6 класс, серия разминочная – про делители
1. а) Шли с работы два маляра, и встретили ещё двоих маляров. У каждого из маляров руки испачканы краской своего цвета. Каждый хочет пожать руку каждому из встретившихся, но не хочет испачкаться новой краской. Удастся ли им обменяться рукопожатиями, если есть две чистые резиновые перчатки? б) То же, но один маляр встретил троих?
2. Есть кран с водой, раковина и три сосуда 3л, 4л и 5л без делений, где в самом маленьком сосуде – 3л сиропа. Как с помощью переливаний получить 6л смеси воды с сиропом в пропорции 1:1?
3. В ряд слева направо лежит 33 кошелька, в каждом по 100 монет. Из одного кошелька часть монет переложили: по одной монете в каждый из кошельков справа от него. За один вопрос можно узнать суммарное число монет в любом наборе кошельков. За какое наименьшее число вопросов можно гарантированно вычислить "облегченный " кошелек?
4. Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.
5. Числитель и знаменатель положительной дроби увеличили на 10. Могла ли дробь при этом уменьшится?
6. а) Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей — 28. б) Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
7. Может ли количество четных делителей некоторого числа быть а) в полтора раза больше; б) в полтора раза меньше количества нечетных делителей?
8. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?
9. Найти число вида m = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.
10. Пусть n - натуральное число такое, что n+1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.
6 класс, серия разминочная – про делители
1. а) Шли с работы два маляра, и встретили ещё двоих маляров. У каждого из маляров руки испачканы краской своего цвета. Каждый хочет пожать руку каждому из встретившихся, но не хочет испачкаться новой краской. Удастся ли им обменяться рукопожатиями, если есть две чистые резиновые перчатки? б) То же, но один маляр встретил троих?
2. Есть кран с водой, раковина и три сосуда 3л, 4л и 5л без делений, где в самом маленьком сосуде – 3л сиропа. Как с помощью переливаний получить 6л смеси воды с сиропом в пропорции 1:1?
3. В ряд слева направо лежит 33 кошелька, в каждом по 100 монет. Из одного кошелька часть монет переложили: по одной монете в каждый из кошельков справа от него. За один вопрос можно узнать суммарное число монет в любом наборе кошельков. За какое наименьшее число вопросов можно гарантированно вычислить "облегченный " кошелек?
4. Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.
5. Числитель и знаменатель положительной дроби увеличили на 10. Могла ли дробь при этом уменьшится?
6. а) Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей — 28. б) Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
7. Может ли количество четных делителей некоторого числа быть а) в полтора раза больше; б) в полтора раза меньше количества нечетных делителей?
8. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?
9. Найти число вида m = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.
10. Пусть n - натуральное число такое, что n+1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.
