Задания

17. Компания заключила контракт на покупку оборудования. Договор устанавливает график платежей: 150 тыс. руб. через два месяца, 200 тыс. руб. через 4 месяца и 400 тыс. руб. через 6 месяцев. Для обеспечения платежей финансовый директор решил создать целевой фонд и использовать его для срочных вкладов. Виды вкладов для юридических лиц описаны в табл. 13. Все вклады доступны в каждом месяце.

Таблица 13

Данные к задаче 17

Номер варианта	1	2	3	4
Срок вклада (месяцы)	1	2	3	6
Доходность (% годовых)	6,25	6,5	7,5	8,25

17.1. Постройте математическую модель для определения минимального размера фонда.

17.2. Определите оптимальный план вложений.

17.3. Как изменится оптимальное решение, если в момент 1 вклад на три месяца невозможен?

18. Проект развития производства предусматривает три этапа: расширение производственной площади (выполняет подрядчик), монтаж нового оборудования (выполняет производитель оборудования) и наладку оборудования (выполняет специализированная фир­ма). Затраты времени и денег на каждый этап указаны в табл. 14.

Таблица 14

Данные к задаче 18: этапы проекта

Этап	1	2	3
Длительность (месяцы)	2	3	1
Стоимость (тыс. руб.)	200	900	300

Работы оплачиваются после завершения каждого этапа. Предприятие создает целевой фонд для вложения денег под проценты с целью финансирования проекта. Возможные варианты вкладов, доступные в каждом месяце, указаны в табл. 15.

Таблица 15

Данные к задаче 18: варианты вкладов

Номер варианта	1	2	3	4
Срок вклада (в месяцах)	1	2	3	6
Доходность (% годовых)	6	7,2	7,5	8
Возможные моменты вложения	0, 1, 2, 3, 4, 5	0, 2, 4	0, 3	0

18.1. Найдите минимальный размер целевого фонда и оптимальный план вложений.

18.2. Как изменится оптимальное решение, если станет возможным вклад на два месяца в момент 1?

19. Инвестор рассматривает варианты вложений 500 тыс. руб. в ценные бумаги и в банк (срочный вклад). Требования к инвестиционному портфелю следующие:

1) все средства должны быть инвестированы;

2) не менее 100 тыс. руб. должны находиться на банковском счете;

3) не менее 25% средств, инвестированных в акции, должны быть вложены в акции с низким риском;

4) в облигации нужно инвестировать по меньшей мере столько же, сколько в акции;

5) не более 125 тыс. руб. следует вложить в ценные бумаги с доходом менее 10% годовых.

Характеристики доступных ценных бумаг и банковского вклада приведены в табл. 16.

Таблица 16

Данные к задаче 19

Акции A	Акции B	Акции C	Облигации	Банковский
долгосрочные	краткосрочные	вклад
Риск	Высокий	Средний	Низкий	Низкий	Низкий	Низкий
Годовая доходность	15%	12%	9%	11%	8%	6%

Составьте математическую модель, позволяющую найти портфель инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина максимального дохода?

20. Производственное предприятие планирует осуществить инвестиционный проект, для чего к началу года была накоплена сумма в размере 59 млн. руб. Ежемесячные расходы на осуществление проекта представлены в табл. 17.

Таблица 17

Данные к задаче 20: расходы по проекту

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Расходы, млн. руб.	3	3,2	3,5	4	5	8	9,3	8	7	6	5	3

Так как полные затраты на проект превышают накопленную сумму, а в начале года есть избыток средств, предприятие приняло решение вложить свободные средства в приобретение краткосрочных облигаций. Характеристики облигаций приведены в табл. 18.

Таблица 18

Данные к задаче 20: характеристики облигаций

Срок обращения	1 месяц	2 месяца	6 месяцев	12 месяцев
Годовая доходность	18%	20%	24%	30%
Цена облигации, млн. руб.	1	3	5	10

20.1. Запишите математическую модель для построения плана вложений, обеспечивающего финансирование проекта и максимизирующего доход от свободных средств. Для определения дохода от облигаций используйте формулу простых процентов.

20.2. Какой суммой будет обладать предприятие в конце года?

21. Компания, имеющая 20 млн. руб. в инвестиционном фонде, планирует вложения на ближайшие четыре года. Опишем доступные варианты инвестиций, полагая, что момент 0 – это начало планового периода, а момент t ∈ – конец года t.

