Алтайский государственный технический университет
им.
Контрольная работа
по сопротивлению материалов
Выполнил: студент группы 4ЭТМ(с)-62
Проверил: к. т.н., доцент
г. Барнаул
2017 г.
Задача 1.1. Расчет стержня
Условие задачи:
Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1…l3, и площадью А1…А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF. Материал стрежня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.
Исходные данные :
Таблица 1
l1 м | l2 м | l3 м | А1 см2 | А2 см2 | А3 см2 | F кН | lF | Расположение опоры |
1,1 | 0,7 | 0,6 | 40 | 10 | 30 | 70 | l1+ l2 | Внизу |
Справочная информация:
Удельный вес стали Ст.3: г = (77…79)Ч103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч1011 Н/м2.
Указания:
Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q1 = гЧА1.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.
Решение:
1. В соответствии с исходными данными вычерчиваем схему бруса (рис. 1.1).
2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. от сечения 3-3.
Рассекаем стержень на силовом участке III и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (нижнюю часть).
Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:
2.1. Поскольку внешняя сила F на участке III не действует, то продольная сила N3 на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом продольная сила N3 является сжимающей, т. е. условно отрицательной.
Уравнение для продольной силы на участке:
N3 = - q3Чz3 = - гЧА1Чz3,
где q3 – вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения силового участка III (м2);
г – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 - г = 78Ч103 Н/м3).
Тогда в сечении 3-3 (крайнее верхнее сечение) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес части стержня равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем нижнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:
N3Z=0,6 = - q3Чz3 = - l3Ч гЧА3 = - 0,6Ч78Ч103Ч30Ч10-4 = - 140,4 Н ≈ - 0,14 кН.
2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:
у3 = N3/А3.
Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:
у3 Z=0,7 = N3/А3 = - 140,4/30Ч10-4 = - 46800 Па или у3 Z=0,7 ≈ - 0,047 МПа.
2.3. На силовом участке III брус сжимается под собственным весом, т. е. имеет место его укорочение. Укорочение бруса на участке определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:
∆l3 Z=0,6 = - ∫[N3/(EЧA3)]dz,
где Е – модуль продольной упругости стали; Е = 2Ч1011 Н/м2.
Укорочение силового участка изменяется по линейной зависимости от верхнего сечения (3-3) до нижнего сечения (2-2), при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 укорочение будет равно:
∆l3 Z=0,6 = - ∫[N3/(EЧA3)]dz = - ∫[(А3ЧгЧz3)/(ЕЧА3)]dz = (гЧl32)/2E =
= - (78Ч103Ч0,62)/(2Ч2Ч1011) = - 0,0000000702 м или ∆l3 Z=0,6 ≈ - 0,00007 мм.
3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II (крайнему верхнему) приложены продольные силы F и N3 (вес силового участка III бруса). Одна из этих сил (F) является растягивающей, а другая (N3) – сжимающей.
3.1. Продольная сила на участке II будет равна:
В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):
N2 Z=0 = N3 + F= - 140,4 + 70000 = 69856,6 Н ≈ 69,86 кН.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):
N2 Z=0,7 = N2 Z=0 - q2Чz2 = N2 Z=0 - (l2Ч гЧА2) = 69856,6 - (0,7Ч78Ч103Ч10Ч10-4) = = 69802,0 Н ≈ 69,8 кН.
3.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:
В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):
у2 Z=0 = N2 Z=0 /А2 = 69856,6/10Ч10-4 = 69 859 600 Па ≈ 69,86 МПа.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):
у2 Z=0,7 = N2 Z=0,7 /А2 = 69802,0/10Ч10-4 = 69 802 000 Па ≈ 69,8 МПа.
3.3. Удлинение стержня на силовом участке II:
Участок II удлиняется, поскольку растягивающая сила F значительно превышает вес отсеченной части бруса.
