ГБОУ СОШ Школа № 000 им.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Автор: Карапетян Армен, 11 класс,
ГБОУ Школа № 000 им.
Руководитель:
Москва 2018
Оглавление
Предмет и объект исследования. 3
Цель исследования. 3
Методы исследования 3
Результаты исследования 8
Продукт исследования 9
Литература 11
Предмет и объект исследования.
Время от времени на экзаменах и олимпиадах встречаются задачи, в которых речь идёт о перераспределении (перетекании) электрических зарядов вследствие различных видов коммутаций (переключений) в электрических цепях. Чаще всего имеются в виду электрические цепи, содержащие конденсаторы и катушки индуктивности. Сложность подобных задач заключается в том, что рассматриваемые в них процессы, возникающие при переключениях, вызывают у школьников затруднения как в понимании физических явлений, так и в построении математической модели, позволяющей решить данную проблему. Даже если модель задачи и была построена, решение полученных уравнений выходит за рамки школьной программы. Тем не менее, ещё совсем недавно аналогичные задачи предлагались на вступительных экзаменах по физике в ведущие физические ВУЗы или факультеты. А теперь задания с подобного рода содержанием «перекочевали» в контрольно-измерительные материалы на ЕГЭ.
Примером такой задачи является, например, следующая:
Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через резистор R = 60 Ом (рисунок 1). В момент t = 0 ключ К замыкают. Значения силы тока в цепи, измеренные в последовательные моменты времени с точностью ±0,01 А, представлены в таблице. |
Рисунок 1 |
t, c | 0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 |
I, A | 0 | 0,10 | 0,15 | 0,21 | 0,24 | 0,26 | 0,29 | 0,30 | 0,30 |
В других вариантах катушку индуктивности может заменить конденсатор.
При этом надо ответить на ряд вопросов. Например, чему равно значение ЭДС источника тока, каково значение напряжения на резисторе или катушке в некоторый момент времени и т. п. Нестандартность заданий заключается в том, что вопросы касаются статического состояния (например, конденсатор уже заряжен или разряжен), а относятся к мгновенным значениям ещё неустановившихся значений силы тока (напряжения).
Цель исследования.
Однако, «смотря в корень» проблемы, возникла необходимость разобраться с происхождением магического ряда чисел во второй строчке таблицы изменения силы тока (напряжения). Так возникла цель исследовательской работы, предметом исследования которой стали так называемые переходные процессы, сопровождающие переключения режимов работы в цепях постоянного тока.
Методы исследования
Пусть дана схема (рисунок 2), в которой в некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается, в результате чего напряжение источника тока подаётся на остальную часть схемы. Для простоты будем считать, что внутреннее сопротивление источника тока мало. Это допущение не повлияет на искомый результат.
Сразу после замыкания цепи в ней возникает, правда, очень быстро заканчивающийся, процесс протекания тока. В результате конденсатор переходит от незаряженного состояния в заряженное. Длительность этого процесса составляет десятые, сотые, а иногда и миллионные доли секунды; сравнительно редко время переходных процессов может составлять секунды и десятки секунд.
Что же происходит в результате замыкания ключа К? Конденсатор C вначале не заряжен, а потому потенциалы его обкладок одинаковы. Примем потенциал нижнего по рисунку вывода источника тока равным нулю, тогда верхний вывод имеет потенциал Е. Замыкание ключа приводит к обнулению потенциала как нижней так и верхней пластины конденсатора. Таким образом, между верхним полюсом источника тока и верхней обкладкой конденсатора возникает разность потенциалов, что приведёт к перемещению заряженных частиц (электронов), то есть к возникновению электрического тока. Значение силы тока по закону Ома пропорционально разности потенциалов. Следовательно, сразу после замыкания ключа К на резисторе R напряжение будет равно E. При этом сила тока в нем равна 
. Процесс протекания тока приведёт к росту заряда на обкладках конденсатора, а, следовательно, и росту потенциалов на его обкладках. В результате верхняя обкладка заряжается положительным зарядом, а нижняя — отрицательным. Так как на левом выводе резистора потенциал не изменяется, а на правом растёт, разность потенциалов (напряжение) на резисторе снижается, что приводит к уменьшению силы зарядного тока, а, следовательно, и к уменьшению скорости заряда конденсатора.
