КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС В АКУСТИКЕ
1, 2, 1
1Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск
2Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск
е-mail: *****@***ru
Рассмотрены комплексные спектры волн Лэмба ограниченной пластины. Сделан вывод о том, что комплексный спектр позволяет отличить две нормальные моды колебаний с одинаковыми частотами и разными коэффициентами затухания
Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики отклика среды на падающее излучение широко используется в оптике [1] и радиотехнике [2] для исследования свойств вещества и электронных устройств. Эти зависимости в радиотехнике применяются не только от действительной части частоты, но и от мнимой, отвечающей за затухание сигнала (преобразование Лапласа). В работах [3-5] показано, что применение спектроскопии комплексных частот в оптике расширяет возможности спектроскопии и позволяет, в частности, отличить резонансы с совпадающими вещественными частотами, но отличающимися мнимыми.
В настоящей работе рассматривается комплексные спектры волн Лэмба ограниченной пластины. Акустические волны, в отличие от электромагнитных, не существуют без среды, волновые уравнения для них являются материальными. Однако схожесть этих уравнений с электромагнитными позволяет распространить комплексную спектроскопию и на акустику.
Рассмотрим изгибные колебания (волны Лэмба) прямоугольной пластины c толщиной h, ограниченной плоскостями по оси z (z = ± h/2). Динамические уравнения для изгибных деформаций U вдоль оси z в тонких пластинах, согласно [ 6], имеют вид:
, (1)
где B – константа, учитывающая упругие свойства материала.
,
sl, st – скорости распространения продольных и поперечных звуковых волн, соответственно.
Из (1) видно, что при выполнении соотношения, соответствующего закону дисперсии волн Лэмба в длинноволновом пределе 
, амплитуда гармоники неограниченно возрастает. Уравнение (1) справедливо при выполнении условия kh << 1. Для бесконечной пластины сильная дисперсия ограничивает результирующую амплитуду смещения. Однако если пластина ограничена по двух координатам, например,
, 
(2)
то пространственный спектр становится дискретным. Дисперсия уже не будет ограничивать амплитуду деформаций и для ее нахождения необходимо учитывать поглощение. Изгибные колебания таких пластин, вызванные движением доменной границы, рассматривалось в работах [7-11].
Для образцов, по форме близких к прямоугольным с поперечными размерами l1, l2 и граничных условий типа "опертые края"[6], частоты щpq могут быть рассчитаны в соответствии с [6]. В этом случае учет второго поперечного размера приводит к резонансным изгибным колебаниям, некратным основной частоте
; 
. (3)
Здесь p, q – номера резонансных частот. При этом за звуковые колебания отвечают целые значения p и q. Нулю равняться может только одно из чисел p или q, что соответствует ограничению только по одной из поперечных координат (3). Например, при q = 0, (ly → ∞)
; 
. (4)
При ограничении обеих координат и отсутствии зависимости смещений от одной из них, одно из чисел p или q так же может равняться нулю. Смещение при этом равно
, (5)
Уравнения вынужденных колебаний, подвергающимся воздействию внешней силы 
, где щ, t, k, r – частота, время, волновой вектор и радиус-вектор, соответственно, с учетом затухания представим в виде
, (6)
где г – параметр затухания. Решение (6) ищем в виде
.
находим амплитуду гармоники смещения:
. (7)
При возбуждении двух нормальных мод,
, (8)
где k находится их (4).
На рис. 1 приведен двумерный график амплитуды колебаний 
на комплексной плоскости частот при параметрах B = 2∙105 см2/с, p1 = 1; q1 = 6; p2 = 2; q2 = 3; lx = 0,3см; ly = 0,9 см, Fщ, p1,q1 = Fщ, p2, q2 = 1.
Рис. 1. Двумерный график амплитуды затухающих колебаний двух нормальных мод на комплексной плоскости
Из рисунка видно, что комплексный спектр позволяет отличить две нормальные моды колебаний с одинаковыми частотами и разными коэффициентами затухания.
Формула (7) совпадает с выражением для диэлектрической проницаемости в [3], и все выводы этой работы можно распространить на акустику, в том числе ширина резонансной кривой по мнимой оси может быть уже, чем по действительной.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Спектроскопия // Физическая энциклопедия / Гл. ред. . — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 625. — 704 с
2. Теоретические основы электротехники. – М., : Высшая школа, 1996. 638 с.
3. Комплексный резонанс и спектроскопия комплексных частот // Письма в ЖЭТФ. – 2009. – Т. 90. – вып. 6. – С. 473-477.
4. Комплексный резонанс при френелевском отражении импульсов излучения // ЖЭТФ. – 2010. – Т. 138. – вып. 4 (10). – С. 605-611.
5. Комплексный резонанс при периодической раскачке осциллятора // Оптика и спектроскопия. – 2012. – Т. 112. – № 6. – С. 970-973.
6. , Теоретическая физика. В 10 т. Т. 7. Теория упругости. – М. : Наука, 1987. – 248 с.
7. , Упругие колебания в пластинчатом образце ортоферрита иттрия, индуцированные движущейся доменной границей // Письма в Журнал технической физики. 2006. Т. 32. вып.1. С. 49-54.
8. Kuz’menko A. P., Zhukov E. A., Dobromyslov M. B. Excitation of bending vibration by a moving domain wall in a plate of yttrium orthoferrite. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, V. 302, I. 2, 2006, P. 436-438.
9. Kuz’menko A. P., Zhukov E. A., Dobromyslov M. B., Kaminsky A. V. Magneto-elastic resonant phenomena at the motion of the domain wall in weak ferromagnets // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2007, 310, I. 2. Part 2. P. 1610-1612.
10. , , Нелинейные магнитоакустические взаимодействия в слабых ферромагнетиках // Известия РАН, Сер. физ. 2010. Т. 74. № 10. С.1426-1428.
11. Petrov V. M., Srinivasan G. Theory of domain wall motion mediated magnetoelectric effects in a multiferroic composite // Physical Review B. – 2014. – Т. 90. – №. 14. – С. 144411.