∆l2 = - (гЧl22)/2E + (N2 Z=0,7 Чl2/EA2) =
= [- (78Ч103Ч0,72)/(2Ч2Ч1011) + (69802,0Ч0,7) / (2Ч1011Ч10Ч10-4)] ≈ 0,0002441 м
или ∆l2 Z=0,7 ≈ 0,244 мм.
4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I, учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему верхнему) приложена продольная сила N2 Z=0,7, равная векторной сумме весов второго и третьего силовых участков бруса и сосредоточенной силы F.
Сила N2 Z=0,7 по отношению к участку I является растягивающей (т. е. условно положительной).
4.1. Продольная сила на участке I будет равна:
В начале участка I (сечение 1-1):
N1 Z=0 = N2 Z=0,7 = 69802,0 Н ≈69,8 кН.
В конце участка I (сечение 0-0):
N1 Z=1,1 = N1 Z=0 - q1Чz1 = N1 Z=0 - (l1Ч гЧА1) = 69802,0 - (1,1Ч78Ч103Ч40Ч10-4) =
= 69458,8 Н ≈ 69,46 кН.
4.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:
В начале участка I (сечение 1-1):
у1 Z=0 = N1 Z=0 /А1 = 69802,0/ 40Ч10-4 = 17 450500 Па ≈ 17,45 МПа.
В конце участка I (сечение 0-0):
у1 Z=1,1 = N1 Z=1,1 /А1 = 69458,8 / 40Ч10-4 = 17 364 700 Па ≈ 17,36 МПа.
4.3. Удлинение бруса на силовом участке I:
∆l1 = - (гЧl12)/2E - (N1 Z=1,1 Чl1/EЧA1) =
= - (78Ч103Ч1,12)/(2Ч2Ч1011) + (69458,8Ч1,1) / (2Ч1011Ч40Ч10-4) ≈ 0,00009527 м ≈ ≈ 0,095 мм.
5. Определяем перемещения сечений стержня:
д0-0 = 0 мм;
д1-1 = ∆l1 = 0,095 мм;
д2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,095 + 0,244 ≈ 0,339 мм;
д3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,095 + 0,244 - 0,00007 ≈ 0,338 мм.
6. Результаты расчетов сводим в таблицу 2, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1.1,а).
Таблица 2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.
Участок | Границы участка | Продольная сила, N, кН | Нормальное напряжение, у, МПа | Перемещение д, мм |
III | начало | 0 | 0 | 0,338 |
конец | - 0,14 | - 0,047 | 0,339 | |
II | начало | 69,86 | 69,86 | 0,339 |
конец | 69,8 | 69,8 | 0,095 | |
I | начало | 69,8 | 17,45 | 0,095 |
конец | 69,46 | 17,36 | 0 |
Задача 2.1. Расчет вала
Условие задачи:
К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 2.1).
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов Мкр, подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений фmax, построить эпюру углов закручивания ц вала и определить наибольший относительный угол Иmax закручивания вала.
Исходные данные :
Таблица 3
Нагрузки, кНм | Длина участков, м | ||||||
М1 | М2 | М3 | М4 | l1 | l2 | l3 | l4 |
3,7 | - 2,6 | 4,7 | - 2,0 | 1,1 | 0,5 | 1,2 | 0,4 |
Указания:
Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.
Решение:
1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.
МIV = М1 = 3,7 (кНм);
МIII = М1 + М2 = 3,7 - 2,6 = 1,1 (кНм);
МII = М1 + М2 + М3 = 3,7 - 2,6 + 4,7 = 5,8 (кНм);
МI = М1 + М2 + М3 + М4 = 3,7 - 2,6 + 4,7 – 2,0 = 3,8 (кНм).
2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка II:
WР ≥ Мкр/[ф] .
Так как для круглого сечения полярный момент равен: WР = рD3/16, то можно записать:
D ≥ 3√(16Мкр/р[ф]) ≥ 3√[(16Ч5,8Ч103) / (3,14Ч100Ч106)] ≥ 0,0666 м,
или D ≥ 66,6 мм.