Проект 1: вложение средств в момент 0, получение дохода (30 % вклада) в момент 2, возврат вложенной суммы в момент 3.

Проект 2: вложение в момент 1, доход в размере 30 % вклада в момент 3, возврат вклада в момент 4.

Проект 3: вложение в момент 0, возврат средств с доходностью 75 % в момент 4.

Проект 4: вложение в момент 2, возврат средств с доходностью 40 % в момент 4.

Проект 5: вложение в момент 0, возврат средств с доходностью 20 % в момент 3.

Срочный (годовой) банковский вклад: доходность 6 %.

В каждый проект можно вложить не более 10 млн. руб., банковские вклады не ограничены. Доходы по вкладам и возвращенные средства могут быть реинвестированы.

Цель компании – максимизировать размер фонда в момент 4.

21.1. Постройте математическую модель операции, решите соответствующую ЗЛП.

21.2. Найдите доходность вложений, которую дает оптимальный план.

21.3. Найдите максимальную доходность, которую можно получить (в тех же условиях), имея 1 млн. руб. в момент 0.

21.4. Прокомментируйте соотношение результатов подзадач 21.2 и 21.3.

22. В табл. 19 указаны виды годовых кредитов, выдаваемых банком, и процентные ставки по этим кредитам. Некоторые виды кредитов обязательно должны быть обеспечены залогом. Кроме того, банк может приобретать государственные ценные бумаги.

Таблица 19

Данные к задаче 22

Процентная ставка
Кредиты обеспеченные	Жилищный	11
Коммерческий	12
На покупку автомобиля	15
На ремонт дома	13
Кредиты необеспеченные	Потребительский	17
Учебный	10
Государственные ценные бумаги	9

Структура активов банка должна удовлетворять следующим условиям:

(а) сумма обеспеченных кредитов должна быть хотя бы в четыре раза больше, чем сумма необеспеченных;

(б) кредиты на покупку автомобиля и ремонт дома в сумме – не более 20 % всех обеспеченных кредитов;

(в) доля учебных кредитов в общем объеме необеспеченных кредитов – не меньше 30 %;

(г) потребительские кредиты должны занимать не более 10 % от объема кредитования;

(д) в государственные бумаги следует вложить от 10 % до 20 % всех средств.

Цель банка – распределить средства так, чтобы максимизировать ежегодный доход.

22.1. Запишите математическую модель операции.

22.2. Найдите оптимальную структуру активов. Зависит ли она от величины распределяемых средств?

23. В течение пяти лет (плановый период) инвестору доступны пять вариантов вложения денег.

По вариантам 1 и 2 можно вкладывать деньги в начале каждого года. Вклад по варианту 1 возвращается в конце того же года с прибыльностью 25 %, а по варианту 2 – в конце следующего года с прибыльностью 60 %. Варианты 3 и 4 доступны, начиная с третьего года. Вклад, сделанный в начале года по варианту 3, возвращается через три года с прибыльностью 110 %, в вклад по варианту 4 – через два года с прибыльностью 70%. С четвертого года можно использовать вариант 5, который дает 28 % прибыли в год.

23.1. Сформулируйте и решите ЗЛП для расчета плана вложений, максимизирующего прибыль к концу планового периода, предполагая, что в начале планового периода инвестор располагает суммой K = 60 млн. руб.

23.2. Как зависит оптимальный план от величины K?

24. Клиент трастовой компании поручил ей управление инвестициями на сумму 3 млн. руб. Клиент пожелал, чтобы в его инвестиционный портфель входили акции только трех указанных им фирм. В табл. 20 указаны характеристики этих акций: ожидаемый годовой доход на одну акцию, цена и предложение по этой цене.

Таблица 20

Данные к задаче 24

Доход на одну акцию, руб.	Цена акции, руб.	Предложение (число акций)
Фирма 1	210	1800	1000
Фирма 2	90	750	1000
Фирма 3	90	600	1500

Какой портфель акций должна сформировать компания, чтобы клиент получил максимальный годовой доход?

25 (с решением). Фирма владеет четырьмя заводами, которые производят однородную продукцию. Себестоимость продукции складывается из производственных затрат и стоимости сырья. Фирма продает продукцию в пять пунктов розничной продажи по оптовым ценам, которые определены отдельными соглашениями. Известны мощности заводов, максимальный товарооборот в каждом пункте сбыта и удельные транспортные затраты. Исходные данные – в табл. 22 – 24. Фирма стремится максимизировать прибыль.

