Движение тела, брошенного под углом к горизонту и брошенного горизонтально с некоторой высоты

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ И БРОШЕННОГО ГОРИЗОНТАЛЬНО С НЕКОТОРОЙ ВЫСОТЫ

Движение тела, брошенного горизонтально с  некоторой высоты, можно разложить на два независимых  движения: равномерное прямолинейное, происходящее в  горизонтальном направлении со скоростью vx, равной начальной скорости бросания ( =   и свободное падение с высоты, на которой находилось тело в момент бросания, с ускорением g. Для описания этого движения  выбирают прямоугольную систему координат ХОУ. 

Траекторией движения является ветвь параболы.

Уравнения движений по осям Ох и Оу:

0x:  x=t

0y:  y= - 

Скорость тела в любой точке траектории можно определить по формуле:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту,  можно разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное, происходящее в горизонтальном  направлении с начальной скоростью

и свободное падение с  начальной скоростью

,  где б — угол между  направлениями вектора скорости и осью Ох. Траекторией такого  движения является парабола. Уравнения движений примут вид:

0x: x=t

0y: y= t - 

Скорость тела в любой точке траектории:

, где ,

Формулы высоты, дальности и времени полета  получены с помощью проекций уравнений движения на оси Ох и Оу, с учетом выбора направления осей координат.

Найдем траекторию тела, брошенного под углом к горизонту, при условии, что на всем пути его движения ускорение свободного падения остается постоянным.

Пусть тело брошено из точки О с начальной скоростью под углом б к горизонту (рис. 1.35).

Выберем оси координат так, чтобы векторы и были расположены в какой-либо координатной плоскости, например в плоскости ХОY. Ось ОХ направим горизонтально, а ось ОY - вертикально вверх. Начало координат выберем в точке бросания – точке О.

Так как ускорение свободного падения с течением времени не меняется (g = 9,8 м/c2), то движение тела в данном случае, как и любое движение с постоянным ускорением, можно описать уравнениями

  x =t(1.1)  y = t +    (1.2)

При выбранном начале координат x0=0  и  y0=0.  Проекцию вектора на какую-либо ось можно выразить через модуль вектора и косинус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси. 

Относительно оси  0Х  тело движется равномерно:

t +    ,

т. е.  ,  но х 0 = 0, 

Относительно оси 0У тело движется ускорено с ускорением свободного падения g:

t +

t + 

Из рисунка  видно, что
, ,  

Поэтому уравнения (1.1) и (1.2) можно записать в виде:  t +   

(1.3)    (1.4)

Для построения траектории тела можно найти значения координат х и у  из уравнений (1.3) и (1.4) для различных моментов времени, а затем по координатам построить точки и соединить их плавной линией. 

Но траекторию тела можно найти и по-другому.

Довольно несложный  расчет позволит нам получить уравнение, устанавливающее зависимость между координатами х и у. Такое уравнение называется уравнением траектории.

Чтобы получить уравнение траектории, нужно из уравнений (1.3) и (1.4) исключить время.

Из уравнения (1.3) имеем .  Следовательно,

Пусть

    , 

тогда  - квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Тогда (1.5)

Из курса алгебры известно, что графиком функции (1.5) является парабола, ось симметрии которой - прямая, параллельная оси Y. Поскольку в данном случае b<0, то ветви параболы направлены вниз.

На рисунке 1.36 изображена парабола для случая

b = - 0,2 м-1  и  с =1,6. 

Итак, мы доказали, что если ускорение свободного падения постоянно, то тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе.

Теперь выясним, какой будет траектория тела, если его начальная скорость направлена горизонтально.

  Из рисунка 1.36 видно, что, начиная с того момента, когда скорость тела горизонтальна, оно движется по ветви параболы. Следовательно, любое тело, брошенное горизонтально, будет двигаться по одной из ветвей параболы, вершина которой находится в точке бросания (рис.1.37).

Наглядное представление о траектории тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, можно получить на простом опыте (рис.1. 38). Так как каждая частица воды движется по параболе, то струи воды имеют форму параболы. В этом легко убедиться, поставив за струей экран с заранее вычерченной параболой. При определенной скорости истечения воды струя будет располагаться вдоль вычерченной параболы.