В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 70 мм (1-й ряд номинальных диаметров).
3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:
ц = МкрЧl/GЧIP,
где G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч1010 Па;
IP – полярный момент инерции (для круглого сечения IP = рD4/32 ≈ 0,1D4, м4.
Произведение GЧIP = 8Ч1010Ч0,1Ч0,074 ≈ 192080 Нм2 – жесткость сечения данного вала при кручении.
Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:
цI = 3,8Ч103Ч1,1/192080 = 0,0218 рад;
цII = 5,8Ч103Ч0,5/192080 = 0,0151 рад;
цIII = 1,1Ч103Ч1,2/192080 = 0,0069 рад;
цIV = 3,7Ч103Ч0,4/192080 = 0,077 рад.
4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):
ц0-0 = 0 рад;
ц1-1 = цI = 0,0218 рад;
ц2-2 = цI + цII = 0,0218 + 0,0151 = 0,0369 рад;
ц3-3 = цI + цII + цIII = 0,0218 + 0,0151 + 0,0069 = 0,0438 рад;
ц4-4 = цI + цII + цIII + цIV = 0,0218 + 0,0151 + 0,0069 + 0,077 = 0,0515 рад.
5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:
фmax = Мкр/WP = 16Мкр/рD3 ≈ 5Мкр/D3.
фmaxIV = 5Ч3,7Ч103/0,073 = 53 935 860 Па ≈ 53,9 МПа;
фmaxIII = 5Ч1,1Ч103/0,073 = 16 034 985 Па ≈ 16,03 МПа;
фmaxII = 5Ч5,8Ч103/0,073 = 84 548 104 Па ≈ 84,55 МПа;
фmaxI = 5Ч3,8Ч103/0,073 = 55 393 586 Па ≈ 55,4 МПа.
6. Наибольший относительный угол закручивания Иmax определим по формуле:
Иmax = Мкрmax/GЧIP = 5,8Ч103/192080 = 0,030195 рад/м.
7. Результаты расчетов заносим в таблицу 4 и строим эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений фmax и углов закручивания ц (см. рис. 2.1, а).
Таблица 4
№ участка | М, кНм | ф, МПа | ц, рад |
I | 3,8 | 55,4 | 0…0,0218 |
II | 5,8 | 84,55 | 0,0218…0,0369 |
III | 1,1 | 16,03 | 0,0369…0,0438 |
IV | 3,7 | 53,9 | 0,0438…0,0515 |
Задача 4.1. Расчет балки
Условие задачи:
На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q. Материал стержня – сталь Ст.3
[у] = 160Ч106Па – предельное напряжение для стали Ст3 (справочная информация).
Требуется:
Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность.
Исходные данные :
Таблица 5
Нагрузки | Координаты | а, м | Сечение | ||||||
М, кНм | F, кН | q, кН/м | zM | zF | zq | zB | |||
начало | конец | ||||||||
-8 | -7 | 3 | 5а | а | 1,5а | 3,5а | 5а | 2 | швеллер |
Указания:
Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения QY и MX остаются постоянными.
Длину каждого силового участка обозначаем через li.
Решение:
1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RA и RB. Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры условно считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными. Направление реакций при расчетах принимаем произвольно, учитывая, что при полученном отрицательном значении какой-либо из реакций ее истинное направление будет противоположным.
∑МА = - FЧа + qЧ2aЧ2,5а - М - RBЧ5а = 0,
откуда находим реакцию RB:
RB = (- FЧа + qЧ2aЧ2,5а - М)/5а = (-7Ч2 + 3Ч4Ч5 - 8)/(5Ч2) = 3,8 кН.
