»

Мы познакомимся со следствиями из аксиом стереометрии и их доказательствами, применим  эти свойства  при решении задач. Их мы сформулируем в виде теорем.	`
Первое  следствие из аксиом. Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.	Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.
Дано: прямая a точка A не принадлежащая  на прямой a Доказать: Существует единственная плоскость , проходящая через прямую  a и точку A Доказательство Докажем существование плоскости. Отметим на прямой a любые две точки B и C. Так как три точки A, B, C не лежат на одной прямой, то  существует плоскость , проходящая через эти точки. Это следует из аксиомы А1. Так как две точки B и C прямой a  принадлежат плоскости, то плоскость проходит через прямую a (по аксиоме А2). Итак, плоскость проходит через прямую a и точку A. – искомая плоскость. 2) Докажем единственность плоскости. Любая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через три точки: B, C и A. Мы знаем, что через три точки проходит единственная плоскость. Это следует из аксиомы А1. Поэтому плоскость  совпадет с плоскостью б. Теорема доказана.	Дано: Доказать: 1) 2) Доказательство. Существование. Отметим точки: . (Аксиома А1) (Аксиома А2) – искомая плоскость. Единственность. Любая другая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через  B, C  и A. Через три точки проходит единственная плоскость (аксиома А1). Поэтому плоскость совпадет с плоскостью б. Теорема доказана
Второе следствие из аксиом. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: Прямые a и b, пересекающиеся в точке A. Докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна	Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: a, b Доказать: 1) 2)
Доказательство. Докажем, что такая плоскость существует. На прямой b отметим произвольную точку B, отличную от A. Через точку B и прямую a мы можем провести плоскость . По первой теореме. Так как две точки A и B прямой b  принадлежат плоскости , то плоскость проходит через прямую b. Получается, плоскость проходит через обе прямые. – искомая плоскость. Теперь докажем, что такая плоскость единственная. Допустим противное: существует другая  плоскость, например плоскость в, которая проходит через прямые a и b. Тогда плоскость в должна проходить  и через точку B. Через прямую a и  точку B  проходит единственная плоскость (по теорема 1). Поэтому плоскость в совпадает с плоскостью б. Противоречие. Мы предполагали, что плоскости разные. Значит, исходное предположение неверное. Плоскость – единственная. Теорема доказана.	Доказательство. Существование. Пусть . Проведем плоскость через a и B. (по аксиоме А2) Плоскость проходит через обе прямые. – искомая плоскость. Единственность. Пусть Тогда Через a и B проходит единственная плоскость. Поэтому . Получили противоречие. Значит, предположение неверное, – единственная плоскость. Теорема доказана.
Перейдем к решению задач. Мы можем опираться, пока, на три аксиомы, две теоремы, которые доказали и все факты планиметрии.
Задача 1. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые AB и CD пересекаться? Ответ обоснуйте. Решение. Если  AB и CD  пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом). Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит  условию задачи. Ответ: Нет	Задача 1. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые AB и CD пересекаться? Ответ обоснуйте. Решение. Если  AB и CD пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом). Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи. Ответ: Нет
Задача 2. Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; Решение Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки. Приведем пример. На экране вы видите окружность, две точки которой принадлежат плоскости , но вся окружность не лежит в этой плоскости. Ответ: Нет. Задача 3. Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит  в этой плоскости? Пусть три данные точки A, B и C окружности лежат в некоторой плоскости . Так как любые три точки окружности A, B, C не лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, B и C проходит единственная плоскость . Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости. Поскольку в этой же  плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью Итак, вся окружность лежит  в плоскости, в которой лежат три ее точки. Ответ: Верно.	Задача 2. Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; Решение Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки. Это наглядно видно из примера Ответ: нет. Задача 3. Пусть Так как любые три точки окружности A, B, Cне лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, Bи C проходит единственная плоскость. Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости. Поскольку в этой же  плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью Итак, вся окружность лежит  в плоскости, в которой лежат три ее точки. Ответ: Верно.
Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M? Дано: Две прямые a и b пересекаются в точке M. Некоторая прямая cпересекает прямые aи bв точках A и B. Прямая d проходит через точку M Доказать, что прямые a, b, cлежат в одной плоскости. Определить, лежат ли в одной плоскости a, b, d. Решение. Так как прямые a b пересекаются, то существует плоскость , проходящая через эти прямые. Это 2 следствие аксиом. Две точки A и Bлежат в плоскости , поэтому прямая ABлежит в плоскости (аксиома А2). Так как с и AB –  обозначения одной и той же прямой, то прямая c лежит в плоскости . Получается, что все прямые лежат в одной плоскости Что и требовалось доказать. 2. Все прямые, проходящие через точку M, не обязательно лежат в плоскости . По аксиоме А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости, а у нас в плоскости альфа лежит только одна точка М Это наглядно показано на примере. Прямая d проходит через точку M, но не лежит в плоскости .	Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точкуM и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M? Дано: a, b : Доказать: a, b, c – лежат в одной плоскости Определить: Лежат ли a, b, d в одной плоскости? Решение. (2 следствие аксиом). Все прямые, проходящие через точку M, не обязательно лежат в плоскости . (по А2: необходимо чтобы две точки прямой лежали в плоскости) Пример: