Способы решения уравнений с модулем

Способы решения уравнений с модулем.

1. Способ, основанный на определении модуля.

Модулем (абсолютной величиной)  некоторого д6ействительного  числа а называют само это число А, если А≥0, и противоположное число  «-А»,  если А<0. Модуль числа а обозначают  ІАІ  и записывают:

ІА І =  А,  если  А ≥ 0 

  - А,  если  А ≤  0

│А │ = А,  значит  А ≥ 0  │А│= - А,  значит  А ≤  0

Пример1: │х2 - 8х+12│= х2 - 8х+12  здесь │А │ = А,  значит  х2 - 8х+12 ≥ 0

Пример 2: │х2 +2х-3│= 3- 2х - х2 здесь │А │ = -  А,  значит  х2 +2х-3 ≤  0

  2.  Уравнения вида:  │А│= В 

При решении уравнений такого типа необходимо учитывать  ОДЗ:  В ≥ 0

При выполнении этого условия надо рассмотреть 2 случая.  А = В  или  А = - В

│х2+х-1│=2х-1.  ОДЗ:  2х-1.≥0 т. е.  х≥1/2

х2+х-1=2х-1  или  х2+х-1=-2х+1

х2-х=0  х2+3х-2=0

х=0; х= 1  х1=(-3+ )/2  х2=(-3-)/2

корни х=0;  х=(-3-   )/2 не входят в ОДЗ.

Ответ:  1;  (-3+)/2

3. Решение уравнений вида:  │А│=│В│ 

  Можно использовать равенство  :  А2  =│А│2

1способ решения:  Возведение в квадрат двух частей уравнения 

А2  =  В2  (перенести в одну часть не раскрывая скобок, и применять формулу разности квадратов). А2  =  В2  →  А2 -  В2=  0 →  (А-В)(А+В) = 0

  2 способ решения основан на свойстве модуля  ІА І= І - А І

  А = В  или  А =  - В

Пример 1: │х+3│=│2х-1│

х+3  =  2х-1  или  х+3 = - (2х-1)

  4.  Решение уравнений, основанное на применении свойств модуля.

│А│+│В│= А + В,  значит  А≥0

  В≥0

│А│+│В│= А - В,  значит  А≥0

  В ≤0

  │А│-│В│= А - В,  значит  А≥0

  В≥0  или  А – В = 0

  │А│-│В│= А + В,  значит  А≥0

  В ≤ 0  или  А + В = 0

│А│+│В│= │А + В│, значит А В  ≥ 0

│А│+│В│= │А - В│, значит А В ≤0

│А│-│В│= │А - В│, значит А В ≥0

Пример1:  │32-4х-х2│+│ х2+12х+32│=8х+64

Заметим, что уравнение имеет следующую структуру:

│А│+│В│= А + В,  а это равенство справедливо только тогда, когда  А≥0  32-4х-х2≥0

В≥0  т. е.  х2+12х+32≥0

Метод интервалов:

Для решения уравнений таким способом можно пользоваться алгоритмом:

А) находим значения при которых подмодульные выражения  = 0.

Б) Разбиваем числовую прямую на интервалы.

В) Решаем уравнение на каждом интервале, раскрывая модули. Из полученных корней каждый раз выбираем только те, которые принадлежат, рассматриваемому промежутку.

5.  Способ введения новой переменой.

Если уравнение записано в виде f(│х│)=0, то используют замену │х│=t

Пример:  х2-3│х│+2=0  Пусть │х│= t, тогда

  t2-3 t+2=0

t=1  или  t=2

│х│=1  или  │х│=2

Х=±1  х=±2

Ответ:  ±1;  ± 2

Решение неравенств с модулем.

Метод интервалов.

При решении неравенств методом интервалов, поступают аналогичным способом, как и при решении уравнений, только после получения решения на каждом интервале, находят пересечение их с рассматриваемым интервалом.

Неравенства вида │А│≤В 

  А

  - В  0  В 

тогда  - В≤ А ≤В и решаем систему.

Пример1:  │2х-3│<5

  -5<2х-3<5

Неравенства вида │А│≥ В,

  А  А

  - В  0  В

тогда  А ≥ В  или  А ≤  = - В

Пример1:  │2х-3│>5

  2х-3 < -5  или  2х-3 >5

Пример 2:  │х2+3х │≥ 2-х2.

  х2+3х  ≥ 2-х2.

  х2+3х ≤-2+х2.

Ответ (-∞; -2/3]U[1/2; +∞)

Неравенства вида: │А│≤│В│

тогда  А 2 ≤ В 2  (А 2 - В 2 = (А – В) ( А + В )≤0)

Пример:  │2х-1│>│х+2│

(2х-1)2>(х+2)2