∑МВ = RАЧ5а - М - qЧ2аЧ2,5a + FЧ4а = 0,
откуда находим реакцию RА:
RА = ( М + qЧ2аЧ2,5a - FЧ4а)/5а = (8 + 3Ч4Ч5 - 7Ч8)/(5Ч2) = 1,2 кН.
Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:
∑FY = - RA – F + 2qa - RB = - 1,2 – 7 + (2Ч3Ч2) – 3,8 = 0.
Величина и направление опорных реакций определена правильно.
2. Балка состоит из четырех силовых участков, в пределах которых законы измерения внутренних усилий остаются постоянными. Составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого силового участка балки.
2.1. Силовой участок I: 0 ≤ z1 ≤ 2 м.
QY1 = RA = -1,2 кН;
MX1 = - RAЧz1.
На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной и равна реакции RA опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой горизонтальную прямую линию с ординатой у = -1,2 кН.
Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке достаточно вычислить значение моментов в его крайних точках:
Мх1Z1=0 = 0;
Мх1Z1=а = 1,2Ч2 = 2,4 кНм (знак момента положительный);
2.2. Силовой участок II: 2 м ≤ z2 ≤ 3 м.
QY2 = - RA – F = -1,2 – 7 = - 8,2 кН – участок эпюры в виде горизонтальной прямой;
В точке приложения силы F значение внутренней силы скачкообразно изменяется на величину этой силы, что отражается на эпюре в виде «ступеньки».
Изгибающий момент на силовом участке II также изменяется по линейной зависимости, поэтому для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов необходимо вычислить значение моментов в крайних точках участка:
МХ2 = RAЧ (a+z2) + Fz2 .
МХZ2=0 = 2,4 кНм (как в последнем сечении первого участка);
МХZ2=0,5а = 3Ч1,2 + 7Ч1 = 10,6 кНм (знак момента положительный);
2.3. Силовой участок III: 3 м ≤ z3 ≤ 7 м.
QY3 = - RA – F + qz3 .
Сила на всем протяжении участка изменяется по линейной зависимости, поэтому для построения эпюры достаточно знать значение силы в крайних точках участка.
QY3z=0 = QY2 = - 8,2 кН;
QY3z=2a = QY2 + 2qa = - 8,2 + 2Ч3Ч2 = 3,8 кН;
Поскольку внутренняя сила на участке поменяла знак, то изгибающий момент на этом участке имеет экстремальное значение в сечении с координатой z3 экст. Определим эту координату.
QY3zэкст = - QY2 + q z3 экст = 0, откуда находим: z3 экст = QY2 / q = 8,2/3 = 2,733 м.
Эпюра изгибающего момента на протяжении участка изменяется криволинейно, при этом в сечении z3 экст = 2,733 м момент имеет экстремальное значение.
МХ3 = RA (1,5a+z3) + F(0,5а + z3) - qЧ z3Ч z3/2.
МХ3Z3=0 = 10,6 кНм (как в последнем сечении второго участка);
МХ3Z3=2а = 1,2Ч7 + 7Ч5 – 3Ч4Ч2 = 19,4 кНм;
MX3Z3экст = 1,2Ч5,733 +7Ч3,733 – 3Ч2,7332/2 = 21,8 кНм.
2.3. Силовой участок IV: 7 м ≤ z3 ≤ 10 м.
На четвертом силовом участке поперечная сила неизменна, а изгибающий момент изменяется по линейной зависимости, при этом в крайнем левом сечении значения внутренних усилий такие же, как и в крайнем правом сечении третьего участка.
В сечении опоры В (крайнем правом) поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент – сосредоточенному моменту - М.
Этих данных достаточно для построения эпюры изгибающих моментов на силовом участке IV.
3. Результаты расчетов заносим в таблицу 6 и строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 4.1, а).
Таблица 6
Внутренние усилия | № силового участка | |||
I | II | III | IV | |
QY, кН | -1,2 (const) | -8,2 (const) | -8,2…3,8 | 3,8 (const) |
МХ, кНм | 0…2,4 | 2,4…10,6 | 10,6…19,4 | 19,4…8,0 |
4. По эпюре МХ определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине):
MXmax = 21,8 кНм.
