Задания

Задача 1. Найдите сумму коэффициентов многочлена .

Задача 2. Чему равняется 25-я цифра (если считать справа налево) числа 100! (сто факториал)?

Задача 3. Сравните два числа (2018!)2 и 20182018.

Задача 4. Найдите коэффициенты при n21 и n23 после раскрытия скобок (и приведения подобных членов) в выражении (n13 + n4 + 1)16.

Задача 5. Докажите, что при любом целом и действительном значении х, таком что , справедливо следующее неравенство:

.

Задача 6. Даны два выражения:

и

.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то в каком из выражений при будет стоять больший коэффициент?

Задача 7. На доске написаны числа от 1 до 2018. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делает первый ход, если нет – партнёр. Кто из них гарантированно выигрывает при правильной игре.

Задача 8. В некотором государстве не было ни одного жителя с одинаковым набором зубов. Какова может быть максимальная численность населения в таком государстве?

Задача 9. В классе 32 ученика. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?

Задача 10. Назовем билет с номером от 000000 до 999999 отличным, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число отличных билетов.

Задача 11. В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Задача 12. Докажите, что при любом натуральном значении n > 2, уравнение

в натуральных числах не имеет решений.