Для замкнутой цепи (рисунок 2) можно записать уравнение E=UR+UC, так как резистор и конденсатор включены в ней последовательно. Здесь 
— напряжение на резисторе, а 
— напряжение на конденсаторе, а 
— сила зарядного тока. Тогда
Так как 
, то
| (1) |
Заряд на конденсаторе изменяется постепенно, хотя и очень быстро. Это прямо вытекает из уравнения (1). В самом деле, мгновенный (скачком) рост заряда на конденсаторе делал бы дробь 
очень большой, что противоречило бы этому уравнению, так как все остальные члены имеют конечное (не бесконечно большое) значение. Получив из (1) выражение
,
заметим, что по мере увеличения заряда q на конденсаторе уменьшается скорость 
процесса заряда этого конденсатора.
Для малых интервалов времени 
, то есть при 
, значение 
, где 
— производная заряда как функции от времени. Таким образом, в уравнение 
неизвестная величина (заряд) входит еще и со своей производной. Решить его — означает найти вид функции q(t) зависимости заряда на конденсаторе от времени. Решение этого, так называемого дифференциального, уравнения выходит за рамки школьной программы.
Тем не менее, попробуем всё-таки определить характер зависимости заряда (напряжения) на конденсаторе другим способом. Для этого представим исходное уравнение в виде
Время заряда конденсатора разобьём на малые одинаковые интервалы времени 
и посмотрим, как будет меняться значение заряда и напряжения по истечении первого интервала 
от начала заряда, затем второго — 
и т. д. При этом как уже было сказано 
К концу первого интервала |
|
К концу второго интервала |
|
и т. д. | |
К концу n-го интервала |
|
, так как вначале заряд равен нулю.
Аналогичное выражение, учитывая 
, можно получить для напряжения на конденсаторе
| (2) |
Несложное преобразование (2) даёт
| (3) |
Таким образом, мы получаем возможность последовательно, шаг за шагом, рассчитывать напряжения на конденсаторе при его заряде через одинаковые промежутки времени 
, получая таким образом последовательность чисел. Выражения типа (3) называют рекуррентным, так как для вычисления последующего члена последовательности надо знать её предыдущий член. Полученная последовательность и даст возможность построить график зависимости заряда (напряжения) на конденсаторе от времени. При этом, разумеется, значения величин E, R и C должны быть известными.
Обратим внимание, что в выражениях (2) и (3) дробь 
безразмерна, то есть её числитель и знаменатель имеют одинаковую единицу измерения.
Попробуем вывести формулу общего члена последовательности.
В соответствии с выражением (3) проследим, как изменяется напряжение на конденсаторе, учитывая, что вначале U0=0 В (конденсатор не заряжен).
|
|
|
|
…………………… |
|
В последнем выражении видно, что в скобках стоит сумма конечного количества членов геометрической прогрессии со знаменателем 
. Так как конденсатор заряжается только до напряжения источника тока, то сумма её не может быть бесконечно большой, и эта прогрессия является убывающей, а потому 
. По формуле суммы геометрической прогрессии имеем
Отсюда
И, наконец,
| (4) |
Осталось разобраться с интервалами времени 
и их количеством. Анализируя выражение (4), приходим к выводу, что из бесконечного увеличения n (
) числа интервалов следует асимптотическое приближение 
. В самом деле, сумма членов той же, но уже не ограниченной количеством n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
,
и тогда 
.
Этот чисто математический вывод означает, что полный заряд конденсатора до напряжения источника тока E происходит за бесконечно большой интервал времени. В реальности же вследствие ряда факторов, одним из которых является точность (чувствительность) измерительных приборов (в данном случае вольтметра), ждать «бесконечно» долго не приходится. Конденсатор считается заряженным, судя по вольтметру, если показание на нём достигло такого значения, при котором визуально оно уже не изменяется. Поэтому будем считать, что конденсатор «практически» заряжен за n=N шагов, если напряжение на нём будет составлять, например, 
доли от напряжения источника E, то есть 
. Тогда из (4)
Откуда
Если T — время, за которое конденсатор будет «практически» заряжен, то понятно, что 
. Тогда
| (5) |
Величина RC, имеющая размерность времени, характеризует электрическую цепь. При этом сопротивление R задаёт зарядный ток, а ёмкость C — способность конденсатора накапливать электрический заряд. Можно сказать поэтому, что от величины RC зависит время заряда конденсатора. Соотношение 
показывает, во сколько раз отличается время «полного» заряда конденсатора от произведения параметров цепи (R и С). Посмотрим, как это соотношение зависит от количества N интервалов времени 
при различных значениях 
. Лучше всего проанализировать выражение (5) с помощью табличного процессора Microsoft Excel. Расчёты по формуле (5) были проведены для трёх значений 
. На графике (рисунок 3) показаны результаты этих расчётов.
Рисунок 3 |
Из графиков видно, что примерно при N<100 соотношение 
сильно зависит от количества интервалов N времени при всех предложенных значениях величины 
. А при N>100 соотношение 
«стабилизируется», то есть мало зависит от N. Это означает, что конденсатор можно считать заряженным, например, с точностью 
, если время T будет в 3 раза больше величины RC при условии, что число интервалов N>100.
Теперь ясно, что для расчётов по формуле (4) значений напряжений 
берётся 
, где в соответствии с рис. 3 при 
значение 
, при 
— 
, при 
— 
, а N выбирается во всех случаях большим 100.
Если нас интересует практически полный заряд конденсатора (
), то это произойдёт за 
. Тогда 
. Опять же воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel, фрагмент расчётов в котором и график показаны на рисунке4. Расчёты были произведены для E=5В, RC=0,001с. И если N=100, то 
.
|
Рисунок 4 |
Аналогичные исследования были проведены для цепей, содержащих катушку индуктивности. Результаты исследований и в этом случае полностью подтвердили правильность построенной математической модели и совпали с экспериментальными данными, в том числе с содержанием задач, предлагаемых на ЕГЭ.
Результаты исследования
На основании исследований была построена компьютерная модель, написана программа на школьном алгоритмическом языке КУМИР.
| Переходный процесс использовать Рисователь алг Заряд конденсатора нач вещ R, C, E, tau, step цел x0=100, y0=300, kx=5, ky, xe, ye цел n вещтаб Ut[0:99] вывод "Введите ЭДС (В): " ввод E ky:=int(250/E) вывод "Введите сопротивление R (кОм): " ввод R вывод "Введите ёмкость C (мкФ): " ввод C tau:=R*C*0.001; step:=4.6*tau/100 в точку (x0-50,y0) линия в точку (kx*100+20,y0) в точку (x0,20) линия в точку (x0,y0+20) n:=0 в точку (x0,y0) нц для n от 0 до 99 Ut[n]:=E*(1-(1-step/tau)**n) вывод Ut[n], нс xe:=x0+n*4 ye:=y0-int(ky*Ut[n]) линия в точку (xe, ye) кц вывод "Постоянная времени ",tau, "с, ", "время заряда ", (n+1)*step, "с" кон |
Всё это позволило сформулировать аналогичный тип задач, в котором происходит процесс разряда конденсатора.
Таким образом, исследовательская работа, посвященная явлениям, не изучаемым в школьной программе физики, помогла разобраться в сути процессов, происходящих в цепях постоянного тока, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, а также придумать собственную задачу.