Таблица 22

Задача 25: характеристики заводов

Завод, i	1	2	3	4
Мощность (ед. прод.), Si	200	250	325	150
Производственные затраты (руб./ед. прод.), ci	600	750	570	600
Стоимость сырья (руб./ед. прод.), qi	300	270	360	240

Таблица 23

Задача 25: характеристики пунктов сбыта

Пункт сбыта, j	1	2	3	4	5
Максимальный товарооборот (ед. прод.), Dj	130	160	200	150	210
Оптовая цена (руб./ед. прод.), pj	1200	1260	1230	1260	1230

Таблица 24

Задача 25: транспортные затраты (руб./ед. прод.), cij

Пункт сбыта
Завод	1	2	3	4	5
1	120	90	150	210	180
2	300	210	270	150	240
3	360	150	120	270	210
4	570	180	210	90	180

25.1. Запишите математическую модель операции.

25.2. Найдите план производства и распределения продукции, максимизирующий прибыль.

25.3. Есть ли у задачи альтернативное решение?

26. Шесть асфальтобетонных заводов (АБЗ) поставляют смесь для строительства пяти участков дорог. Смесь перевозят в специальных машинах. Затраты (в рублях) на доставку одной машины смеси указаны в табл. 24 (строки 2 – 7, столбцы 2 – 6).

Таблица 25

Данные к задаче 26

Участок 1	Участок 2	Участок 3	Участок 4	Участок 5	Мощность АБЗ
АБЗ 1	1200	1250	850	900	1350	65
АБЗ 2	1250	950	1250	850	700	46
АБЗ 3	1400	1000	1200	1050	850	52
АБЗ 4	1350	850	800	750	1200	29
АБЗ 5	1300	650	1300	1050	1300	28
АБЗ 6	1500	850	1000	1250	700	67
Заявка	79	28	61	77	72

Заявки строительных бригад на поставку смеси (число машин) приведены в последней строке таблицы, мощности заводов (число машин в сутки) – в последнем столбце.

26.1. Запишите математическую модель для поиска плана перевозок, удовлетворяющего потребности в наибольшей степени и с минимальными транспортными затратами. Найдите оптимальный план. Как распределился дефицит смеси между участками?

26.2. Пересчитайте план перевозок с дополнительным условием полного выполнения заявки участка 1. Сравните его с планом, построенным в задании 26.1.

26.3. В условиях задания 26.2 найдите оптимальный план, в котором заявка участка 3 выполнена максимально.

26.4. Отменим дополнительные условия заданий 26.2 и 26.3. Предположим, что маршрут, по которому перевозят смесь от АБЗ 6 до участка 5, удлинился вследствие ремонтных работ на трассе. Из-за этого стоимость доставки одной машины смеси по указанному маршруту выросла на 300 руб. Какой выигрыш можно получить, если в новых условиях выполнять соответствующий оптимальный план, а не план, построенный в задании 26.1?

27. Предприятие добывает железную руду в четырех карьерах и направляет ее на горно-обогатительные комбинаты (ГОКи). В табл. 26 указаны объемы добычи руды для карьеров (последняя строка), мощности ГОКов по переработке руды (последний столбец) и затраты на перевозку руды (тыс. руб. на 1 тыс. т). Предприятие стремится доставить всю добытую руду на ГОКи с минимальными затратами.

Таблица 26

Данные к задаче 27

Карьер 1	Карьер 2	Карьер 3	Карьер 4
Транспортные затраты	Мощность ГОК, тыс. т в месяц
ГОК 1	7	5	4	3	250
ГОК 2	4	4	5	2	150
ГОК 3	5	6	6	5	270
Объем добычи, тыс. т в месяц	170	130	190	200

27.1. Запишите математическую модель операции. Является ли построенная транспортная задача сбалансированной? Как формализуется условие доставки всей добытой руды?

27.2. Найдите оптимальный план перевозок. Какой ГОК имеет избыточную мощность?

27.3. Предположим, что с карьера 1 на ГОК 2 можно доставить не более 50 тыс. т руды в месяц и, кроме того, состояние дороги не позволяет транспортировать руду с карьера 4 на ГОК 3. Найдите оптимальный план перевозок и минимальные транспортные затраты в новой ситуации.