Размер сечения (по условию задания - № швеллера) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:
WX = MXmax/[у] = 21,8Ч103/160Ч106 =0,00013625 м3 ≈ 136,3 см3,
где [у] = 160Ч106 Па – предельное напряжение для стали Ст3.
5. По таблице сортаментов (ГОСТ 8240-97) выбираем швеллер № 20У, у которого момент сопротивления равен: WX =152 см3.
Задача 4.3. Расчет статически неопределимой балки
Условие задачи:
На статически неопределимую балку, имеющую две опоры: жесткую заделку и шарнирно-подвижную опору, действуют внешние нагрузки: сила F и распределенная нагрузка q.
Требуется:
Определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и линейных перемещений.
Исходные данные :
Таблица 7
q | координаты | F | ZF | ZB | а | |
начальная Zq | конечная Zq | |||||
10 кН/м | 0 | 2а | 15 кН | 1,5 а | 2а | 1,5 м |
Указания:
Вычертить схему балки в соответствии с исходными данными (рис. 4.3).
Жесткую заделку расположить на левом конце балки, там же выбрать начало координат.
Раскрытие статической неопределимости следует проводить методом сил, определение линейных перемещений – методом начальных параметров.
Решение:
1. Раскрытие статической неопределимости балки.
Данная балка является статически неопределимой один раз, поскольку опорных реакций у нее больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно, применить методы статики для определения неизвестных силовых факторов невозможно, так как одна опорная реакция является «лишней», и неизвестных силовых факторов на единицу больше, чем уравнений равновесия.
Для решения задачи используем способ Верещагина, отбросив «лишнюю» связь и заменив ее неизвестным усилием Х1 (см. рис. 4.3, а). За лишнюю связь можно принять любую опорную реакцию, кроме продольно действующей реакции HA, так как без нее балка не сможет сохранять равновесие.
Принимаем за лишнюю связь реактивный момент МА, составляем эквивалентную схему балки (рис. 4.3, а), и записываем каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы:
д11ЧХ1 + Д1Р = 0.
Поскольку в качестве лишней связи мы отбросили реактивный момент, данное каноническое уравнение является уравнением угла поворота балки в начале координат, т. е. в жесткой заделке.
Для вычисления коэффициентов канонического уравнения построим грузовую МF (от внешних нагрузок F и q) и единичную М1 (от усилия Х1=1) эпюры изгибающих моментов, а затем перемножим их в соответствии со способом Верещагина (см. рис. 4.3, а).
По способу Верещагина произведение эпюр МFЧМ1 равно площади грузовой эпюры, умноженной на высоту единичной эпюры, взятой под центром тяжести грузовой эпюры. При этом обе линии эпюр не должны иметь точек перелома, и хотя бы одна из эпюр должна быть линейной. Для удобства расчетов расслаиваем грузовую эпюру на две составляющие - МF и Мq, построив их в виде отдельных графиков. Поскольку грузовая эпюра от силы F содержит точку перелома, перемножаем соответствующие эпюры до точки и после точки перелома.
Знак изгибающего момента на эпюрах выбираем в соответствии с «правилом дождя» - если нагрузка изгибает балку дугой вверх – она условно считается отрицательной; нагрузка, изгибающая балку дугой вниз – условно положительная.
При сложении полученных сомножителей учитываем знак – если перемножаемая составляющая грузовой эпюры расположена по одну сторону с единичной эпюрой – произведение имеет положительный знак, в противном случае - отрицательный.
Из схемы на рисунке 4.3, а видно, что все эпюры находятся по одну сторону от нулевой линии (в отрицательной области), следовательно, оба сомножителя будут положительными.
В соответствии со схемами на рисунке 4.3,а коэффициенты канонического уравнения определяются по формулам:
д11 = 1/EIX ∫М1ЧМ1 dz = 1/EIX (1/2Ч1Ч2аЧ2/3Ч1) = 1/EIX;
∆1F = 1/EIX ∫МFЧМ1 dz = 1/EIXЧ[(2/3Ч9/8Чqa2Ч2аЧ2/3)+(1/2ЧFЧ0,5аЧ1/4Ч1/3)] =
= 1/EIXЧ[(2/3Ч9/8Ч10Ч2,25Ч3Ч2/3) + (1/2Ч15Ч0,75Ч1/4Ч1/3)] ≈ 33,28/EIX.
Подставим полученные значения в каноническое уравнение и найдем неизвестное усилие Х1:
Х1/EIX + 33,28/EIX = 0, отсюда Х1 = - 33,28 (кНм).
Статическая неопределимость раскрыта. Поскольку значение усилия Х1 = МА получилось отрицательным, его направление противоположно выбранному на схеме.
2. Определение реакций опор.
Используя уравнения статики, найдем опорные реакции балки:
∑FZ = HA = 0, откуда следует, что НА = 0;
∑МА = МА - RBЧ2а + qЧ2аЧ2а/2 + FЧ1,5а = -33,28 - 3RB + 45,0 +33,75 = 0,
откуда RB = (-33,28 + 45,0 +33,75)/3 ≈ 15,16 (кН).
∑МВ = МА + RАЧ2а - qЧ2аЧ2а/2 - FЧ0,5а = -33,28 + 3RA – 45,0 - 11,25 = 0,
откуда RA = (33,28 + 45,0 + 11,25)/3 ≈ 29,84 (кН).
Поскольку реакции получились положительными, их направление на схеме выбрано верно.
В качестве проверки полученных результатов составляем уравнение равновесия сил, действующих на балку:
∑FY = - RA + qЧ2a - RB - F = -29,84 + 10Ч3 + 15 - 15,16 = 0.
Проверка показала, что условие равновесия балки соблюдается, значит, расчеты выполнены правильно.
3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Разобьем брус условно на силовые участки I и II (рис. 4.3, а), и определим нагрузки, действующие на границах этих участков.
3.1. Эпюра поперечных сил.
На первом участке в точке А приложена реактивная сила RA = -29,84 кН, и до границы с участком II действует распределенная нагрузка q, которая вызывает линейное изменение внутренней силы. Определим внутренние силы на границах участка:
Q1X=0 = - RA + qХ1=0 = RA = -29,84 кН.
Q1X=1,5а = - RA + 1,5аq = RA = -29,84 + 1,5Ч1,5Ч10 = -7,34 кН.
В сечении между первым и вторым участком приложена сила F, поэтому внутренние силы здесь изменяются скачкообразно на величину этой силы (на эпюре образуется «ступенька»):
Q2X=1,5а = - RA + 1,5аq + F = -29,84 + 1,5Ч1,5Ч10 + 15 = 7,66 кН.
Далее, до конца участка II действует распределенная нагрузка q, которая вызывает линейное изменение внутренней силы. В последнем сечении второго участка внутренняя сила равна величине опорной реакции RВ = 15,16 кН.
3.2. Эпюра изгибающих моментов.
Для построения эпюры изгибающих моментов определим значения моментов на границах силовых участков, начиная от свободного конца балки. При этом учитываем, что изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости (действует распределенная нагрузка), поэтому эпюра будет иметь криволинейную форму, и для более точного отображения эпюры необходимо вычислить значение изгибающих моментов в нескольких сечениях бруса.
В крайнем левом сечении первого участка (жесткая заделка) эпюра изменяется скачкообразно на величину момента МА от нулевой линии балки.
Знак изгибающих моментов принимаем в соответствии с «правилом дождя» - если момент выгибает балку вверх – он условно считается отрицательным, если вниз – положительным.