28. Компания производит однородную продукцию сезонного спроса. К началу трехмесячного периода пикового спроса компания имеет запас продукции в количестве 10 единиц и договоры о поставке продукции: 55 единиц в первом месяце, 70 – во втором и 75 – в третьем. По условиям договоров все поставки должны быть выполнены не позже конца периода со штрафом за отсроченную поставку в размере 3 тыс. руб. за единицу продукции в месяц. Досрочные поставки допускаются.

Нормативная мощность предприятия – 50 единиц продукции в месяц. Использование сверхурочной работы позволяет произвести дополнительно 5 единиц продукции в месяц. За счет аренды оборудования предприятие может расширить производство в первом месяце – на 12, во втором – тоже на 12 и в третьем – на 10 единиц продукции.

Издержки на производство единицы продукции равны 60 тыс. руб. в нормальном режиме и возрастают на 20 тыс. руб. при сверхурочной работе на собственном оборудовании. Аренда оборудования увеличивает удельные затраты до 90 тыс. руб.

Нужно разработать план производства и поставок продукции с минимальными суммарными затратами.

28.1. Постройте математическую модель операции в виде транспортной задачи. Как следует описать поставщиков и потребителей продукции? Как рассчитать затраты, связанные с производством продукции в третьем месяце на арендованном оборудовании в счет поставок второго месяца?

28.2. Найдите оптимальный план. Укажите оптимальные объемы производства в каждом месяце в нормальном режиме, с использованием сверхурочной работы и на арендованном оборудовании. Как используется в оптимальном плане исходный запас продукции?

28.3. Для каждого месяца распределите оптимальные затраты компании по следующим статьям: производство, оплата сверхурочной работы, аренда оборудования, штрафы.

29. Фирме принадлежат заводы, расположенные в пунктах А, Б, В. Каждый завод выпускает базовую продукцию фирмы с некоторыми модификациями. Склады продукции расположены в пунктах производства. С этих складов продукция доставляется четырем оптовым заказчикам. Запасы на складах и размеры заказов (в единицах продукции) указаны в табл. 27. Там же приведены затраты на транспортировку единицы продукции.

Таблица 27

Данные к задаче 29

Склад А	Склад Б	Склад В
Транспортные затраты	Заказ потребителя
Потребитель 1	11	8	16	8800
Потребитель 2	26	24	34	5800
Потребитель 3	19	20	28	2900
Потребитель 4	22	21	17	2100
Запас на складе	7250	10150	4350

29.1. Предполагая, что продукция всех заводов равноценна для потребителей, найдите план удовлетворения спроса с минимальными затратами.

29.2. Допустим, что потребитель 1 не хочет получать продукцию завода В, а потребителю 2 не подходит продукция завода Б. Как можно учесть эти особенности спроса в транспортной задаче?

29.3. В ситуации заданий 29.2 найдите план перевозок, удовлетворяющий спрос и минимизирующий транспортные затраты.

30 (задача о назначениях). Компания, разрабатывающая программные продукты, получила 5 заказов. Эти заказы нужно распределить между сотрудниками так, чтобы каждый программист выполнял один заказ. Цель компании – минимизация суммарных затрат рабочего времени на выполнение заказов. Трудоемкости выполнения заказов для каждого программиста указаны в табл. 28.

Таблица 28

Данные к задаче 30

Затраты времени (число рабочих дней)
Заказ 1	Заказ 2	Заказ 3	Заказ 4	Заказ 5
Программист 1	46	59	24	62	67
Программист 2	47	56	32	55	70
Программист 3	44	52	19	61	60
Программист 4	47	59	17	64	73
Программист 5	43	65	20	60	75

30.1. Постройте математическую модель операции и найдите оптимальное распределение заказов между программистами.

30.2. Как изменятся математическая модель операции, распределение и суммарное время выполнения заказов, если компания примет на работу еще одного программиста с указанными в табл. 29 характеристиками?

Таблица 29

Задание 30.2: характеристики программиста 6

Заказ 1	Заказ 2	Заказ 3	Заказ 4	Заказ 5
Затраты времени (число рабочих дней)	46	59	24	62	67

31. В условиях задания 30.2 предположим, что труд программистов оплачивается в соответствии с табл. 30, а компания стремится выполнить все заказы с минимальными затратами.