МХ х=0 = 33,28 кНм;
МX х=а = МА - RAЧа + qа2/2 = 33,28 - (29,84Ч1,5) + (10Ч1,52/2) = -0,23 кНм;
МХ х=1,5а = МА - RAЧ1,5а + qЧ1,5аЧ1,5а/2 =
= 33,28 -(29,84Ч1,5Ч1,5)+(10Ч2,25Ч1,52/2) = -8,55 кНм (экстремальное значение изгибающего момента, поскольку в этом сечении внутренняя сила меняет знак на противоположный);
МХ х=1,75а = МА + RAЧ1,75а + qЧ1,75аЧ1,75а/2 + 0,25аF =
= 33,28 - (29,84Ч1,75Ч1,5) + (10Ч1,75Ч1,5Ч1,75Ч1,5/2) + (0,25Ч1,5Ч15) =
= -4,97 кНм;
МХ х=2а = МА - RAЧ2а + qЧ2аЧ2а/2 + 0,5аF =
= 33,28 - 29,84Ч3 + 10Ч2Ч1,52 + 15Ч1,5/2 = 0 кНм;
4. Построение эпюры прогибов балки
Для построения эпюры линейных перемещений Y (прогибов) требуется определить их значения в 4…5 сечениях балки. В нашем случае известно, что перемещения в опорах А и В равны нулю, т. е. yA = 0 и yB = 0.
Вычислим прогибы в координатах х1 = а, х2 = 1,5а и х3 = 1,75а.
Уравнения прогибов у в этих сечениях по методу начальных параметров имеют вид:
EIX y1 = MA(а – 0)2/2 - RA(а – o)3/6 + q(а – 0)4/24 =
= 33,28Ч1,52/2 – 29,84Ч1,53/6 + 10Ч1,54/24 ≈ 22,76 кНм3;
EIX y2 = MAЧ (1,5а – 0)2/2 - RA Ч(1,5а – 0)3/6 + q(1,5а – 0)4/24 =
= 33,28Ч2,252/2 – 29,84Ч2,253/6 + 10Ч2,254/24 ≈ 38,27 кНм3.
EIX y3 = MAЧ(1,75а – 0)2/2 - RAЧ(1,75а – 0)3/6 + q(1,75а– 0)4/24 + F Ч(0,25а–0)3/6 =
= 33,28Ч2,6252/2 – 29,84Ч2,6253/6 + 10Ч2,6254/24 + 15Ч0,753/6 ≈ 45,54 кНм3.
5. По полученным расчетным данным строим эпюры поперечных сил QY, изгибающих моментов MX и погибов Y (см. рис. 4.3, а).
Задача 5.3. Изгиб с кручением
Условие задачи:
На валу круглого сечения, вращающемся с угловой частотой щ, расположены два шкива ременной передачи диаметрами D1 и D2, через которые передается мощность Nэд. Вал закреплен в подшипниковых опорах А и В. Ветви шкива 1 расположены под углом б1, а шкива 2 – под углом б2 к горизонтали.
Исходные данные:
Таблица 8
l1 м | D1 м | б1 град | l2 м | D2 м | б2 град | lВ м | Nэд кВт | n об/м | [у] мПа |
2,1 | 0,5 | 15 | 3,8 | 0,35 | 75 | 3,3 | 18 | 1000 | 160 |
Требуется:
Подобрать диаметры вала по III теории прочности при заданном предельном напряжении [у].
Указания:
Опору А расположите в начале координат, опору В – на координате lВ, шкивы 1 и 2 соответственно на координатах l1 и l2.
Решение:
1. Определим момент МКР, действующий на участке вала между шкивами 1 и 2:
МКР = Nэд/щ = 30Nэд/рn = 30Ч18 000/3,14Ч1000 = 171,97 [Нм] ≈ 0,172 [кНм],
и построим эпюру крутящих моментов (рис. 5.3, а).
2. Определим усилия t1 и t2 в ременной передаче:
t1 = 2МКР/D1 = 2Ч171,97/0,50 = 687,9 [Н] ≈ 0,69 [кН];
t2 = 2МКР/D2 = 2Ч171,97/0,35 = 982,7 [Н] ≈ 0,98 [кН].
3. Опорные реакции, необходимые для построения эпюр изгибающих моментов, определим из уравнений статики.
Ветви ремня первого шкива отклоняются от горизонтали на 30˚ (см. рис. 5.3), а угол наклона ветвей ремня второго шкива к горизонтали составляет 75˚.
Для упрощения расчетов преобразуем схему механизма, повернув вал по ходу вращения на угол б1, тогда ветви ремня первого шкива совпадут с горизонталью, а угол наклона ветвей ремня второго шкива с горизонталью составит:
б’2 = б2 – б1 = 75˚ – 30˚ = 45˚; sin б’2 = cosб’2 = 0,7071.
У МВХ = RAYЧlВ – (2t2+ t2)Ч(l2 – lВ)Чsinб’2 = 0,
откуда находим RAY [кН]:
RAY = 3t2Ч(l2 – lВ)Чsinб’2/ lВ = 3Ч0,98Ч(3,8 – 3,3)Ч0,7071/3,3 ≈ 0,315 [кН];
У МВY = - RAXЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1) – (2t2 + t2)Ч(l2 – lВ)Чcosб’2 = 0,
откуда находим RAX [кН]:
RAX = [3t1Ч(lВ – l1) - 3t2Ч(l2 – lВ)Чcosб’2]/ lВ =
= [3Ч0,69Ч(3,3 – 2,1) - 3Ч0,98Ч(3,8 – 3,3)Ч0,7071]/3,3 ≈ 0,438 [кН];
4. Определяем значения изгибающих моментов МХ и МY в крайних точках силовых участков вала, а также величину суммарного изгибающегося момента Мизг, который определяется, как векторная сумма моментов МХ и МY:
МИЗГ = √(МХ2 + МY2),
где МХ = RAYЧlZ; МY = RAXЧlZ
Результаты расчетов заносим в таблицу 9.
Таблица 9
Параметры | Z = 0 м | Z = l1 м | Z = lB м | Z = l2 м |
МХ кНм | 0 | 0,66 | 1,04 | 0 |
МY кНм | 0 | 0,92 | 1,45 | 0 |
Мизг кНм | 0 | 1,13 | 1,78 | 0 |
5. В соответствии с полученными расчетными данными строим эпюры изгибающих моментов МХ, МY и МИЗГ (рис. 5.3, а).
Используя эпюру МИЗГ, определяем опасное сечение вала по максимальному изгибающему моменту: МИЗГ = 1,78 кНм.
6. Подбираем сечения вала по условию прочности:
уmax = МПРmax/WОС ≤ [у],
где МПРmax – приведенный момент, по III теории прочности:
МПРmax = √(МХ2 + МY2 + МКР2) = √(1,042 + 1,452 + 0,1722) = 1,793 [кНм];
Wос – осевой момент сопротивления сечения, который для круглого сечения может быть определен из зависимости: WОС = рd3/32.
7. Определяем минимальный диаметр вала:
d ≥ 3√(32МПРmax/р[у]) = 3√(32Ч1,793Ч103)/(3,14Ч160Ч106) = 0,0485 м = 48,5 мм.
Принимаем диаметр вала из стандартного ряда (ряд Ra10) по ГОСТ 6636-69:
d = 50,0 мм.
Источники информации:
1. , Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников механических, машиностроительных, автотранспортных специальностей. – Изд-во АлтГТУ – Барнаул. – 2004 г. – 62 с.
2. Краткий курс лекций по сопротивлению материалов: Учебное пособие. – Барнаул, Изд-во АлтГТУ. – 2010 г. – 124 с.
3. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - 10-е издание, перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. , 2009. - 592 с.