Таблица 30

Задача 31: оплата труда программистов (тыс. руб. в день)

Программист
1	2	3	4	5	6
Оплата труда	1	2	1.5	2	1.57	2

Найдите оптимальное (по указанному критерию) распределение заказов. Сравните его с распределением, построенным в задании 30.2, и прокомментируйте различия.

32. Аудиторская фирма имеет заявки на проведение аудита от десяти предприятий. Эти заявки нужно распределить между пятью группами аудиторов. Каждая группа должна быть назначена на одно предприятие. Поручать аудит одного предприятия двум группам нецелесообразно. Перед проведением аудита группа должна потратить некоторое время на изучение объекта и консультации. В таблице указано время, необходимое для подготовки к аудиту (в зависимости от типа и размера предприятия, числа и квалификации членов группы). Прочерк в ячейке (i, j) означает, что нежелательно поручать группе j проведение аудита на предприятии i. Фирма стремится распределить аудиторов так, чтобы выполнить максимальное число заявок и минимизировать суммарное время, затраченное всеми группами на подготовку к аудиту.

Таблица 30

Данные к задаче 32

Группа 1	Группа 2	Группа 3	Группа 4	Группа 5
Предприятие 1	8	14	9	11	4
Предприятие 2	21	18	15	–	9
Предприятие 3	15	17	18	14	2
Предприятие 4	13	19	16	7	12
Предприятие 5	9	12	16	23	7
Предприятие 6	17	6	15	9	6
Предприятие 7	18	–	11	6	9
Предприятие 8	7	15	13	18	3
Предприятие 9	26	24	21	–	18
Предприятие 10	9	13	19	7	5

32.1. Постройте математическую модель операции. Как обеспечить выполнение максимального числа заявок? Как отразить в модели нежелательные назначения?

32.2. Найдите оптимальное (в смысле построенной модели) распределение аудиторов.

Подготовка к контрольной работе. Предприятие производит продукты А, Б, В, используя ресурсы 1, 2, 3. Удельные затраты ресурсов на выпуск продукции описаны матрицей

1	2	4
A =	0	3	2	,
7	2	3

запасы ресурсов заданы вектором-столбцом b = (700, 400, 800)T, удельная прибыль для каждого продукта указана вектором-строкой c = (2, 2, 4). Цель операции Ї найти план производства, максимизирующий прибыль.

(1) Постройте модель операции в виде задачи линейного программирования.

(2) Решите задачу с помощью надстройки «Поиск решения» пакета MS Excel.

(3) Охарактеризуйте оптимальный план (прибыль, объемы производства продуктов, использование ресурсов).

(4) Запишите матрицу A1 канонической формы задачи, решение канонической формы x*, оптимальный базис в*, базисную матрицу и обратную базисную матрицу. Является ли БДР x* вырожденным?

(5) Найдите базисное решение x(в), соответствующее базису в, составленному из столбцов матрицы A1 с номерами 1, 2, 4. Проверьте допустимость и оптимальность базиса в.

33 Дана ЗЛП

f(x) = x1 + x2 + 3x3 → max  при условиях  x1 + x3 ≤ 2,  x2 + x3 ≤ 2, x = (x1, x2, x3)T ≥ 03.

Запишите матрицу канонической формы задачи, перечислите все ее базисы и соответствующие базисные решения. Проверьте допустимость и оптимальность базисов, невырожденность базисных допустимых решений.

36. Дана задача линейного программирования P:

f(x1, x2) = 2x1 + x2 → max  при условиях:  –x1 + x2 ≤ 2,  x1 + 2x2 ≤ 8,  2x1 – 3x2 ≤ 6,  (x1, x2)T ≥ 02.

36.1. Изобразите на координатной плоскости множество допустимых решений задачи.

36.2. Приведите задачу к канонической форме P1. Запишите матрицу задачи P1.

36.3. В пространстве решений задачи P выбраны точки

x(1) = (1, 2)T, x(2) = (0, 2)T, x(3) = (4/3, 10/3)T, x(4) = (36/7, 10/7)T.

Найдите соответствующие точки u(i), i ∈ , в пространстве решений задачи P1. Если точка u(i) является базисным допустимым решением задачи P1, то найдите ее базис и проверьте его оптимальность.

36.4. Проверьте оптимальность найденных базисов при ЦФ f1(x1, x2) = x1 + 2x2.